2026届高考物理一轮复习模型解读与针对性训练5.小球-弹簧模型(学生版+解析)

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【小球-弹簧模型解读】
【典例剖析】
【典例1】．（2025高考山东卷17题）（14分）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量的小球自Q点正上方处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到时，b解除锁定开始运动。已知a的质量，b的质量，方形物体的质量，重力加速度大小，弹簧的劲度系数，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小、；
(2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小及弹性势能的最大值。
【答案】(1)，水平向左，，水平向右
(2)，水平向左，
【解析】（1）根据题意可知，小球从开始下落到处过程中，水平方向上动量守恒，则有
由能量守恒定律有
联立解得，
即小球速度为，方向水平向左，大物块速度为，方向水平向右。（6分）
（2）由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块水平方向上动量守恒，则有
解得
设当弹簧形变量为时物块的固定解除，此时小球和物块的速度为，根据胡克定律
系统机械能守恒
联立解得，
固定解除之后，小球、物块和物块组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有
解得，方向水平向左。
由能量守恒定律可得，最大弹性势能为
（8分）
【典例2】.[2022全国乙]如图（a），一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块B向A运动，t＝0时与弹簧接触，到t＝2t0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的v－t图像如图（b）所示.已知从t＝0到t＝t0时间内，物块A运动的距离为0.36v0t0.A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同.斜面倾角为θ（sinθ＝0.6），与水平面光滑连接.碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内.求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块A与斜面间的动摩擦因数.

图（a） 图（b）
答案 （1）0.6mv02 （2）0.768v0t0 （3）0.45
解析 （1）水平面光滑，故在水平面上两物块碰撞过程动量守恒，从B与弹簧接触到弹簧第一次压缩到最短过程中有
mBv1＝（mB＋mA）v0
其中v1＝1.2v0
可得mB＝5m
该过程中机械能守恒，设弹簧最大弹性势能为Ep，得
Ep＋12（mA＋mB）v02＝12mBv12
由上式得Ep＝0.6mv02
（2）由图像知0～t0内物块B与物块A的位移差等于弹簧的最大压缩量，也就是题图中该段时间物块A、B图像所夹面积，物块A在0～t0时间内的位移SA＝0.36v0t0，即为0～t0内，v－t图像中A线与t轴所夹面积.
解法1
在压缩弹簧的过程中，物块A、B所受弹簧弹力大小相等，方向相反，则物块A的加速度始终是物块B加速度的5倍，有aA＝5aB
若两者均做初速度为零的变速运动，则两者的位移满足SA＝5S'B
在图1中深灰色阴影面积为SA，浅灰色阴影面积为S'B.
最大压缩量为X＝1.2v0t0－SA－S'B＝0.768v0t0
图1 图2
解法2
0～t0过程，由动量守恒定律有
mvA＋5mvB＝（m＋5m）v0
结合运动学知识有mSA＋5mSB＝6mv0t0
解得SB＝1.128v0t0（B在0～t0内的位移）
最大压缩量为X＝SB－SA＝1.128v0t0－0.36v0t0＝0.768v0t0
（3）设物块A第一次从斜面滑到平面上时的速度为vx，物块A（含弹簧）回到水平面，第二次与B相互作用过程系统机械能守恒、动量守恒.则有
mBv2－mAvx＝mBv3＋mA·2v0
12mBv22＋12mAvx2＝12mBv32＋12mA（2v0）2
其中v2＝0.8v0
可得vx＝v0（另一解舍去）
物块A第一次从斜面底端滑到最高点的过程，由动能定理有－mgμscsθ－mgssinθ＝0－12m（2v0）2
物块A第一次从最高点滑到水平面的过程，由动能定理有－mgμscsθ＋mgssinθ＝12mv02－0
由上式得μ＝0.45.
