专题03 概率初步试题-2026年七年级下册数学（北师大版）期末试题分类汇编（含答案）

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考点01必然事件、不可能事件、随机事件
考点02判断事件发生的可能性的大小
考点03由频率估计概率
考点04用频率估计概率综合应用
考点05根据概率公式的计算
考点06已知概率求数量
考点07几何概率
考点08游戏公平性
考点09概率的应用
地 城
考点01
必然事件、不可能事件、随机事件
1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下列说法正确的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
B．两个负数相乘，积是正数是不可能事件
C．“危楼高百尺，手可摘星辰”是必然事件
D．“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”是随机事件
【答案】D
【分析】本题考查事件类型的判断，熟练掌握必然事件指一定发生的事件，不可能事件指一定不发生的事件，随机事件指可能发生也可能不发生的事件是解题的关键；因此此题可根据随机事件的分类进行排除选项即可．
【详解】解：∵A中射击命中十环不是必然发生，而是随机事件；
∴ A错误；
∵B中两个负数相乘的积为正数是必然事件，而不是不可能事件；
∴B错误；
∵C中“手可摘星辰”在现实中不可能发生，是不可能事件，而不是必然事件；
∴ C错误；
∵D中“小荷才漏尖尖角，早有蜻蜓立上头”可能发生也可能不发生，是随机事件；
∴ D正确；
故选D．
2．（24-25七年级下·四川达州·期末）下列事件中，必然事件是（ ）
A．
B．明天会下雨
C．汽车经过路口时，红绿灯显示绿灯
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
【答案】A
【分析】本题主要考查了必然事件的定义，熟练掌握必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件是解题的关键．
根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、是必然事件，故本选项符合题意；
B、是随机事件，故本选项不符合题意；
C、是随机事件，故本选项不符合题意；
D、是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：A
3．（24-25七年级下·陕西西安·期末）有两个事件，事件A：3人中至少有2人性别相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数为2的倍数．下列说法正确的是（ ）
A．事件A、B都是随机事件
B．事件A、B都是必然事件
C．事件A是随机事件，事件B是必然事件
D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
【答案】D
【分析】本题考查主要事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
先分别判定事件A、B的类型，然后结合选项即可解答．
【详解】解：对于事件A，由人的性别只有两种(男、女)，根据抽屉原理，3个人中至少有2人的性别是相同的，所以事件A是必然事件；
对于事件B，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能为1，2，3，4，5，6，点数为2的倍数的结果有3种，分别是2、4、6，但也有可能出现不为2的倍数的结果，如1、3、5，所以事件B是随机事件．
综上，仅有D选项符合题意．
故选：D．
4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）“任意买一张电影票，座位号是的倍数”，此事件是___________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）
【答案】随机
【分析】本题考查随机事件、必然事件和不可能事件的概念，根据概念判断事件类型．必然事件：在一定条件下一定发生；不可能事件：在一定条件下一定不发生；随机事件：可能发生也可能不发生，结果具有不确定性．
【详解】解：电影院的座位号通常包含的倍数和非的倍数，
因此，“座位号是的倍数”可能发生，但并非必然，也并非完全不可能，
根据定义，这属于随机事件．
故答案为：随机．
5．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列语句所描述的事件：
①任意画一个多边形，其外角和为；
②经过任意两点画一条直线；
③任意画一个三角形，其两边之和小于第三边；
④过平面内任意三点画一个圆；
其中是随机事件的是______（填序号）．
【答案】④
【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：任意画一个多边形，其外角和为，是必然事件；
经过任意两点画一条直线，是必然事件；
任意画一个三角形，其两边之和小于第三边，是不可能事件；
过平面内任意三点画一个圆，是随机事件；
故答案为：．
地 城
考点02
判断事件发生的可能性的大小
6．（24-25七年级下·全国·期末）不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任意摸出一个球，则最有可能摸到的标号是（ ）
A．1B．2C．3D．不确定
【答案】C
【分析】本题考查的是对可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据题意得到相应的可能性，然后再比较即可．
【详解】解：摸到标号为1的球的可能性为，
摸到标号为2的球的可能性为，
摸到标号为3的球的可能性为，
∵，
∴摸到标号为3的球的可能性最大．
故选：C．
7．（24-25七年级下·广东梅州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．篮球运动员在三分线罚球．球一定被投入篮球框
B．一枚质地均匀的硬币，任意掷一次，正、反两面朝上的可能性相同
C．任意买一张电影票，座位号一定是偶数
D．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数一定大于3
【答案】B
【分析】本题考查随机事件与必然事件的判断.根据各选项描述的事件是否必然发生或是否符合等可能性进行分析.
