第21章 圆的基本性质-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

这是一份第21章 圆的基本性质-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案），共16页。
2022年中考数学一轮复习(通用版)
第21章 圆的基本性质

考 点 梳 理

考点一 圆的有关概念及其性质
1．圆的概念
(1)圆是平面内到一定点的距离 定长的所有点组成的图形．这个定点叫做圆心，定长叫做 ；
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线叫做半径．
2．圆的有关概念
(1)连接圆上任意两点的 叫做弦．
(2)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
(3)半径 的两个圆是等圆．
(4)在同圆或等圆中，能够互相 的弧叫做等弧．
3．圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，经过圆心的 都是它的对称轴；
(2)圆是以 为对称中心的中心对称图形．
【点拨】(1)因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”．(2)圆的对称轴有无数条．(3)圆的旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性．

考点二 垂径定理及推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．推论1
(1)平分弦(不是直径)的直径 弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过 ，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 弦所对的另一条弧．
3．推论2
圆的两条平行弦所夹的弧 ．

考点三 圆心角、弧、弦之间的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦相等，所对弦的弦心距 ．
2．推论1
同圆或等圆中，(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．
3．推论2
弧的度数等于它所对 的度数．

考点四 圆周角定理及其推论
1．概念
顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆周上，角的两边和圆都 的角叫做圆周角．
2．圆周角定理
一条弧所对的圆周角的度数等于它所对 的度数的一半．
3．圆周角定理的推论
(1)同弧或等弧所对的圆周角 ．
(2)同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧 ．
(3)半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ．
4. 圆内接四边形
(1)圆内接四边形的对角 ，如图，∠A＋∠BCD＝ ，∠B＋∠D＝180°.

(2)圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的 ，如图，∠DCE＝∠A.








重 难 点 讲 解

考点一 垂径定理及其推论
方法指导：
圆中与弦有关的计算可通过连接半径和圆心到弦中点的垂线段，把问题转化为解直角三角形的问题来解决，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常结合起来使用．一般地，求解时将已知条件集中在一个直角三角形中，这个直角三角形的斜边是圆的半径，一条直角边是弦心距，另一条直线是弦的一半．如图，设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d，弓形高为h，则()2＋d2＝r2，h＝r－d，这两个等式是关于四个量r，a，d，h的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量．

经典例题1 (2020•四川凉山州模拟)如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧AB恰好经过圆心O，P是上一点，则∠APB的度数为(　　)

A．30° B．45° C．60° D．75°
【解析】 作半径OC⊥AB于D，连结OA，OB，∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD＝CD，∴OD＝OC＝OA，∴∠OAD＝30°，又OA＝OB，∴∠OBA＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠APB＝∠AOB＝60°．
【答案】 C

考点二 圆心角与圆周角
方法指导：
解决与圆有关的角度计算问题时，一般先判断角是圆心角还是圆周角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角.利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当圆中有直径时，通常根据“直径所对的圆周角是直角”，在圆中构造直角三角形来解决问题．
经典例题2 (2020•海南二模)如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD，CD，分别交AC，AB的延长线于点E，F．
(1)求证：DF＝DE；
(2)若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．

【解析】 (1)连接AD，通过证得△CAD≌△BAD(SAS)，得出∠ACD＝∠ABD，进而根据ASA证得△CED≌△BFD(ASA)，即可证得结论；(2)根据圆内接四边形的性质证得∠ABD＝90°，从而证得AD是直径，根据勾股定理求得ED，进而求得AB，然后根据勾股定理求得AD，从而求得半径．
(1)证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中， ∴△CAD≌△BAD(SAS)，∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中， ∴△CED≌△BFD(ASA)，∴DF＝DE.
(2)解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10＋6＝16，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2＋162＝(x＋8)2，解得x＝12，∴AB＝12，在Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．











过 关 演 练

1．(2020•山东滨州中考)在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．15
2．(2020•浙江绍兴中考)如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为(　　)

