2027年高考数学一轮复习第十章　必刷大题21　概率与统计学案含解析

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1.(13分)(2026·南昌模拟)荔枝这种水果素有“红纱中裹着水晶丸”的美誉，不仅美味，而且还承载着丰富的文化历史.每批荔枝进入市场前都会进行检测.现随机抽取12箱荔枝，其中有6箱为一等品.
(1)现从这12箱中任取3箱，记X表示抽到一等品的箱数，求X的分布列与期望；(7分)
(2)从这12箱荔枝中不放回地依次抽取3箱，求在第一次抽到一等品的前提下后两次至少一次抽到一等品的概率.(6分)
解 (1)若随机抽取3箱，
则X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C63C123=111，P(X=1)=C61C62C123=922，
P(X=2)=C62C61C123=922，P(X=3)=C63C123=111，
X的分布列为
期望为E(X)=0×111+1×922+2×922+3×111=32.
(2)设“第一次抽到一等品”为事件A，“后两次至少一次抽到一等品”为事件B.
n(A)=C61A112，
n(AB)=C61(C61C51A22+A52)，
P(B|A)=n(AB)n(A)=C61(C61C51A22+A52)C61A112=811.
2.(15分)(2026·开封模拟)2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训.
(1)已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率；(7分)
(2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为34，23，12，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率.(8分)
解 (1)从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同的选法有A62=30(种)，
这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同的选法有C31C31A22=18(种)，
所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为1830=35.
(2)记C=“甲培训合格”，Ai=“甲第i轮培训达到优秀”(i=1，2，3)，
则P(A1)=34，P(A2)=23，P(A3)=12，C=A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3，
依题意，P(C)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)
=34×23×12+14×23×12+34×13×12+34×23×12=1724，
所以甲培训合格的概率为1724.
3.(15分)某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次.若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”.若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手都参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲、乙两位同学组成一个小组参赛，且甲、乙同学的投篮命中率分别为23，12.
(1)求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；(5分)
(2)若以“甲、乙同学组成的小组获得‘神投手组合’的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数n(n≥4)为多少时，对该小组更有利.(10分)
解 (1)设“一局比赛中甲被称为‘好投手’”为事件A，
则P(A)=C32×232×1−23+C33×233=2027.
(2)设“一局比赛中乙被称为‘好投手’”为事件B，
则P(B)=C32×122×1−12+C33×123=12，
甲、乙同学都被称为“好投手”的概率为P=2027×12=1027.
比赛设置n(n≥4)局，设甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X，
则X~Bn,1027，
且P(X=3)=Cn3102731−1027n−3，
设f(n)=Cn3102731−1027n−3，n≥4，
则f(n)≥f(n+1),f(n)≥f(n−1),
则Cn3102731−1027n−3≥Cn+13102731−1027n−2,Cn3102731−1027n−3≥Cn−13102731−1027n−4,
即n−2≥1727(n+1),1727n≥n−3,解得n≥7.1,n≤8.1,
又n∈N*，则n=8，
所以本次投篮比赛设置的总局数为8时，对该小组更有利.
4.(17分)(2026·昆明模拟)在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮.如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球.记其进行抽球试验的轮次数为X，求X的分布列和数学期望；(5分)
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过12，有1 000名志愿者独立地进行该抽球试验，用t表示成功时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据：
求y关于t的非线性经验回归方程y^=b^t+a^，并预测当t=6时y的值；(5分)
(3)若在前n轮就成功的概率为pn，证明：pn12，所以pn