2026届高考物理一轮复习模型解读与针对性训练5.带电粒子在电磁场中运动的实际模型(学生版+解析)

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【带电粒子在电磁场中运动的实际模型解读】
【高考真题】
【典例1】（2023浙江6月选考）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术.如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合.位于（0，3L）处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域.不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应.
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若B2＝2B1，求能到达y＝L2处的离子的最小速度v2；
（3）若B2＝B1Ly，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在B1qLm～6B1qLm范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η.
答案 （1）2qB1Lm 2πm3qB1 （2）4qB1Lm （3）60％
解析 （1）离子恰不进入区域Ⅱ时的速度为离子不进入区域Ⅱ的最大速度，作出其此时的运动轨迹，如图1所示
图1
由轨迹图中的几何关系得sin30°＝r1－Lr1，解得r1＝2L
由洛伦兹力提供向心力有qv1B1＝mv12r1
解得v1＝2qB1Lm
由图1的几何关系可得运动轨迹所对圆心角为θ＝2π3
则离子在磁场中的运动时间t＝θr1v1＝2πm3qB1
（2）解法1：作出离子恰好能到达y＝L2处的运动轨迹，如图2所示
图2
若B2＝2B1，由r＝mvqB可知离子在区域Ⅰ中的运动轨迹半径为r2＝r' 12
由几何关系可等效为B2＝B1时离子恰好运动到y＝0处，如图3
图3
由轨迹图中几何关系可得sin30°＝r’1－2Lr’1
解得r’1＝4L
离子在区域Ⅰ磁场中运动，有qv2B1＝mv22r’1
解得v2＝4qB1Lm
解法2：当离子运动到y＝L2处的速度方向水平向右时，速度最小为v2，又B2＝2B1，则由R＝mvqB可知R2＝R’ 12
作出离子的轨迹如图4所示
图4
由几何关系可知∠O2GC＝180°－θ
设O2G＝l，在△O2GC中lsin30°＝R' 1sin（180°－θ）
又由几何关系得R2－R2sinθ＝L2
l＋Lsinθ＝R'1
解得R2＝R' 12＝2L
结合R'1＝mv2qB1可解得v2＝4B1qLm
（3）解法1：由区域Ⅱ中磁场磁感应强度B2＝B1Ly，可知其可等效为磁感应强度为B12的匀强磁场，若再把区域Ⅱ中磁场等效为磁感应强度为B1的匀强磁场，则磁场宽度应等效为L2.画出恰好不能进入第四象限的离子运动轨迹，如图4
图5
由轨迹图中几何关系得sin30°＝r3－1.5Lr3，解得r3＝3L
由洛伦兹力提供向心力有qv3B1＝mv32r3
解得v3＝3qB1Lm
即速度大于v3＝3qB1Lm的离子都能够进入第四象限
进入第四象限的离子数与总离子数之比为η＝6qB1Lm－3qB1Lm6qB1Lm－qB1Lm×100％＝60％
解法2：离子在水平方向上的洛伦兹力Fx＝Bqvy
在磁场Ⅰ中，由动量定理得
Fx·Δt＝B1qvy·Δt＝B1qΔy＝mΔvx1
则ΣB1qΔy＝ΣmΔvx1
即B1qL＝m（v出Ⅰy－vcs60°）
在磁场Ⅱ中，由动量定理得
B1L·y·qvyΔt＝B1Ly·qΔy＝mΔvx2
则ΣB1LqyΔy＝ΣmΔvx2
即B1Lq·L22＝m（v－v出Ⅰy）
故在磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中有
B1qL＋B1L·q·L22＝m（v－vcs60°）
解得v＝3qB1Lm
又速度越小，离子越不容易进入第四象限
所以v＞3qB1Lm时离子进入第四象限
故η＝6B1qLm－3B1qLm6B1qLm－B1qLm×100％＝60％.
【典例2】（2023高考江苏卷）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型.Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射.入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等.不计重力及电子间相互作用.
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为v04，求运动到速度为v02时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝mv05eB位置的电子数N占总电子数N0的百分比.