A．45° B．60° C．75° D．90°
3．(2020•湖北武汉中考)如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是(　　)

A． B．3 C．3 D．4
4．(2020•浙江湖州中考)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是(　　)

A．70° B．110° C．130° D．140°
5．(2020•四川泸州中考)如图，⊙O中，＝，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为(　　)

A．100° B．90° C．80° D．70°
6．(2020•湖北黄石中考)如图，点A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为(　　)

A．140° B．70° C．110° D．80°
7．(2020·山东泰安模拟)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为(　　)

A．25m　　　　　　 B．24m C．30m D．60m
8．(2020·安徽一模)如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为(　　)

A．2cm B．4cm C. cm D．cm
9．(2020·安徽二模)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是(　　)

A.cm B．2cm C. cm D．3cm
10．(2020·云南模拟)如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是(　　)

A．20°　　　　　 B．70° C．30° D．90°
11．(2020·山西二模)如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画圆O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为(　　)

A．2 B．2 C. D．
12．(2020·安徽一模)如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于点C.若AP＝8，PB＝2，则PC的长是 ．

13．(2020·辽宁沈阳模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝ ．

14．(2020·上海奉贤区模拟)如图所示，AB为圆O的直径，弦CD交AB于点E，已知OE＝2，BE＝1，∠AEC＝45°，则CD＝ ．

15．(2020•四川甘孜州中考)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为　 　．

16. (2020•天津模拟)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是 cm．

17. (2020•重庆模拟)点A，C为半径是4的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为 ．
18．(2020•青海中考)已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为　 　cm．
19．(2020•四川成都中考)如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝50°，∠B＝55°，则∠A的度数为　 　．

20．(2020•浙江温州中考)如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
(1)求证：∠1＝∠2．
(2)点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．


21．(2020·江苏徐州模拟)如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求BD的长．





22．(2020·北京模拟)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC三个内角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D，E，F，G.
(1)求证：CD＝EF；
(2)若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．











参 考 答 案

考点梳理
考点一 1. (1)等于 半径 2. (1)线段 (3)相等 (4)重合 3. (1)每一条直线 (2)圆心
考点二 1. 平分 2. (1)垂直于 (2)圆心 (3)平分 3. 相等
考点三 1. 相等 相等 3. 圆心角
考点四 1. 相交 2. 圆心角 3. (1)相等 (2)相等 (3)90° 直径 4. (1)互补 180° (2)内对角

过关演练
1. C 【解析】如图所示，∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．

2. D 【解析】连接BE，∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，∴∠BED＝∠BEC＋∠CED＝45°，∴∠BOD＝2∠BED＝90°．
3. D 【解析】连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中， ∴△EFD≌△ECB(AAS)，∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4．
4. B 【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°．
5. C 【解析】∵＝，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°．
6. C 【解析】如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∵∠DCE＝40°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠P＝∠AOB＝70°，∵A，C，B，P四点共圆，∴∠P＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°．