【详解】解：A选项：篮球运动员在三分线罚球可能投中也可能不中，属于随机事件，并非必然发生，故错误；
B选项：均匀硬币正反面朝上的概率均为，可能性相同，符合等可能性，故正确；
C选项：座位号可能是偶数或奇数，属于随机事件，并非必然为偶数，故错误；
D选项：骰子点数为1-6，点数大于3的情况有4、5、6三种，但1、2、3同样可能发生，并非必然，故错误；
故选：B
8．（24-25七年级下·山东济南·期末）下列事件：（1）打开电视，正在播放广告；（2）任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上；（3）14名同学中一定有两人的出生月份相同；（4）掷一枚正方体骰子，向上的点数是7．其中不确定事件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了不确定事件（随机事件）的定义．根据不确定事件（随机事件）的定义，可能发生也可能不发生的事件称为不确定事件．逐一分析各事件的可能性即可判断．
【详解】解：（1）打开电视，正在播放广告：电视节目可能播放广告或其他内容，结果不确定，属于不确定事件．
（2） 任意掷一枚均匀硬币，正面朝上：硬币可能正面或反面朝上，结果不确定，属于不确定事件．
（3）14名同学中一定有两人生日月份相同：一年有12个月，14人至少2人同月（抽屉原理），属于必然事件（确定事件）．
（4）掷正方体骰子，点数为7：骰子点数范围为1~6，7不可能出现，属于不可能事件（确定事件）．
故选：B
9．（24-25七年级下·河南郑州·期末）转动如图的转盘一周以上，指针指向________区域的可能性最小．（填“红”、“黄”“蓝”或“黑”）
【答案】蓝
【分析】本题考查了可能性的大小．
根据图像作答即可．
【详解】解：由图可知，转动如图的转盘一周以上，指针指向蓝区域的可能性最小．
故答案为：蓝．
10．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是______（填序号）．
【答案】② ③ ① ④
【分析】此题考查可能性大小的比较，正确记忆相关知识点是解题关键．只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．分别比较情况数的大小即可选得答案．
【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共种情况：
① 掷得的点数是包含种情况；
② 掷得的点数是奇数包括种情况；
③ 掷得的点数不小于包括种情况；
④ 掷得的点数为包括种情况，
故发生的可能性由大到小的顺序排为② ③ ① ④．
故答案为：② ③ ① ④．
地 城
考点03
由频率估计概率
11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小明练习射击，共射击100次，其中有85次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据频率=频数÷数据总数计算即可得答案．
【详解】解：∵共射击100次，其中有85次击中靶子，
∴击中靶子的频率为，
∴小明射击一次击中靶子的概率约为，
故选：A
12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场为促销商品进行了抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“10元优惠券”区域的统计数据如下表：
估计随机转动转盘一次，得到“10元优惠券”的概率为（）
A．0.28B．0.30C．0.32D．0.33
【答案】B
【分析】本题主要考查概率；通过频率估计概率，取转动转盘2000次时试验的频率值进行精确处理．
【详解】解：∵概率可以通过大量重复试验的频率稳定值来估计，
∴由表可知，转动转盘2000次时，频率为0.301，
精确到0.01为0.30，
∴估计概率为0.30，
故选：B．
13．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）一个袋中装有若干个红球、黄球和蓝球，每个球除颜色外都相同．某兴趣小组开展摸球试验；每次摸出一个球记录下颜色后放回摇匀，重复试验，并统计了蓝球出现的频率，如图所示．再摸一次，估计摸到蓝球的概率为________．（结果精确到0.1）
【答案】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，由题意可知频率稳定在附近，根据频率估计概率即可得到答案．
【详解】解：由题意可知频率稳定在附近，则可估计摸到蓝球的概率为．
故答案为：．
14．（24-25七年级下·陕西西安·期末）兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示，通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为______．（精确到0.1）
【答案】0.9
【分析】本题考查了用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定于某一个固定值，这个值是概率；据此即可求解．
【详解】解：由题意知，发芽的频率约为0.9，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为0.9；
故答案为：0.9．
15．（24-25七年级下·广东清远·期末）某校生物兴趣小组为了解在相同的实验条件下，某植物种子发芽率，进行了相关的实验研究．下表是进行研究时所得到的数据：
(1)求出a，b的值；
(2)任取一粒这种植物种子，估计它不能发芽的概率．（结果精确到0.01）
【答案】(1)93，0.954
(2)0.05
【分析】本题考查频率，利用频率估计概率，理解频率与概率的关系是解题的关键．
（1）根据频数、频率、总数的关系求解；
