专题04 三角形试题-2026年七年级下册数学（北师大版）期末试题分类汇编（含答案）

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1．C
【分析】本题考查了三角形的识别．
根据，结合钝角三角形的定义即可判断．
【详解】解：∵，
∴是钝角三角形．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可．
【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形；
当点C运动至时，，是直角三角形；
点C继续向右运动，由小变大，
当时，是锐角三角形；
当时，是直角三角形；
当时，是钝角三角形；
因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形，
故选D．
3．C
【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键．
【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，
故选C．
4．等腰
【分析】本题考查平方以及绝对值的非负性，三角形的三边关系及其分类．由可得，，根据三角形的三边关系以及c为偶数可确定c的值，最后即可确定三角形的形状．
【详解】解：，
，，
，，
，，
，，
，
由c为偶数，可得，
，
的形状为等腰三角形．
故答案为：等腰．
5．(1)
(2)是等腰三角形
【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键；
（1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵的三边长分别为，
∴，
∴
；
（2）解：∵，
∴根据三角形三边关系可得，
∵第三边的长为奇数，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
6．C
【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再对应选项判断即可．
【详解】解：三角形三边长为，，，
根据三角形三边关系得，
即，
选项中只有满足该范围，
∴答案选C．
7．B
【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的原则．设第三边长为，根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和，可得，，求出的取值范围，逐项分析选项即可解答．
【详解】解：设第三边长为，
三角形两边之和大于第三边，
，即，
又三角形两边之差小于第三边，
，即，
，
选项中只有在此范围内，
故选：．
8．5
【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出c的取值范围，再结合c为奇数的条件，确定c的值．
【详解】解：由三角形三边关系，得，
∵，，
∴，
∵c为整数且为奇数，
∴．
故答案为：5．
9．
【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可．
【详解】解：设第三边为，
∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边，
∴，即，
∵第三边是偶数，
∴，
∴此三角形的周长为．
故答案为：
10．或7或9
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据为奇数确定的值．
【详解】解：由题意得：，
即：，
∵为奇数，
∴或7或9．
11．C
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义及分类讨论是解题的关键．
分两种情况讨论，当等腰三角形的腰长为，当等腰三角形的腰长为，再分别得到三角形的三边，结合三角形三边的关系，从而可得答案．
【详解】解：当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，3，7，
，故围不成三角形；
当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，7，7，
，能围成三角形；
∴它的周长为．
故选：C．
12．C
【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键．
根据非负数的性质求出a和b的值，再结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定周长．
【详解】解：由题意，，
因平方和绝对值均非负，故，解得，，
等腰的两边为4和8，需分情况讨论：
1. 若腰为4，则三边为4、4、8。此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形，
2. 若腰为8，则三边为8、8、4，此时，，满足三边关系，周长为．
综上，的周长为20，
故选：C．
13．7
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握三角三边关系是解决本题的关键．
根据题意分为一条边的长为为腰长时或一条边的长为为底边时进行分类讨论即可．
【详解】解：根据题意得，当的边为等腰三角形的腰时，
∴此时的三边为，
又∵，
∴此情况的三边不能组成三角形，
当的边为等腰三角形的底边时，
∴此时等腰三角形的腰为，
∴此时的三边为，
∵，
∴此时的三边能组成三角形，
故答案为：7．
14．
【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形三边关系判断每种情况是否成立．
分两种情况讨论，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不成立的情况，得出符合条件的长度．
【详解】根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
若，则，三边为5，5，2，满足，成立．
若，则，三边为5，2，2，，不满足三边关系，不成立．
∴．
15．(1)，；
(2)最大为，最小为
(3)是等腰三角形，理由见解析过程．
【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案；
（2）根据奇数的定义和的取值范围，可求解；
（3）根据偶数的定义，以及的取值范围即可求的值，利用等腰三角形的定义得出即可．
【详解】（1）解：因为，，
所以．
故周长的范围为．
（2），，为奇数，
，
最大为，最小为．
（3）周长为小于的偶数，
或．
当为时，；
当为时，．
当时，，为等腰三角形；
当时，，为等腰三角形．
综上所述，是等腰三角形．
16．
【分析】本题主要考查了三角形的高线，角平分线以及直角三角形两锐角互余定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．先根据是的角平分线，得到，再由是的高线，得到，再由角的和差即可解答．
【详解】解：，
，
是的角平分线，
，
是的高线，
，
，
．
故答案为：
17．C
【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可.
【详解】解：∵ 为直角三角形，直角边，，
∴
∵设点 到的距离为，
∴
∴，解得：
故选：C.
18．
【分析】本题考查了三角形的面积计算、一元一次方程的应用等知识点，利用等面积法列出方程成为解题的关键．
由直角三角形的面积公式得到，然后代值求解方程即可．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，即，
∴，
解得：．
故答案为．
19．
【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小．
【详解】解：在中，于点，，如图，过点C作于点D，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵垂线段最短，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为，
故答案为：．
20．
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，求一个角的余角，根据角平分线的定义可得出，由三角形的高可得出，由余角的定义可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵是三角形的高，
∴，
∴，
∵，
∴.