【针对性训练】
1. (湖北省2025届八校三统联考)如图所示，光滑水平面上有两个质量均为m的物体A、B，B上连接一劲度系数为k的轻弹簧。物体A以初速度v0向静止的物体B运动。从A接触弹簧到第一次将弹簧压缩到最短的时间为，弹簧弹性势能为（x为弹簧的形变量），弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（ ）

A. 弹簧的最大压缩量为
B. 弹簧的最大压缩量为
C. 从开始压缩弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程中，物体A的位移为
D. 从开始压缩弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程中，物体B的位移为
【答案】BD
【解析】．弹簧压缩到最大时，A、B的速度相同，以A初速度方向为正方向，根据动量守恒定律可得
根据能量守恒定律可得
解得
根据弹性势能公式可得
故A错误，B正确；
CD．由动量守恒定律可得
则有
故
由AB选项分析可知
联合解得
故C错误，D正确。
2. 如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上.现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹簧，速度—时间图像如图乙，则有（ CD ）
A.在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态
B.从t3到t4时刻弹簧由压缩状态恢复原长
C.两物块的质量之比为m1：m2＝1：2
D.在t2时刻A与B的动能之比Ek1：Ek2＝1：8
解析 由题图乙可知t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，且此时系统动能最小，
根据系统机械能守恒可知，此时弹性势能最大，t1时刻弹簧处于压缩状态，而t3时刻
处于伸长状态，故A错误；结合图像弄清两物块的运动过程，开始时A逐渐减速，B
逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被
压缩到最短，然后弹簧逐渐恢复原长，B仍然加速，A先减速为零，然后反向加速，
t2时刻，弹簧恢复原长状态，由于此时两物块速度相反，因此弹簧的长度将逐渐增
大，两物块均减速，在t3时刻，两物块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此
从t3到t4过程中弹簧由伸长状态恢复原长，故B错误；根据动量守恒定律，可知t＝0
时刻和t＝t1时刻系统总动量相等，有m1v1＝(m1＋m2)v2，其中v1＝3 m/s，v2＝1 m/s，
解得m1：m2＝1：2，故C正确；在t2时刻A的速度为vA＝-1 m/s，B的速度为vB＝2
m/s，根据m1：m2＝1：2，求出Ek1：Ek2＝1：8，故D正确.
3. （2024山东济南期末）如图甲所示，物块A、B用轻弹簧拴接，放在光滑水平面上，B左侧与竖直墙壁接触。物块C以速度向左运动，与A相碰后立即粘在一起后不分开并开始计时。A、B运动的图像如图乙所示，、分别表示到时间内A、B的图线与坐标轴所围面积的大小。已知三个物块质量均为，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 内墙对B的冲量大小为
D. 在时刻弹簧的弹性势能为
【参考答案】BC
【名师解析】
二者碰撞过程中动量守恒，可得
解得
在内对AC研究，设水平向左为正方向，由动量定理可得
而B处于静止状态，墙壁对B的冲量大小等于弹簧弹力对A的冲量大小，故内墙对B的冲量大小为，故C正确；
图线与坐标轴所围的面积表示速度的变化量，AC物体初速度为v，根据对称性可知，时刻AC的速度为v，AC的加速度为0，此时弹簧恢复原长，B开始离开墙壁，到时刻加速度均达到最大，此时弹簧的伸长量达到最大，速度相同，即，，
故 ，故B正确；
A的加速度为时弹簧压缩量最大，即
解得
根据牛顿第二定律可得
在时，三者共速，则根据能量守恒定律可知
解得
解得
根据牛顿第二定律可得
故 ，故A错误；
B离开墙壁后整体机械能守恒，则
故在时刻，根据能量守恒定律可知
解得 ，故D错误。
4. 如图所示，一木板放在光滑水平面上，木板的右端与一根沿水平方向放置的轻质弹簧相连，弹簧的自由端在Q点.木板的上表面左端点P与Q点之间是粗糙的，P、Q之间的距离为L，Q点右侧表面是光滑的.一质量为m＝0.2kg的滑块（可视为质点）以水平速度v0＝3m/s从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回.已知木板质量M＝0.3kg，滑块与木板表面P、Q之间的动摩擦因数为μ＝0.2，g＝10m/s2.
（1）若L＝0.8m，求滑块滑上木板后的运动过程中弹簧的最大弹性势能；
（2）要使滑块既能挤压弹簧，最终又没有滑离木板，则木板上P、Q之间的距离L应在什么范围内？
答案 （1）0.22J （2）0.675m≤L＜1.35m
解析 （1）滑块滑上木板后将弹簧压缩到最短时，弹簧具有最大弹性势能，此时滑块、木板共速，取向右为正方向，由动量守恒定律得mv0＝（m＋M）v共
由能量守恒定律得Ep＝12mv02－12（m＋M）v共2－μmgL
解得Ep＝0.22J
（2）滑块最终没有离开木板，滑块和木板具有共同的末速度，设为u，滑块与木板组成的系统动量守恒，有
mv0＝（m＋M）u
设共速时滑块恰好滑到Q点，由能量守恒定律得
μmgL1＝12mv02－12（m＋M）u2
解得L1＝1.35m
设共速时滑块恰好回到木板的左端P点处，由能量守恒定律得2μmgL2＝12mv02－12（m＋M）u2
解得L2＝0.675m
所以P、Q之间的距离L应满足0.675m≤L＜1.35m.
