2027届高考数学一轮复习学案第十章　第74课时　概率、统计的综合问题

这是一份2027届高考数学一轮复习学案第十章　第74课时　概率、统计的综合问题，共3页。

考点一 以统计图表为载体的概率、统计问题
[典例1] AI技术驱动的自然语言处理工具引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小组为了解使用该工具的人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数．
(2)将年龄不超过(1)中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民．
①完成下列2×2列联表，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析年龄与喜欢该程序是否有关联？
单位：人
②按照等比例分配分层随机抽样的方式从样本中随机抽取8名居民．若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率．
2025课标新变化：具有运用随机思想进行数据分析的意识．





名师点评：该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象能力和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率．
[巩固迁移]
1．(2026·云南昭通月考)甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”．
(1)求这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，设随机变量X表示抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望；
(3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀品”率分别为0.60，0.30，甲、乙、丙三家产品数在市场中所占比例分别为2∶3∶5，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？





考点二 概率、统计与数列的综合问题
[典例2] (2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(∑i=1nXi)＝∑i=1nqi．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．





名师点评：解答此类问题的关键是借助概率知识(如相互独立事件的概率公式、条件概率的公式等)建立Pn+1与Pn的递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求解．
[巩固迁移]
2．(2026·山西长治模拟)共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为23，使用共享单车的概率为13．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．
(1)求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率；
(2)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为n分的概率为Bn(n∈N*)，比如：B1表示累计积分为1分的概率，B2表示累计积分为2分的概率，试探求Bn与Bn-1之间的关系，并求数列Bn的通项公式．





考点三 概率、统计与函数的交汇问题
[典例3] 根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为
其中α>0，00．
所以不存在p，使得E(X)＝53．
巩固迁移
3．解：(1)设y＝bx+a模型的样本相关系数为r1，y＝dln x＋c模型的样本相关系数为r2，
所以r1＝∑i=15(xi−x)(yi−y)∑i=15(xi−x)2∑i=15(yi−y)2＝3910×161.2≈0.975，
r2＝∑i=15(ui−u)(yi−y)∑i=15(ui−u)2∑i=15(yi−y)2＝15.91.6×161.2≈0.993 75，
由于0