（2）利用频率估计概率．
【详解】（1）解：，，
故答案为：93，0.954．
（2）解：由题意知，试验总数足够大时，发芽频率稳定在0.95附近，
，
所以估计它不能发芽的概率为0.05．
地 城
考点04
用频率估计概率的综合应用
16．（23-24七年级下·山东济南·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为______．
【答案】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
17．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据：
(1)填空： ， ；
(2)估计出现黄色乒乓球的概率为 ；（精确到0.1）
(3)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？
【答案】(1)，
(2)0.4
(3)估计盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个
【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，
（1）利用概率公式求出，的值即可；
（2）根据表格中的数据即可得出结论；
（3），根据②中的概率计算即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得，
故答案为：，；
（2）由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在附近，
当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是，
故答案为：；
（3）解：由（2）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是，
盒子中黄色乒乓球的个数（个）；
白色乒乓球有个，
答：盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个．
18．（24-25七年级下·河南郑州·期末）某公园移植A种花卉前查阅资料得到该花卉移植的成活率如下图．
(1)A种花卉成活的频率稳定在__________附近，估计成活概率为________；（精确到0.1）
(2)该公园规划共需要成活A种花卉9000株，分两批采购，第一批购入2000株，估计第二批需购入多少株？
【答案】(1)0.9，0.9
(2)8000株
【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量：
（1）根据统计图，以及频率和概率之间的关系，进行作答即可；
（2）利用需要成活的数量除以概率再减去已经移植的数量计算即可．
【详解】（1）解：由统计图可知：这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9；
故答案为：0.9，0.9；
（2）解：（株）
答：估计第二批需购入8000株．
19．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格：
(1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________；
(2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？
【答案】(1)；
(2)估计其中不合格品有件
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）利用频率估计概率可得任抽一件该产品是合格品的概率，用总件数乘合格的频率即可得出m的值；
（2）总件数乘以不合格的概率即可．
【详解】（1）解：估计任抽一件该产品是合格品的概率是，
，
故答案为：，；
（2）解：抽取件数为时，合格的频率趋近于，
估计任抽一件该产品是不合格品的概率为；
∴（件），
答：估计其中不合格品有件．
20．（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等．
某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下：
(1)表中的______， ______．
(2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）；
(3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？
【答案】(1)，33
(2)
(3)560个
【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键．
（1）根据表格中数据求出a、b的值即可；
（2）根据频率估计概率即可；
（3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可．
【详解】（1）解：，；
（2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是．
（3）解：
（个），
答：抽到的次数是560个．
地 城
考点05
根据概率公式计算概率
21．（24-25七年级下·广东清远·期末）二十四节气是一种用来指导农事的历法，是中华民族劳动人民的智慧结晶．从二十四个节气中随机抽取一个节气，刚好抽到“惊蛰”这个节气的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查概率公式，解题关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．根据概率公式求解即可．
【详解】解：从二十四个节气中随机抽取一个节气，刚好抽到“惊蛰”这个节气的概率是.