21．C
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等．
先根据三角形全等得到，再求得的长度即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
22．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．
根据全等三角形的对应边相等可知，，进而可求解 ．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故选：C．
23．32
【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
由得到，，得到，，从而，再由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：32．
24．/105度
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
根据，得到，再根据三角形内角和等于，即可求解．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
25．
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据，，求出的度数为，再根据全等三角形对应角相等可得．
【详解】解：，，
，
，
．
26．A
【分析】根据三角形全等的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：平分，
，
，
当添加时，不能判定，A选项符合题意；
当添加时，，B选项不符合题意；
当添加时，，C选项不符合题意；
当添加时，判定，D选项不符合题意．
27．D
【分析】已知是中点，可得，且（对顶角相等）．根据全等三角形判定定理（、、），逐一分析添加各选项条件后能否判定．本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键．
【详解】解：是的中点，
，
又（对顶角相等）．
若添加
，，，
，故项正确，不符合题意．
若添加
，，，
，故项正确，不符合题意．
若添加
，，，
，故项正确，不符合题意．
若添加
此时是“边边角”的情况，不能判定，故项错误，符合题意．
故选：．
28．或或
【分析】本题考查添加一个条件使两个三角形全等，涉及两个三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理、和是解决问题的关键．由图可知与有公共边，再由，结合、和判定即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
与有公共边，
，
当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证；
当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证；
当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证；
故答案为：或或．
29．或或（添加一个即可）
【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理，结合已知的相等关系，求解即可．
【详解】在和中，，，
添加，用边角边证；
添加，用角边角证；
添加，用角角边证；
故答案为：或或．
30．3
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用．根据全等三角形的判定方法，利用、、即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴当时，由可得，故①符合题意；
当时，则，由可得，故②符合题意；
当时，则，由可得，故③符合题意；
当时，不能得出，故④不符合题意；
∴符合要求的条件有3个．
故答案为：3
31．证明见解析
【分析】本题考查根据全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由易得，再由，，可证明，即可证明．
【详解】证明：，
，
即，
在与中，
，
，
．
32．3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，可证，由全等三角形性质可得，然后根据求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：是边上的中线，
，
∵，
，
在和中，
，
∴，
，
，，
，
，
．
33．(1)见解析
(2)15
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
（1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积．
【详解】（1）根据，，
得，
平分，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）连接，如图所示：
点是的中点，，
，
在△和△中，
，
，
，
．
34．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，又因为，则，故，即可作答．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
35．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．
（1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，可得，最后根据平行线的判定，即可证明结论；
（2）根据线段的和差，即可求得答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．
36．见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论．
【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示：
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
37．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
（1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，
（2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分．
【详解】（1）解：是的中点，
，
在和中，
，
，
，
在中，
，
即，
中线的取值范围是：；
（2）证明：延长到点M，使，连接．
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即平分．
38．（1）
（2），证明见解析
（3），，证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
（1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案；
（2）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系；
（3）过点C作于点H，证明和全等得，，则，证明，进而依据“”判定和全等得，，据此即可得出线段与的数量关系和位置关系．
【详解】解：（1）∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：；
（2）线段与的数量关系是：，理由如下：
延长到F，使，连接，如图所示：
则，
同（1）证明：，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下：
过点C作于点H，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，．
39．（1）；（2）；（3）；理由见解析
【分析】（1）延长到点，使，连接，由证得，得出，在中，，得出，即可得出结果；
（2）延长到点，使，连接、，由证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在中，，得出，即可得出结果；
（3）延长与的延长线交于点，易证，得出，由证得，得出，，即可证得，由，得出．
【详解】（1）延长到点，使，连接，如图所示：
点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，即，
，
故答案为：；
（2）延长到点，使，连接、，如图所示：
点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在中，，
，即，
；
（3）；理由如下：
延长与的延长线交于点，如图所示：
点是中点，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，即：，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形三边关系、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键．
40．（1），（2）见解析，（3）18
【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键．
（1）根据提示证即可求解；
（2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可；
（3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解．
【详解】解：（1）∵是的中线．
∴，
∵，，
∴，
∴，
可得，
即：，
∴，
故答案为：；
（2）延长至点，使得，连接，如图2：
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，由（2）可得：，，，
．
．
，，
．
，
，
，
．
41．B
【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图，
∵点为的中点，，，
∴，
∵ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
42．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
利用全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴，
∴，
即，该选项正确，不符合题意；
B. ∵，
∴，
由A.选项得，
又，
，
∴，该选项正确，不符合题意；
C. ∵，
∴，
由B.选项得，
∴，
即，
又，
,
∴，该选项正确，不符合题意；
D.由以上条件，无法确定 ，该选项错误，符合题意；
故选：D．
43．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角()”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中：，
∴，
又∵，，
∴，，
∵，
∴
∴，
，
，
∴．
故答案为：．
44．2或或8
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．
【详解】解：分以下三种情况讨论：
①如图1，当Q在上，点P在上时，作，，
由题意得，，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当时，
则，
即，
解得：；
②如图2，当点P与点Q重合时，
由题意得，，，
∵，，
∴，，
当时，
则，
∴，
解得：；
③如图3，当点Q与A重合时，
由题意得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
当，
则，
即，
解得：；
综上所述：当或或8时，与全等．
故答案为：2或或8．
45．（1）见解析；（2）
【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，
（1）根据角角边判定三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出．
【详解】解：（1）因为，所以，
因为，所以，
即，所以，
在和中，
，
所以．
（2）由（1）知：，，
所以，
又因为，，
所以，所以，
在和中，
，
所以，
所以．
题号
1
2
3
6
7
11
12
17
21
22
答案
C
D
C
C
B
C
C
C
C
C
题号
26
27
41
42






答案
A
D
B
D