2027届高中数学高考一轮复习学案：第九章　第68课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

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1．(多选)(人教A版必修第二册P266复习参考题10T1改编)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，其对立事件记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( )
A．A与B相互独立B．A与C相互独立
C．A与C互斥D．A与B互斥
2．(人教A版选择性必修第三册P46例1改编)在5道题中有3道代数题和2道几何题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为( )
A．12
B．25
C．35
D．34
3．(人教A版选择性必修第三册P48例3改编)某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为( )
A．15
B．25
C．35
D．920
4．(北师大版必修第一册P217习题7－4A组T4改编)已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是___________．
5．(湘教版选择性必修第二册P163复习题三T7改编)有三个同样的箱子，A箱中有4个黑球1个白球，B箱中有3个黑球3个白球，C箱中有3个黑球5个白球．现任取一箱，再从中任取一球，则此球是白球的概率为___________．
1．事件的相互独立性
2．条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝n(AB)n(A)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝__________________．(3)条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝____；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝__________________；
③设B和B互为对立事件，则P(B|A)＝ ．
3．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝______________________，我们称该公式为全概率公式．
4．*贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω， P(B)>0，有P(Ai|B)＝P(Ai)P(BAi)P(B)＝P(Ai)P(BAi)∑k=1nP(Ak)P(BAk)，i＝1，2，…，n．
1．两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．
2．求复杂事件的概率一般可分三步进行
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地利用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
考点一 事件的相互独立性
事件相互独立性的判断
[典例1] (2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
相互独立事件的概率
[典例2] 乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
(2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．





名师点评：求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的乘法公式直接求解．
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
[巩固迁移]
1．已知从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是( )
A．两个球都是红球的概率为16
B．两个球中恰有1个红球的概率为12
C．两个球不都是红球的概率为13
D．至少有1个红球的概率为23
考点二 条件概率
[典例3] 在一个盒子中有大小与质地相同的20个球，其中10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，求：
(1)在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率；
(2)第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率．





名师点评：求条件概率的两种方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P(AB)P(A)，这是求条件概率的通法．
(2)缩小样本空间法，借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件A与事件B的积事件包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝n(AB)n(A)．
[巩固迁移]
2．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
3．(2022·天津卷)现有52张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为___________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为___________．
考点三 全概率公式的应用
[典例4] (2026· 湖南长沙模拟)某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占30%，合格率为90%；丙品牌的占30%，合格率为90%，在该商店随机买一台机器人．
(1)求该机器人是甲品牌合格品的概率；
(2)求该机器人是合格品的概率；
(3)若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率．





名师点评：“化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝∑i=13P(Ai)P(B|Ai)．
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
[巩固迁移]
4．已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5∶6∶9，红球在1，2，3号箱中分别占35，12，12．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为___________ __．
第68课时 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
以题引理·激活思维
N1．深研教材典题
1．AB 2．D 3．B 4．0.38 5．53120
N2．储备知识要点
1．P(A)·P(B) P(B) P(A)
2．(2)P(A)·P(B|A) (3)1 P(B|A)＋P(C|A) 1－P(B|A)
3．∑i=1nP(Ai)P(B|Ai)
精研考点·提升素养
考点一
考向1 典例1 B [事件甲发生的概率P(甲)＝16，事件乙发生的概率P(乙)＝16，事件丙发生的概率P(丙)＝56×6＝536，事件丁发生的概率P(丁)＝66×6＝16．事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)·P(丙)，A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝136，P(乙丙)≠P(乙)·P(丙)，C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，D错误．故选B．]
考向2 典例2 解：记Ai表示事件，第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i＝0，1，2，
记Bi表示事件，第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i＝0，1，2，
A表示事件：第3次发球，甲得1分，
B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1∶2，
C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先，
(1)B＝A0A＋A1A，
P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16；
P(A1)＝2×0.4×0.6＝0.48；
P(B)＝P(A0A＋A1A)
＝P(A0A)＋P(A1A)
＝P(A0)P(A)＋P(A1)P(A)
＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352．
(2)P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，
P(A2)＝0.62＝0.36，
C＝A1B2＋A2B1＋A2B2，
P(C)＝P(A1B2＋A2B1＋A2B2)
＝P(A1B2)＋P(A2B1)＋P(A2B2)
＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16
＝0.307 2．
巩固迁移
1．C
考点二
典例3 解：(1)设事件A表示：第一个人摸出红球，B表示：第二个人摸出白球，则P(A)＝1020＝12，
第一个人摸出1个红球后，盒子中还有19个球，其中9个红球，10个白球，故在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率P(B|A)＝1019．
(2)设事件A表示：第一个人摸出红球，B表示：第二个人摸出白球，
事件：第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球即事件AB，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝12×1019＝519．
巩固迁移
2．A
3．1221 117 [由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，
则P(BC)＝452×351＝1221，P(B)＝452＝113，
所以P(C|B)＝P(BC)P(B)＝1221113＝117．]
考点三
典例4 解：(1)用A表示机器人是甲品牌，用B表示机器人是合格品，甲品牌的占40%，合格率为95%，
则P(A)＝40%，P(B|A)＝95%，
所以该机器人是甲品牌合格品的概率P(BA)＝P(A)P(B|A)＝40%×95%＝0.38．
(2)用C表示机器人是乙品牌，用D表示机器人是丙品牌，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占30%，合格率为90%；丙品牌的占30%，合格率为90%，
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(B|C)＋P(D)P(B|D)＝40%×95%＋30%×90%＋30%×90%＝0.92．
(3)由(2)知，该机器人是不合格品的概率P(B)＝1－0.92＝0.08，若该机器人是不合格品，它是丙品牌的概率P(D|B)＝P(DB)P(B)＝P(B|D)P(D)P(B)＝0.3×＝38．
巩固迁移
4．37 [设事件Ai为“取出的小球来自i号箱”，事件B为“取出的球为红球”，
则A1∪A2∪A3构成了总的样本空间，且A1，A2，A3两两互斥，
由题意有P(A1)＝55+6+9＝14，P(A2)＝65+6+9＝310，P(A3)＝95+6+9＝920，
P(B|A1)＝35，P(B|A2)＝12，P(B|A3)＝12，
则由全概率公式得P(B)＝∑i=13P(Ai)P(B|Ai)＝2140，
则在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为P(A3|B)＝P(A3B)P(B)
＝P(A3)P(BA3)P(B)＝37．]
概念
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝___________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立
性质
若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立，P(B|A)＝____，P(A|B)＝____