故选：A．
22．（24-25七年级下·广东深圳·期末）迈尔斯-布里格斯性格分类测试中包含四大类十六种人格类型．分别是分析家、外交家、守护者、探险家，若小云同学参与测试，则他的人格类型是“外交家”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了概率公式的应用，根据概率公式求出他的人格类型是“外交家”的概率即可．
【详解】解：∵分类测试 中包含四大类十六种人格类型．“外交家”这一大类含4种人格类型，
∴他的人格类型是“外交家”的概率为．
故选：C．
23．（24-25七年级下·福建漳州·期末）2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确画出树状图或列出表格得到所有等可能结果是解题的关键．
分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“如意”字样的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种结果，
所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为：，
故答案为：．
24．（24-25七年级下·广东深圳·期末）月日，新加坡立化中学到访我校，上午计划去八年级班随机观摩一节课，如表是当天上午的课表，如果每一个班级的每一节课被观摩的可能性是一样的，则恰好观摩到语文课的概率是______．
【答案】
【分析】本题考查了概率公式，根据概率公式直接计算即可，掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：由表可知，当天上午的课表中随机观摩一节课有种等可能结果，其中语文课有种结果，
∴恰好观摩到语文课的概率是，
故答案为：．
25．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球．
(1)如果将这个白球放回，摇匀后再摸出一球是白球的概率是多少？
(2)如果将这个白球不放回，再加入个红球，将口袋摇匀后，摸出一球是白球的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查条件概率的理解与应用，重点在于分析不同操作(放回、不放回并加入球)后总球数和目标球数的变化．
()放回白球后，总球数和白球数均恢复初始状态，概率直接由初始比例确定；
()不放回且加入红球后，总球数和剩余白球数发生变化，需重新计算概率．
【详解】（1）解：放回白球：第一次摸出白球后放回，口袋中仍为个白球和个红球，总球数为，
概率计算：第二次摸球时，白球数量未变，因此概率为：；
（2）不放回白球：第一次摸出白球后，剩余白球数为，红球数仍为，
加入个红球：总红球数变为，
总球数变为，
剩余白球数为，总球数为，因此概率为：．
地 城
考点06
已知概率求数量
26．（24-25七年级下·四川成都·期末）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随意摸出1个球，记下它的颜色后放回袋中．不断重复这个过程，共摸了100次球，其中有40次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（ ）
A．8B．12C．15D．18
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋子中红球约有多少个．
【详解】解：∵共摸了100次球，其中有40次摸到红球，
∴摸到红球的频率，
∴估计袋子中红球的数量为（个）．
故选：B．
27．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（ ）
A．10B．15C．25D．20
【答案】D
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球和摸到黄球的概率，进而求出黄球和红球的个数，据此可得白球的个数．
【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是，
∴摸到红球、黄球的概率分别是，
∴红球和黄球各有个，个，
∴可估计袋中白球的个数是个，
故选：D．
28．（24-25七年级下·重庆·期末）在一个不透明的盒子里装有5个红球，8个黄球，这些球除了颜色外没有其他任何区别．现在向盒子里放入一模一样的个红球，摇匀后从中随机抽取一个，若抽到红球的概率为，则的值是___________．
【答案】7
【分析】本题考查概率的计算，解题关键是根据概率公式列出关于的方程，然后求解方程得到的值．放入个红球后，红球的总数为个，球的总数为个，已知抽到红球的概率为，则可列出方程，求解即可．
【详解】解：向盒子里放入一模一样的个红球，摇匀后从中随机抽取一个，
抽到红球的概率为：
，
解得：
故答案为：7．
29．（24-25七年级下·四川成都·期末）七年级某班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有9个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是_____个．
【答案】
【分析】本题考查了由频率求数量，由统计图可得，黄球出现的频率稳定在，由此计算即可得解，正确得出黄球出现的频率是解此题的关键．
【详解】解：由统计图可得，黄球出现的频率稳定在，
故袋子中黄球的个数可能是（个），
故答案为：．
30．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上．
(1)事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为 事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”）
(2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率；
(3)从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值．
【答案】(1)随机
(2)
(3)4
【分析】本题考查事件的分类，根据概率公式求概率，掌握相关知识是解题的关键．
（1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可．
（2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可；
（3）根据概率公式构造方程求解即可．
【详解】（1）解：事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为随机事件．
故答案为：随机．
（2）由题意可知，写有“美”字的卡片有（张），
所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为．
（3）由题意可知：，解得，
所以m的值为4．
地 城
考点07
几何概率
31．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）儿童节，乐乐的爸爸买了一个如图所示的圆形飞镖盘（飞镖盘被平均分成8个大小相同的扇形），若乐乐每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则乐乐随机投掷一次飞镖，恰好扎中阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何概率．熟练掌握几何概率是解题的关键．根据阴影部分的面积占圆面积的即可求解．
【详解】解：由题意知，阴影部分的面积占圆面积的，
∴恰好扎中阴影区域的概率是，
故选：D．
32．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动该转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率．
【详解】解：∵蓝色区域的圆心角为，
∴指针落在蓝色区域的概率是，
故选：A．
33．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______结果保留
【答案】
【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案．
本题主要考查了几何概率的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度不大．
【详解】解：正方形的边长为2，
阴影部分的面积，正方形的面积为4，
