2027届高中数学高考一轮复习学案：第九章　第67课时　随机事件与概率

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1．(人教A版必修第二册P235练习T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是( )
A．至少有一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都不中靶
2．(北师大版必修第一册P211习题7－3A组T1)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石(古代容量单位)，验得米内夹谷(假设1粒米与1粒谷的体积相等)，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 ( )
A．134石B．169石
C．338石D．1 365石
3．(人教A版必修第二册P247习题10.1T13改编)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.9B．0.3
C．0.6D．0.4
4．(北师大版必修第一册P189例3改编)先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1，若反面向上记为0，则这个试验的样本空间中有
个样本点，有且只有一次正面向上的概率为___________．
5．(人教A版必修第二册P245练习T1改编)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．
(1)如果B⊆A，则P(A∪B)＝______________，
P(AB)＝______________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝___________，
P(AB)＝______________．
1．样本空间与样本点
(1)样本点：随机试验E的每个可能的______称为样本点，常用ω表示．
(2)样本空间：__________________的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
2．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)随机事件：______________________称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件⌀(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．
3．两个事件的关系和运算
提醒：对立事件是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．
4．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有___________；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性___________．
5．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝n(A)n(Ω)．
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
6．概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(⌀)＝0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝___________．
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为⌀⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1．
性质6：(一般概率加法公式)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝__________________．
7．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐___________事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率f n(A)估计概率P(A)．
(3)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
1．求样本空间中样本点个数的方法
(1)列举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．
(2)树状图法：适用于需要分步完成的试验结果．树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复．
(3)排列、组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列、组合的知识．
2．判断事件关系的三种常用方法：定义法、列举观察法及Venn图法．
考点一 随机事件的关系与运算
[典例1] (2026·衡水中学开学考试)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为( )
①2张卡片都不是红色；②2张卡片恰有1张是红色；③2张卡片至少有1张是红色；④2张卡片都为绿色．
A．1B．2
C．3D．4





名师点评：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
[巩固迁移]
1．(多选)某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A＝“两人都中奖”，B＝“两人都没中奖”，C＝“恰有一人中奖”，D＝“至少一人没中奖”．下列关系正确的是( )
A．B∪C＝DB．A∩C≠⌀
C．C⊆DD．B∩D＝B
考点二 随机事件的频率与概率
[典例2] 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．





名师点评：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件．重视利用对立事件的概率和等于1，用间接法求概率，即“正难则反”的思想，常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
[巩固迁移]
2．(多选)已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)＝15，P(A∪B)＝815，P(A∪C)＝920，则( )
A．P(B)＝13 B．P(C)＝13
C．P(B∪C)＝712D．P(B∩C)＝0
考点三 古典概型
[典例3] (1)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为( )
A．15
B．13
C．25
D．23
(2)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A．14
B．13
C．12
D．23





名师点评：利用公式法求解古典概型问题的步骤
[巩固迁移]
3．(1)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A．56
B．23
C．12
D．13
(2)(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为___________．
第67课时 随机事件与概率
以题引理·激活思维
N1．深研教材典题
1．B 2．B 3．D 4.8 38 5．(1)0.4 0.2 (2)0.6 0
N2．储备知识要点
1．(1)基本结果 (2)全体样本点
2．(1)样本空间Ω的子集
3．A⊆B A＝B A∪B或A＋B A∩B或AB A∩B＝⌀ A∩B＝⌀ A∪B＝Ω
4．(1)有限个 (2)相等
6．P(A)＋P(B) 1－P(B) P(A)＋P(B)－P(A∩B)
7．(1)稳定于
精研考点·提升素养
考点一
典例1 C [6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：
“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”．
给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件有：
“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”．
而事件“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥．
∴与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件为①②④，一共3个．故选C．]
巩固迁移
1．ACD [对于A，事件B∪C为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，所以B∪C＝D，故A正确；对于B，事件A∩C表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，所以A∩C＝⌀，故B错误；对于C，“至少一人没中奖”包括“恰有一人中奖”和“两人都没中奖”两种情况，所以C⊆D，故C正确；对于D，由C选项可知B⊆D，所以B∩D＝B，故D正确．]
考点二
典例2 解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为44100＝0.44．
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1．
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B1)