2027届高中数学高考一轮复习课件：第九章　第67课时　随机事件与概率

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[考试要求]1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．2．理解事件间的关系与运算．3．掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．
1．(人教A版必修第二册P235练习T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是(　　)A．至少有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶
B　[“至多有一次中靶”的对立事件是“两次都中靶”．]
2．(北师大版必修第一册P211习题7－3A组T1)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石(古代容量单位)，验得米内夹谷(假设1粒米与1粒谷的体积相等)，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 (　　)A．134石B．169石C．338石D．1 365石
3．(人教A版必修第二册P247习题10.1T13改编)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为(　　)A．0.9B．0.3C．0.6D．0.4
4．(北师大版必修第一册P189例3改编)先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1，若反面向上记为0，则这个试验的样本空间中有_______个样本点，有且只有一次正面向上的概率为__________．
5．(人教A版必修第二册P245练习T1改编)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．(1)如果B⊆A，则P(A∪B)＝___________，P(AB)＝___________；(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝_________，P(AB)＝_________．
(1)0.4　0.2　(2)0.6　0　[(1)因为B⊆A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2．(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝0．]
1．样本空间与样本点(1)样本点：随机试验E的每个可能的____________称为样本点，常用ω表示．(2)样本空间：_______________的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
2．随机事件、必然事件与不可能事件(1)随机事件：_______________________称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件⌀(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．
3．两个事件的关系和运算
提醒：对立事件是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．
6．概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(⌀)＝0．性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝_____________．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝____________．性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为⌀⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1．性质6：(一般概率加法公式)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝________________________________．
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
7．频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐_________事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用可以用频率f n(A)估计概率P(A)．(3)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
1．求样本空间中样本点个数的方法(1)列举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适用于需要分步完成的试验结果．树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复．(3)排列、组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列、组合的知识．
2．判断事件关系的三种常用方法：定义法、列举观察法及Venn图法．
考点一　随机事件的关系与运算[典例1]　(2026·衡水中学开学考试)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为(　　)①2张卡片都不是红色；②2张卡片恰有1张是红色；③2张卡片至少有1张是红色；④2张卡片都为绿色．A．1　　B．2　　C．3　　D．4
C　[6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”．给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件有：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”．而事件“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥．∴与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件为①②④，一共3个．故选C．]
名师点评：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
[巩固迁移]1．(多选)某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A＝“两人都中奖”，B＝“两人都没中奖”，C＝“恰有一人中奖”，D＝“至少一人没中奖”．下列关系正确的是(　　)A．B∪C＝DB．A∩C≠⌀C．C⊆DD．B∩D＝B
ACD　[对于A，事件B∪C为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，所以B∪C＝D，故A正确；对于B，事件A∩C表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，所以A∩C＝⌀，故B错误；对于C，“至少一人没中奖”包括“恰有一人中奖”和“两人都没中奖”两种情况，所以C⊆D，故C正确；对于D，由C选项可知B⊆D，所以B∩D＝B，故D正确．]
考点二　随机事件的频率与概率[典例2]　如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1．同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)