答案 （1）Bv0 （2）3mv032eB （3）90％
解析 （1）电子沿x轴做直线运动，则电子受平衡力的作用，即eE＝eBv0
解得E＝Bv0
（2）电子在电、磁叠加场中运动，受洛伦兹力和电场力的作用，只有电场力做功，则电子的速度由v04到v02的过程，由动能定理得
eEy1＝12m（v02）2－12m（v04）2
联立解得y1＝3mv032eB
（3）设电子的入射速度为v1时刚好能到达纵坐标为y2＝mv05eB的位置，此时电子在最高点的速度沿水平方向，且大小假设为v2，则
电子在最低点受到的合力为F1＝eE－eBv1
电子在最高点受到的合力为F2＝eBv2－eE
由题意可知电子在最高点与最低点的合力大小相等，即F2＝F1
整理得v1＋v2＝2v0
电子由最低点到最高点的过程，由动能定理得
eEy2＝12mv22－12mv12
整理得v2－v1＝v05
解得v1＝910v0
又电子入射速度越小，电子运动轨迹的最高点对应的纵坐标越大
则能到y2＝mv05eB的位置的电子数占总电子数的比例为
η＝NN0＝v1v0×100％
解得η＝90％.
【针对性训练】
1. （北京通州区2025年高三年级模拟考试）电磁血流量计的原理是基于法拉第电磁感应定律，可用于心血管手术的精密监控，其原理如图所示。空间存在竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场。当血液从内径为的水平血管左侧流入、右侧流出时，因为血液中含有大量的正、负离子，血管上下两侧间将形成电势差。当血液的流量（单位时间内流过血管横截面的血液体积）一定时，下列说法正确的是（ ）
A. 血管上侧电势低，血管下侧电势高
B. 若血管内径变大，则血液流速变大
C. 若血管内径变大，则变小
D. 的大小与血液流速无关
【答案】C
【解析】．根据左手定则可知，正离子所受洛伦兹力向上，负离子所受洛伦兹力向下，所以，血管上侧聚集正离子，电势高，下侧聚集负离子，电势低，故A错误；
血液的流量为
若血管内径变大，则S变大，因Q一定，则v变小，故B错误；
稳定时，粒子所受洛伦兹力等于所受的电场力，即
得
又，
联立得
所以，若d变大，则变小，故C正确；
在流量Q一定的条件下，根据可知若v变化，则d就变化，根据可知， 必定变化，所以与v有关，故D错误。
2. （江西吉安一中2025学年度下学期全真模拟考试）如图所示是磁流体发电机的简易模型图，其发电通道是一个长方体空腔，长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可忽略的导体电极，这两个电极通过开关与阻值为R的电阻连成闭合电路，整个发电通道处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里，如果等离子源以速度发射质量均为m、带电量大小均为q的等离子粒子，沿着与板面平行的方向射入两板间，单位体积内正负离子的个数均为n。忽略等离子体的重力、相互作用力及其他因素。下列说法正确的是（ ）
A. 开关断开的情况下，稳定后上极板电势高于下极板
B. 设等离子体的电阻率为，没有接通电路时，等离子体受到阻力为f，则接通电路后，为了维持速度不变在通道两侧所加的压强差为
C. 电键闭合时，若正离子在通道中的运动轨迹如图中虚线所示（负离子与之类似），设此时两极板电压为U，图中轨迹的最高点和最低点的高度差为
D. 图中轨迹的最高点和最低点的高度差为h，在h＜a的情况下，通过电阻的电流为
【答案】AD
【解析】，可知上极板电势高。A正确；．根据电阻定律可知发电机板间部分的等离子体等效内阻，接通电路，此时发电通道内电荷量为q的离子受力平衡有
解得。由欧姆定律可得
该电流在发电通道内受到的安培力大小为FA=BIa
要使等离子做匀速直线运动，所需推力
整理后解得，B错误；
两板间电场强度为
配速
其中
离子受到的洛伦兹力
故离子以线速度做匀速圆周运动和以做匀速直线运动合运动。
那么
做匀速圆周运动的半径为
则，C错误；
当在的情况下，即，解得
此时与极板距离小于2R的粒子可以打到极板而形成电流，单位时间内打到一块极板上的粒子数为
此时发电机的输出电流为，D正确。
3. (浙江诸暨市2025年5月高三适应性考试试题) 霍尔元件是一种重要的磁传感器。如图所示为某长方体的半导体材料，其电流I沿x轴正方向，匀强磁场B沿z轴正方向。半导体材料内有电荷量均为e的自由电子和空穴（可看作自由移动的带正电离子），已知单位体积内自由电子和空穴的数目之比为n∶p。当半导体材料通有恒定电流后，能很快建立沿y轴正方向的稳定电场，即霍尔电场，则建立稳定电场后（ ）
