初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）1.5 相似三角形的性质课文内容ppt课件

这是一份初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）1.5 相似三角形的性质课文内容ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了学习目标，量一量猜一猜，合作探究，所以∠B∠B′，是方程思想哦，原来是分类思想呀，相信自己是最棒的等内容，欢迎下载使用。
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点）2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
问题1： △ABC 与 △A1B1C1 相似吗？
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
△ABC ∽ △A1B1C1
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？
相似三角形对应高的比等于相似比
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AH，A'H' 分别为对应边 BC，B′C′上的高，那么 吗？
因为△ABC∽△A′B′C′，
又 ∠AHB =∠A′H′B′ = 90°，
因此△ABH∽∠A′B′H′.
类似地，可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比.
由此得到：相似三角形对应高的比等于相似比．
　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比.
1. △ABC ∽ △A1B1C1，AD 和 A1D1 是 BC 和 B1C1 边上的高，已知 AB = 8 cm，A1B1 = 3 cm ，则 △ABC 与 △A1B1C1 的对应高之比为 .
2.如图、电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB∥CD，AB = 2 m，CD = 4 m，点 P 到 CD 的距离是 3 m，则 P 到 AB 的距离是 m.
如图，过点 C 作 CD⊥PQ，垂足为点 D.设 CD 交 AB 的延长线于点 E，
例1 如图，AB∥PQ，AB = 100，PQ = 120. 点 P，A，C 在一条直线上，点 Q，B，C 也在一条直线上. 若 AB 与 PQ 的距离是 40，求点 C 到直线 PQ 的距离.
解 因为AB∥PQ，所以△CAB∽△CPQ.
因此 CE⊥AB，DE = 40.
又 AB = 100，PQ = 120，DE = 40，
因此 CD = 240.
即点 C 到直线 PQ 的距离是 240 .
由“相似三角形对应高的比等于相似比”可得，
例2 如图，AD 是 △ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
(1) AE 是 △ASR 的高吗？为什么？
(2) △ASR 与 △ABC 相似吗？为什么？
(3) 求正方形 PQRS 的边长.
解： AE 是 △ASR 的高. 理由： ∵AD 是 △ABC 的高， ∴ ∠ADC = 90°.∵四边形 PQRS 是正方形， ∴SR∥BC.∴∠AER =∠ADC = 90°. ∴ AE 是 △ASR 的高.
解：△ASR 与 △ABC 相似. 理由： ∵ SR∥BC， ∴ ∠ASR =∠B，∠ARS =∠C. ∴ △ASR 与 △ABC 相似.
解：∵ △ASR ∽ △ABC，AE、AD 分别是 △ASR 和 △ABC 对应边上的高，∴ . 设 PQ = x cm，则 SR = DE = x cm，AE = (40 - x) cm .∴ . 解得 x = 24.∴正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
变式：如图，AD 是 △ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 5 cm，AD = 10 cm，若矩形 PQRS 的长是宽的 2 倍，你能求出这个矩形的面积吗？
如图，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm.
分析：情况一：SR = 2SP
分析：情况二：SP = 2SR
相似三角形对应角平分线、中线的比都等于相似比
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中 △ABC 和 △A′B′C′ 相似，AD、A′D′ 分别为对应边上的中线，BE、B′E′ 分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
例3 如图， 已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′ 分别为对应△ABC，△A′B′C′ 的角平分线.
证明 因为 △ABC∽△A′B′C′，
所以∠B =∠B′，∠BAC =∠B′A′C′.
又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线，
因此△ABT∽△A′B′T′，
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
已知△ABC∽△A′B′C′，若 AD，A'D' 分别为△ABC，△A′B′C′ 的中线，则 成立吗？由此你能得出什么结论？
证明 如图，△ABC∽△A′B′C′，
从而△ABD∽△A′B′D′.
由此得到： 相似三角形对应边上的中线的比也等于相似比．
例2 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6 cm 和 8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为 x cm，则由相似性质有解得 x＝18.较长的角平分线长为 24 cm.故这两条角平分线的长分别为 18 cm，24 cm.
1. △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知 ，B1D1 = 4 cm，则 BD = cm.
3. 两个相似三角形对应中线的比为 ，则对应高的比为______ .
2. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的角平分线的比为______.
1. 两个相似三角形的相似比为 ，则对应高的比为________， 则对应中线的比为_________.
4.如图，AD 是 △ABC 的高，AD = h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E.当 时，求 DE 的长.如果 呢？ 　
∴△ASR∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似).
解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，
∴ SR∥BC.
∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C.
(相似三角形对应高的比等于相似比).
当 时，得 解得
当 时，得 解得
选做题：5. 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为1.5 m，面积为 1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图(1)、(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
6. AD 是 △ABC 的高，BC = 60 cm，AD = 40 cm，求图中小正方形的边长.