7. A 【解析】∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，设半径为r，得r2＝(r－10)2＋202，解得r＝25m，∴这段弯路的半径为25m.
8. B 【解析】连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB于点E，折叠后恰好经过圆心，∴OE＝DE，∵⊙O的半径为4，∴OE＝OD＝×4＝2，∵OD⊥AB，∴AE＝AB，在Rt△AOE中，AE＝＝＝2.∴AB ＝2AE＝4.
9. A 【解析】连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，∴BE＝BD＝6，在Rt△OEB中，OB2＝OE2＋BE2，即OB2＝(OB－4)2＋62，解得OB＝，则EC＝AC－AE＝9，BC＝＝3，∵OF⊥BC，∴CF＝BC＝，∴OF＝＝cm.
10. A 【解析】连接AC，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°－70°＝20°.
11. B 【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，线段EF的长度最小，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，则EH＝FH，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝AB＝4，即此时圆的直径为4，∴OE＝2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE·sin∠EOH＝2×＝，由垂径定理可知EF＝2EH＝2.
12. 4 【解析】延长CP交圆于一点D，∵PC⊥OP，∴PC＝PD，又由△BCP∽△DAP，∴＝，∴PC2＝PA·PB，∵AP＝8，PB＝2，∴PC2＝2×8，解得PC＝4.
13. 120° 【解析】∵∠BOD＝120°，∴∠BCD＝∠BOD＝60°.∴∠DCE＝180°－60°＝120°.
14. 2 【解析】作OH⊥CD于点H，连接OC.∵OH⊥CD，∴CH＝DH，∠OHE＝90°，∵∠OEH＝45°，OE＝2，∴OH＝HE＝，∴CH＝＝，∴CD＝2CH＝2.
15. 3 【解析】连接OC，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，∵直径AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH＝＝3．
16. 【解析】连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，∴BE＝BD＝6cm，在Rt△OEB中，OB2＝OE2＋BE2，即OB2＝(OB－4)2＋62，解得OB＝，则EC＝AC－AE＝9，BC＝＝＝3，∵OF⊥BC，∴CF＝BC＝，∴OF＝＝＝(cm)．
17. 2或2 【解析】如图1，连接OA，设BD交AC于G，BD交⊙O于F．∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分线段AC，∴BF是直径，∵OD＝DF＝2，OB＝4，∴BG＝DG＝3，∴OG＝1，在Rt△AOG中，AG＝＝，在Rt△ABG中，AB＝＝2，如图2，当点D在OB上时，OD＝DB＝2，DG＝BG＝1，AG＝＝，AD＝＝2．

图1 图2
18. 1或7 【解析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA，OC，如图，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝4，CF＝DF＝CD＝3，在Rt△OAE中，OE＝＝3，在Rt△OCF中，OF＝＝4，当点O在AB与CD之间时，EF＝OF＋OE＝4＋3＝7；当点O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1；综上所述，AB与CD之间的距离为1或7cm．

19. 30° 【解析】∵OB＝OC，∠B＝55°，∴∠BOC＝180°﹣2∠B＝70°，∵∠AOB＝50°，∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝70°＋50°＝120°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝＝30°．
20. 解：(1)∵∠ADC＝∠G，∴＝，∵AB为⊙O的直径，∴＝，∴∠1＝∠2；
(2)连接DF，∵＝，AB是⊙O的直径，∴AB⊥CD，CE＝DE，∴FD＝FC＝10，∵点C，F关于DG对称，∴DC＝DF＝10，∴DE＝5，∵tan∠1＝，∴EB＝DE•tan∠1＝2，∵∠1＝∠2，∴tan∠2＝，∴AE＝＝，∴AB＝AE＋EB＝，∴⊙O的半径为．
21. 解：(1)△ABC为等腰三角形．理由如下：连接AE，∵＝，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵∠C＋∠CAE＝90°，∠ABC＋∠BAE＝90°，∴∠C＝∠ABC，∴AC＝AB，∴△ABC为等腰三角形．　
(2)∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝＝8, ∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴AE·BC＝BD·AC，∴BD＝＝.
22. (1)证明：作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE，OD，∵点O为△ABC的角平分线交点，∴OM＝ON，∵OE＝OD＝OC，∴Rt△OME≌Rt△OND(HL)，∴ME＝ND，∵EF＝2ME，CD＝2ND，∴CD＝EF.　
(2)解：由(1)可知CD＝EF＝CG，∵点O为△ABC的角平分线交点，∴OM＝ON＝OH，∵∠ACB＝90°，∴四边形ONCH是正方形，∴OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，∵OC＝4，∴OH＝OC＝4，∴EF＝CD＝CG＝8，易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，∴AC＝10，设BM＝BH＝x，则BC＝x＋4，AB＝x＋6，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2，即(6＋x)2＝102＋(4＋x)2，解得x＝20，∴BM＝20，∴AB＝AM＋BM＝20＋6＝26.