2027届高考数学一轮复习课件第九章　第74课时　概率、统计的综合问题

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[考试要求]1．能从实际生活背景中构建概率模型，并会用统计思维看待和处理实际问题．2．能灵活运用概率、统计、数列、函数、导数等知识解决综合问题，实现知识间的融合．
考点一　以统计图表为载体的概率、统计问题[典例1]　AI技术驱动的自然语言处理工具引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小组为了解使用该工具的人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数．(2)将年龄不超过(1)中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民．①完成下列2×2列联表，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析年龄与喜欢该程序是否有关联？
2025课标新变化：具有运用随机思想进行数据分析的意识．
(2)①由题知，2×2列联表为单位：人
名师点评：该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象能力和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率．
[巩固迁移]1．(2026·云南昭通月考)甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”．
(1)求这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，设随机变量X表示抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望；
(3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀品”率分别为0.60，0.30，甲、乙、丙三家产品数在市场中所占比例分别为2∶3∶5，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？
E(X)＝3×0.4＝1.2．
考点二　概率、统计与数列的综合问题[典例2]　(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
名师点评：解答此类问题的关键是借助概率知识(如相互独立事件的概率公式、条件概率的公式等)建立Pn+1与Pn的递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求解．
【教用·备选题】1．(2019·全国Ⅰ卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api-1＋bpi＋cpi+1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8．①证明：{pi+1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
考点三　概率、统计与函数的交汇问题[典例3]　根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为
名师点评：该类问题常以实际生活中的概率、统计知识为背景，将概率、统计与函数建模融合在一起，充分借助函数的性质研究相关问题的最值，可能涉及函数的单调性、导数等知识，求解时注意合理转化．
[巩固迁移]3．某企业生产一种热销产品，产品日产量为x(x≥1)吨，日销售额为y万元(每日生产的产品当日可销售完毕)，且产品价格随着产量变化而有所变化．经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量xi(i＝1，2，…，5)(单位：吨)和日销售额yi(i＝1，2，…，5)(单位：万元)的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：
【教用·备选题】1．(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p0，令f (x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f '(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，令g(x)＝f '(x)，则g'(x)＝2p2＋6p3x>0，∴f '(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1时，注意到x∈(0，1]时，f '(x)≤f '(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，∴f (x)在(0，1]上单调递减，注意到f (1)＝0，∴x＝1，即p＝1．当E(X)＝p1＋2p2＋3p3>1时，注意到f '(0)＝p1－1