A. 电子和空穴都做匀速直线运动
B. 空穴受到的霍尔电场力大于洛伦兹力
C. 电子和空穴沿y轴方向上的平均速率之比为p∶n
D. 单位时间内打到下极板电子和空穴数目之比为n∶p
【答案】C
【解析】．由题意，恒定电流沿+x方向，则自由电子沿-x方向，空穴沿+x方向，根据左手定则可知电子受到的洛伦兹力方向向下，空穴受到的洛伦兹力方向向下，所以电子产生电流方向沿y轴正方向，空穴产生电流沿y轴负方向，设Δt时间内运动到导体下表面的自由电子数和空穴数分别为Nn、Np，设两粒子沿y轴方向的速度为vny和vpy，则有Nn=nSvnyΔt，Np=pSvpyΔt, （S为上下底面的面积）霍尔电场建立稳定后，半导体y方向上的下表面电荷量不再发生变化，即Nn=Np, 即在相等时间内运动到导体下表面的自由电子数和空穴数相等，则两种载流子在z方向形成的电流大小相等，方向相反，此时可得vny：vpy=p：n, 故C正确，D错误；因为电子受到的洛伦兹力方向向下，空穴受到洛伦兹力方向向下，霍尔电场沿y轴正方向，所以电子受到霍尔电场的电场力向下，即电子在y方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力向下且不为零，电子的运动不是匀速直线运动；而空穴受到霍尔电场的电场力向上，则空穴在y方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力为零，即空穴受到的霍尔电场力等于洛伦兹力，故AB错误；
4. (浙江诸暨市2025年5月高三适应性考试试题) 如图甲所示是托卡马克装置的结构示意图，其主要包括环形真空室、极向场线圈、环向场线圈等，在环形真空室内注入少量氢的同位素氘和氚，提高温度使其发生聚变反应。如图乙所示为环形真空室的示意图，它的轴线半径为r，横截面的圆半径为R，假设环形真空室内粒子质量为m、电荷量为+q，粒子碰到真空室的室壁立即被吸收。
【提示：空间角是三维空间中的角度度量，用于描述从一个点出发所能观察到的立体角，半顶角为θ的圆锥形发散空间角为】
（1）写出氘和氚核聚变的核反应方程式；
（2）若粒子以v0速度沿真空室轴线做匀速圆周运动，求极向场线圈产生磁场的大小；
（3）将装置中相邻环向场线圈简化为两个平行线圈，通电后在真空室内产生磁感应强度为B0的匀强磁场，如图丙所示。位于两个线圈轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射速度大小为的粒子。
①若某粒子发射时速度方向与x轴的夹角θ=37°，求该粒子做螺旋线运动的螺距；
②求粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比；
（4）实际装置的环向场线圈产生类似“磁瓶”形状的非匀强磁场来约束粒子，如图丁所示。已知沿轴线方向的磁感应强度最大和最小的关系为：，在粒子运行过程中，垂直轴线方向速度的平方与沿轴线方向的磁感应强度的大小之比为一常数，即。位于轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射粒子（所有粒子均没有碰到室壁），求粒子能被约束在“磁瓶”内的比例。
【答案】（1）
（2）
（3），40%
（4）
【解析】（1）氘和氚核聚变的核反应方程式
（2）设极向场线圈产生的磁场大小为B，洛仑兹力提供向心力
解得
（3）带电粒子与x轴成θ角射入环向磁场，粒子沿螺旋线运动。
①设粒子垂直轴向做圆周运动的周期为T，则
设粒子沿轴向上做匀速运动的速度vx，则螺距
解得
②粒子垂直轴向上做匀速圆周运动，设粒子刚好碰到室壁的角度为θ，洛仑兹力提供向心力
半径
根据速度的分解，有
可得
粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比
解得
（4）中点O处的磁场最弱，设在O处发射粒子的速度为v，与轴线夹角为θ；“磁瓶”的“瓶颈”处磁场最强，粒子运动到此处时速度方向恰好与轴线垂直，则粒子能够被约束在“磁瓶”内，因为洛仑兹力不做功，粒子速度大小始终为v。根据题意可知
可得
即
则角度大于θ的粒子能被约束在“磁瓶”内
可得
5.（2022高考北京卷）指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进了人们对地磁场的认识.现代科技可以实现对地磁场的精确测量.