5．（15分）（无锡市2024年秋学期高三期中教学质量调研）如图甲所示，上表面光滑的固定平台上有A、B两物体，A与一轻弹簧相连，以初速度向B运动．从弹簧接触B到与B分离过程A、B的图像如图乙所示．已知从到时间内，A运动的距离为．完全分离后B滑上静止在光滑地面上与平台等高的木板C，C由水平粗糙轨道和1/4光滑圆弧轨道组成、两者相切，圆弧轨道半径，水平轨道长度．已知B、C质量均为m，A、B可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g．求：
图甲
图乙
（1）A物体质量；
（2）为使B物体能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离C，则B与C的水平轨道间的动摩擦因数μ满足的条件；
（3）A、B碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值．
【解析】：（1）A、B碰撞，系统动量守恒，由图乙有 （2分）
解得： （1分）
（2）从弹簧接触B到与B分离，设分离时A物体速度物体速度，有
解得： （2分）
若B物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对B与C整体由水平方向动量守恒 （1分）
由能量守恒定律（1分）
解得：
若B物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对B与C整体由水平方向动量守恒 （1分）
由能量守恒定律 （1分）
解得：
综上所述B与C的水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围为 （1分）
（3）弹簧接触B后，弹簧压缩过程中，A、B动量守恒，有 （1分）
对方程两边同时乘以时间，有 （1分）
之间，根据位移等于速度在时间上的累积，可得 （1分）
将代入，得 （1分）
则弹簧压缩量的最大值． （1分）
6. （2024年11月河北保定期中）如甲图所示，两个物体A、B（均可视为质点）中间用劲度系数为20 N/m的轻质弹簧连接，静置于水平地面上，物体B与P点左侧地面间动摩擦因数为0.1，与P点右侧的摩擦可忽略不计。t = 0时刻开始，物体A受水平向右的拉力F，F与物体A的位移关系如乙图所示。1 s后撤去拉力F，此时物体B刚好开始运动，整个过程中物体A、B的速度与时间关系如丙图所示。物体B质量为10 kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g = 10 m/s2。求：
（1）物体B刚开始运动时弹簧的形变量；
（2）t = 1 s时，物体A、B及弹簧系统的机械能；
（3）弹簧第一次恢复原长时，物体A、B的速率。
【答案】（1）x = 0.5 m
（2）E = 3.5 J
（3）1.5 m/s，0.5 m/s
【解析】
（1）物体B刚开始运动时，对B进行受力分析，弹簧弹力等于最大静摩擦力
可得弹簧的形变量
（2）由图乙可知，x = 0时，F0 = 2 N，由牛顿第二定律得
由图丙可知，0 ~ 1 s内物体A做初速度为0的匀加速直线运动，则有
解得
x = 0.5 m时
解得
由功能关系，A、B及簧系统的机械能E等于F做的功
由图像可得
则系统机械能
（3）t = 1 s时，物体A、B的速度分别为
1 s后撤去F，设弹簧第一次恢复原长时，物体A、B的速度分别为vA′、vB′，A、B及弹簧系统动量守恒
机械能守恒
计算得出物体A、B的速度可能的两组解
或
由丙图可知，弹簧第一次恢复原长时，物体B的速率为正值，所以舍去第二组解，故弹簧第一次恢复原长时，物体A、B的速率分别为1.5 m/s，0.5 m/s。
7. （2024年10月华师大附中质检）如图所示，内壁粗糙、半径的四分之一圆弧轨道AB在最低点B与足够长光滑水平轨道BC相切。质量的小球b左端连接一轻质弹簧，静止在光滑水平轨道上，另一质量的小球a自圆弧轨道顶端由静止释放，运动到圆弧轨道最低点B时，对轨道的压力为小球a重力的两倍。忽略空气阻力，重力加速度g取。
（1）求小球a由A点运动到B点的过程中，摩擦力做功。
（2）求小球a通过弹簧与小球b相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能；
（3）求小球a通过弹簧与小球b相互作用的整个过程中，弹簧对小球b的冲量I的大小。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）小球由A静止释放运动到最低点B的过程中，根据动能定理有
小球在最低点，根据牛顿第三定律可知，小球受到轨道的支持力
根据牛顿第二定律
联立，代入相关已知数据求得
（2）小球a与小球b通过弹簧相互作用，达到共同速度过程中，由动量守恒定律可得
由能量转化和守恒定律可得
联立代入相关已知数据求得：小球a通过弹簧与小球b相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能
（3）小球a与小球b通过弹簧相互作用的整个过程中，设a后来速度为，b后来速度为，由动量守恒定律可得
由能量转化和守恒定律有
对b，根据动量定理有
联立代入相关已知数据可得