第1讲 集合 配套【讲】义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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1、元素与集合 PAGEREF _Tc231959054 \h 1
2、集合间的基本关系 PAGEREF _Tc231959055 \h 2
3、集合的基本运算 PAGEREF _Tc231959056 \h 3
4、集合的运算性质 PAGEREF _Tc231959057 \h 3
三、解题通法 PAGEREF _Tc231959058 \h 4
考点一：集合的表示与基本运算 PAGEREF _Tc231959059 \h 4
考点二：集合间的关系与参数求解 PAGEREF _Tc231959060 \h 4
考点三：集合的新定义与综合探究 PAGEREF _Tc231959061 \h 5
四、典题精讲 PAGEREF _Tc231959062 \h 5
考点一：集合的表示与基本运算 PAGEREF _Tc231959063 \h 5
考点二：集合间的关系与参数求解 PAGEREF _Tc231959064 \h 8
考点三：集合的新定义与综合探究 PAGEREF _Tc231959065 \h 10
五、高考真题 PAGEREF _Tc231959066 \h 13
一、考情分析
1. 考查频次与题型
集合作为高中数学的起始章节和基础工具，在全国一卷（新高考Ⅰ卷）中属于高频必考考点.在每年的高考真题中，均有一道集合题，通常出现在单项选择题的第1题或第2题，分值为5分.考查内容主要集中在集合的基本运算（交、并、补）以及集合关系的判断.
2. 命题角度与特色
核心考点：集合的基本交、并、补运算，集合包含关系的判定.
命题趋势：近年来的集合题不再局限于单一的抽象集合运算，而是更加注重与其他知识板块的交汇融合.
试题特点：侧重“反套路、重思维”的考查，如2024年与代数高次不等式结合，2026年与三角函数诱导公式及特殊角求值结合，考查代数变形与计算的基本功.
3. 备考策略
夯实基础：熟练掌握集合的交、并、补运算，深刻理解集合元素的互异性、无序性和确定性.
突破交汇：加强集合与一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、指数对数不等式以及三角函数等知识的综合训练，提升跨章节解题能力.
数形结合：在处理连续型数集问题时，养成画数轴的好习惯，特别注意端点值（实心点与空心圈）的取舍；在处理离散型数集或抽象集合关系时，善于借助Venn图直观分析.
二、知识清单
1.元素与集合
（1） 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
· 确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.例如，给定集合 A={1,2,3,4,5}，可知 1∈A，在该集合中；6∉A，不在该集合中.
· 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.例如，集合 A={a,b,c} 应满足 a≠b≠c.
· 无序性：组成集合的元素间没有顺序之分.例如，集合 A={1,2,3,4,5} 和 B={1,3,5,2,4} 是同一个集合.
（2） 元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈ 和 ∉.
（3） 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（Venn图）.
· 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
· 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
（4） 常见数集和数学符号：
2.集合间的基本关系
（1） 子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A 包含于 B”（或“B 包含 A”）.
（2） 真子集：如果集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x∉A，我们称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A⊊B（或 B⊋A），读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”.
（3） 相等：如果集合 A 是集合 B 的子集（A⊆B），且集合 B 是集合 A 的子集（B⊆A），此时，集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作 A=B.
（4） 空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ∅.∅ 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
【防坑警示】在求含参集合的子集关系时，务必优先考虑“空集”这一特殊情况.若 A⊆B，当 A 为空集 ∅ 时，包含关系依然成立.此时对应的方程无解或不等式解集为空，此情况极易被遗漏，导致漏解.
3.集合的基本运算
（1） 交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A∩B，即 A∩B={x∣x∈A, 且 x∈B}.
（2） 并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A∪B，即 A∪B={x∣x∈A, 或 x∈B}.
（3） 补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 ∁UA，即 ∁UA={x∣x∈U, 且 x∉A}.
4.集合的运算性质
（1） A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A.
（2） A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A.
（3） A∩(∁UA)=∅，A∪(∁UA)=U，∁U(∁UA)=A.
（4） 德·摩根定律：∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
【知识拓展：子集个数规律】
若有限集 A 中有 n 个元素，则：
· A 的子集个数为 2n 个.
· A 的真子集个数为 2n−1 个.
· A 的非空子集个数为 2n−1 个.
· A 的非空真子集个数为 2n−2 个.
三、方法总结
考点一：集合的表示与基本运算
考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算
· 审清代表元素：第一步必须看清竖线前的代表元素是 x、y 还是有序数对 (x,y).x 代表求定义域或解不等式，y 代表求值域，(x,y) 代表求两曲线交点.
· 端点精确取舍：求解对数不等式和偶次根式不等式时，必须优先保证真数大于 0 和被开方数非负.在进行交、并、补运算时，开区间的补集端点为闭，闭区间的补集端点为开.
考法2：利用Venn图或容斥原理求集合运算
· 德·摩根定律降维：面对复杂的补集与交并集混合运算，如 (∁UA)∩(∁UB)，应优先利用德·摩根定律将其转化为 ∁U(A∪B) 进行化简.
· Venn图直观定位：对于离散型数集，画出Venn图，从最内层的多个集合交集区域开始，由内向外逐层推算并填入各个区域的元素.
· 容斥原理公式：解决集合基数（元素个数）问题时，直接应用公式 card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B).
考法3：已知集合运算结果逆求参数
· 代入、求解、检验三步法：先根据交集结果将已知元素代入集合中列方程求解，求出参数的所有可能值后，必须代回原集合，检验是否满足元素的互异性，并确认交集结果是否恰好为已知集合.
考点二：集合间的关系与参数求解
考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数
· 等价转化交点问题：集合交集只有一个元素，等价于两曲线图象只有一个交点.常利用分离参数法转化为方程唯一解问题，结合导数研究单调性或数形结合求解.
· 熟记子集计数公式：直接套用 2n 或 2n−1 计算子集或真子集个数.
考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数
· 等价转化子集关系：熟练掌握：A∩B=A⇔A⊆B ； A∪B=B⇔A⊆B.
· 空集排雷：处理 A⊆B 且 A 含有参数时，必须首先分类讨论 A=∅ 的情况（如方程判别式 Δ0，g(x)在(0,+∞)单调递增；
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