随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为
故答案为：
34．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为_____．
【答案】
【分析】本题考查几何概率，解题的关键掌握根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
根据正方形的性质求出阴影部分占整个面积的，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的，
故答案为：．
35．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）．
(1)这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴；
(2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率．
(3)请你设计一个与问题2概率相同的游戏．
【答案】(1)是，4，见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查的是几何概率，概率公式，求出黑色方格在整个地板砖中所占面积的比值是本题的关键．
（1）根据轴对称图形的定义即可求解；
（2）先求出阴影区域在整个地板砖中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论；
（3）根据概率的求解得出答案．
【详解】（1）解：这个图形是轴对称图形，它有4 条对称轴，它的对称轴如图中虚线所示：
，
故答案为：是，4；
（2）正方形的面积平均分成16份，阴影部分占4份，
所以停在阴影区域的概率为；
（3）如袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中一个红色，三个绿色，充分摇匀后从中随机摸出一个小球是红球的概率．（答案不唯一）．
地 城
考点08
游戏公平性
36．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小志和小远玩摸球游戏，他们在一个不透明的箱子里装了6个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同．他们从中任意摸出一个球，若摸到红球则小志获胜，若摸到黄球则小远获胜．
(1)小志获胜的概率是__________；
(2)这个游戏公平吗？若不公平，进行怎样的操作可以使游戏公平？（写一种即可）
【答案】(1)
(2)游戏不公平，可在箱子里再放入个黄球，游戏公平．
【分析】（1）根据概率公式，用红球个数除以球的总个数求小志获胜概率．
（2）比较两人获胜概率判断是否公平，再思考使概率相等的操作．
本题主要考查了概率的计算与游戏公平性的判断，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ 箱子里有个红球，个黄球，球的总数为个，
∴ 小志获胜的概率是．
（2）解：∵ 小远获胜的概率是，，
∴ 这个游戏不公平．
可在箱子里再放入个黄球（操作不唯一），此时红球个，黄球个，两人获胜概率均为，游戏公平．
37．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，现有一个转盘被分成六等份．分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（指向分界线时重新转动）
(1)随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是_____．
(2)小明和小亮一起做游戏，转动转盘一次，若转出的数字是3的倍数，则小明获胜，不是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由．
【答案】(1)；
(2)不公平，理由见解析．
【分析】本题考查了简单的概率公式及游戏公平性的判断，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据简单的概率公式求解即可；
（2）根据题意，转出的数字是的倍数只有两个，不是的倍数有四个，从而判断得出答案．
【详解】（1）解：随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是，
故答案为：；
（2）解：不公平，理由如下：
转盘中的倍数有和两个数，而不是的倍数有共四个数，
∴小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：，
∵，
∴这个游戏对双方不公平．
38．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，现有一个转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6．自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
(1)转出的数字大于6是______事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）
(2)小明和小亮一起做游戏，若转出的数字是2的倍数，则小明获胜；若转出的数字是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】(1)不可能
(2)不公平，见解析
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）根据题意，分别求出转出的数字是2的倍数的概率和是3的倍数的概率，然后比较求解即可．
本题考查了事件的分类，简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6
∴转出的数字大于6是不可能事件，
故答案为：不可能
（2）解：根据题意，转出的数字是2的倍数的可能性有3种，
∴小明获胜的概率为，
转出的数字是3的倍数的可能性有2种，
∴小亮获胜的概率为．
∵，
∴游戏不公平．
39．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字），若向上的点数是3的倍数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去．
(1)上述方式公平吗？请说明理由；
(2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据．
【答案】(1)不公平，理由见解析，
(2)若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去．（不唯一）
【分析】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
（1）直接得出是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案．
（2）保证他们的概率相等即可．
【详解】（1）根据题意可知，抛掷这个骰子得到的数共6种等可能结果，其中是3的倍数是3，6共2种结果，
所以向上的点数是3的倍数的概率为：．
向上的点数不是3的倍数的概率为：．
∴爸爸去的概率大，不公平，
（2）保证爸爸、妈妈去的概率相等即可；
如：若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去，此时他们的概率为，所以公平．
40．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，一个均匀的转盘被平均分成12等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．
(1)P（转出的数字是4的倍数）______；P（转出的数字不是4的倍数）______．
(2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．
①猜“是奇数”或“是偶数”；
②猜“是大于8的数”或“不是大于8的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)选择②，猜“不是大于8的数”，理由见解析
【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案．
本题考查是游戏的公平性，随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提．