（1）如图1所示，两同学把一根长约10m的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅速摇动这根电线.若电线中间位置的速度约10m/s，电压表的最大示数约2mV.粗略估算该处地磁场磁感应强度的大小B地.
（2）如图2所示，一矩形金属薄片，其长为a，宽为b，厚为c.大小为I的恒定电流从电极P流入、从电极Q流出，当外加与薄片垂直的匀强磁场时，M、N两电极间产生的电压为U.已知薄片单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e.求磁感应强度的大小B.
（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和方向，请说明测量的思路.
答案 （1）10－5T （2）necIU （3）见解析
解析 （1）电线中间位置速度约10m/s，则整体平均速度v＝5m/s.由E＝B地lv可估算出该处地磁场磁感应强度B地的大小约为10－5T
（2）设导电电子定向移动的速率为v，Δt时间内通过横截面的电荷量为Δq，有I＝ΔqΔt＝nebcv
导电电子定向移动过程中，在MN方向受到的电场力与洛伦兹力平衡，有eUb＝evB
解得B＝necIU
（3）如图，建立三维直角坐标系O－xyz
设地磁场磁感应强度在三个坐标轴方向的分量分别为Bx、By、Bz.把金属薄片置于xOy平面内，M、N两极间产生电压Uz仅取决于Bz.由（2）得Bz＝necIUz
由Uz的正负（M、N两极电势的高低）和电流I的方向可以确定Bz的方向
同理，把金属薄片置于xOz平面内，可得By的大小和方向；把金属薄片置于yOz平面内，可得Bx的大小和方向，则地磁场的磁感应强度的大小为B＝Bx2＋By2＋Bz2
根据Bx、By、Bz的大小和方向可确定北京地区地磁场的磁感应强度的大小和方向.
实例
速度选择器
磁流体发电机
电磁流量计
霍尔元件
图像
原理
如图所示，平行板中匀强电场E和匀强磁场B互相垂直.带电粒子沿直线匀速通过速度选择器时有qvB＝qE
如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而分别聚集在P、Q板上，产生电势差，它可以把其他形式的能通过磁场转化为电能
如图所示，导电液体中的自由电荷（正、负离子）在洛伦兹力作用下会发生纵向偏转，使得a、b间出现电势差，形成电场，当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间电势差就保持稳定，只要测得圆形导管直径d，平衡时a、b间电势差U，磁感应强度B等有关量，即可求得液体流量Q（即单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积）
如图所示，高为h、宽为d的导体（自由电荷是电子或正电荷）置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A'之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压
关键点
（1）只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量
（2）具有单一方向性：在图中粒子只有从左侧射入才可能做匀速直线运动，从右侧射入则不能
（1）电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的P板是发电机的正极
（2）电源电动势U：设P、Q平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子体的电阻率为ρ，喷入离子的速度为v，板外电阻为R.当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U（即电源电动势），则qUl＝qvB，即U＝Blv
（3）电源内阻：r＝ρlS
（4）回路最大电流：I＝Ur＋R
（1）导管的横截面积S＝πd24
（2）导电液体的流速v：自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时有qvB＝qE＝qUd，可得v＝UBd
（3）液体流量Q＝Sv＝πd24·UBd＝πdU4B
（4）a、b端电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb
（1）电势高低的判断：导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A'的电势高.若自由电荷是正电荷，则下表面A'的电势低
（2）霍尔电压的计算：导体中的自由电荷（电荷量为q）在洛伦兹力作用下偏转，A、A'间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A'间的电势差（U）就保持稳定，由qvB＝qUh，I＝nqvS，S＝hd，联立得U＝BInqd＝kBId，其中k＝1nq称为霍尔系数