【详解】（1）解：P（转出的数字是4的倍数）；
P（转出的数字不是4的倍数），
故答案为：，；
（2）解：选择②，猜“不是大于8的数”，理由如下：
①“是奇数”或“是偶数“都是，
②“是大于8的数”的有4种，“不是大于8的数”的有8种，因此“是大于8的数”可能性是，“不是大于8的数”的可能性是，
因此，选择②，猜“不是大于8的数”，这样获胜的可能性为，获胜的可能性最大．
地 城
考点09
概率的应用
41．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题：
(1)求顾客未获奖的概率；
(2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键；
（1）由图可知字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解；
（2）由图可知字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由图可知，字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为，
所以顾客未获奖的概率为．
（2）解：由图可知，字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为，
所以顾客获得二等奖或三等奖的概率为．
42．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．
(1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率；
(2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由．
【答案】(1)
(2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，见解析
【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果．
【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数，
所以（小阳获胜）．
（2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个，
所以（转出的数是3的倍数），
（转出的数比7小）．
因为，
所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式．
43．（23-24七年级下·河南周口·期末）某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示．
(1)抽奖得到“手机”的概率是 ；
(2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是：
（1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算；
（2）根据可能性的大小，保证“护眼灯”有3张即可，设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一．
【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：，
故答案为：；
（2）解：设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一．
如图：
44．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，一个均匀的转盘被等分成份，分别标有,这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方法从下面三种中选择一种：
(1)“猜是奇数”或“猜偶数”的概率；
(2)猜“是的倍数”或“不是的倍数”的概率；
(3)猜“是大于等于的数”或“小于等于的数”的概率；如果轮到你猜数，那么尽可能的获胜，你将选择哪一种猜数方法？说明理由．
【答案】(1)“猜是奇数”或“猜偶数”的概率都是
(2)“是的倍数”的概率是，“不是的倍数”的概率是
(3)选择“不是的倍数”，见解析
【分析】（1）根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答；
（2）根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答；
（3）根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答．本题考查了概率的定义，概率的计算公式，熟练运用概率的计算公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数，其中“是奇数”的有种，“是偶数”的也有4种，
∴“是奇数”或“猜偶数”的概率都是，
∴“猜是奇数”或“猜偶数”的概率都是；
（2）解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数，
∴其中“是的倍数”的有种，“不是的倍数”的种，
∴“是的倍数”的概率是，“不是的倍数”的概率是；
（3）解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数，
∴其中“是大于等于的数”的有种，“小于等于的数”的有种，
∴“是大于等于的数”的概率是，“小于等于的数”的概率是，
∴选择“不是的倍数”，这样获胜的概率为，获胜的可能性最大．
45．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏：
①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个；
②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中；
③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”；
④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜．
通过游戏经验的积累，小颖发现：
(1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率；
(2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中．
【答案】(1)
(2)十位
【分析】（1）根据转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，可知小颖下一次转出的数大于的概率为；
（2）根据转盘上小于的数字有个，所以小颖下一次转出的数字小于的概率为，所以小颖下一次转出的数字小于的概率大，因为在十位上应该填入一个较大的数，所以数字应该放在十位上．
【详解】（1）解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，
她下一次转出的数字大于的概率为；
（2）解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为，
转盘上小于的数字有个，
小颖下一次转出的数字小于的概率为，
，
小颖下一次转出的数字小于的概率大，
在十位上应该填入一个较大的数，
数字应该放在十位上．
转动转盘的次数
200
600
1000
1600
2000
落在“10元优惠券”区域的次数
64
186
300
479
602
落在“10元优惠券”区域的频率
0.320
0.310
0.300
0.299
0.301
试验的麦粒数n
100
200
500
1000
2000
发芽的麦粒数m
91
178
450
900
1820
发芽的频率
0.91
0.89
0.90
0.90
0.91
试验的种子数n
100
400
600
1000
3000
5000
发芽的粒数m
a
382
570
954
2859
4750
发芽频率
0.930
0.955
0.950
b
0.953
0.950
摸球总次数
出现黄色乒乓球的次数
出现黄色乒乓球的频率
抽取件数（件）
合格频数
m
合格频率
抽盲盒次数n
100
150
200
500
800
1000
抽到的次数m
11
20
b
79
128
161
抽到的频率
a
节次
班
班
班
班
班
班
第节
英语
语文
英语
数学
数学
英语
第节
生物
历史
数学
美术
英语
地理
第节
数学
音乐
道法
英语
形体
历史
第节
语文
英语
日语
语文
语文
数学