2026届高考物理一轮复习模型解读与针对性训练1.带电粒子在磁场中运动模型(学生版+解析)

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【带电粒子在磁场中运动模型解读】
1. 平移圆模型
2.旋转圆模型
3 “放缩圆”模型
4 “磁聚焦”与“磁发散”模型
【高考真题】
【典例1】．（2025高考安徽卷）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为
C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】C
【解析】根据洛伦兹力提供向心力有，可得，故A错误；
当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，，故上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误；
根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确；
根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故D错误。
【典例2】. （2025高考黑吉辽蒙卷）如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。
（1）求粒子射入磁场的速度大小和在磁场中运动的时间。
（2）若在平面内某点固定一负点电荷，电荷量为，粒子质量取（k为静电力常量），粒子仍沿（1）中的轨迹从M点运动到N点，求射入磁场的速度大小。
（3）在（2）问条件下，粒子从N点射出磁场开始，经时间速度方向首次与N点速度方向相反，求（电荷量为Q的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0时，与该点电荷距离为r处的电势）。
【答案】（1）， （2） （3）
【解析】（1）作出正电荷在磁场中运动的轨迹，如图所示
由几何关系可知，正电荷在磁场中做匀速圆周运动的半径为
由洛伦兹力提供向心力
解得正电荷的入射速度大小为
正电荷在磁场中运动的周期为
所以正电荷从M运动到N的时间为
（2）由题意可知，在平面内的负电荷在圆心O处，由牛顿第二定律可知，其中
解得或（舍去）
（3）在（2）的条件下，正电荷从N点离开磁场后绕负电荷做椭圆运动，如图所示
由能量守恒定律得
由开普勒第二定律可知
其中
联立解得
由牛顿第二定律
解得
故正电荷从点离开磁场后到首次速度变为与点的射出速度相反的时间为
【针对性训练】
1. （河北名校联考普通高中2025届高三年级适应性演练）如图所示，圆心为、半径为的圆形区域内外存在垂直纸面方向的匀强磁场，圆内的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为，圆外区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为。质量为、带电量为的粒子从圆周上的点以某一速度沿半径方向进入圆形区域，粒子第一次离开圆形区域时速度偏转角为。不计粒子重力。下列说法中正确的是（ ）
A. 粒子的速度大小为
B. 粒子通过的路程后第一次返回点
C. 粒子运动的周期为
D. 若仅去掉圆形区域内的磁场，粒子经过时间第一次沿方向通过点
【答案】BD
【解析】．的粒子从圆周上的点以某一速度沿半径方向进入圆形区域，粒子第一次离开圆形区域时速度偏转角为，可知粒子扫过的圆心角为，如图所示
结合关系可知其轨迹圆半径
粒子在圆形磁场区内有
联立解得，A错误；
粒子在圆外区域磁场的轨迹半径
粒子在圆内磁场运动的圆心角
则运动的弧长
根据几何关系可知，粒子在圆外区域磁场的圆心角
对应的弧长
粒子第一次返回M点的轨迹如图所示
粒子第一次返回M点经过的路程，B正确；
粒子在圆内磁场运动的周期
运动时间
粒子在圆外磁场运动的周期
运动时间
故粒子的运动周期为，C错误；
去掉圆内磁场时，粒子在圆内做匀速直线运动，如图所示
运动的时间为
结合上述结论可得，解得
由于粒子在圆形区域外偏转的圆心角为，根据几何知识可知，对应圆形区域的圆心角为，粒子在圆形区域外运动的时间为
要使粒子第一次沿方向通过点，粒子恰好沿圆形区域运动一周，故粒子总共沿圆y运动的次数
故粒子第一次沿方向通过点所需要的时间，D正确。
2 . (内蒙古2025年普通高等学校招生全国统一考试第三次模拟)如图，在xOy平面内y≥0区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在处放置一平行于y轴的足够长的挡板。O点处的粒子源在xOy平面第一象限0~90°范围内发射大量质量为m、电荷量为q（q>0）、速度大小相等的粒子，所有粒子恰好都能打在挡板上，并立即被挡板吸收。不计粒子重力和粒子间相互作用，下列说法正确的是（ ）
A. 粒子的速度大小为
B. 粒子在磁场中运动的最短时间为
C. 沿不同方向射出的粒子在磁场中运动的时间可能相同
D. 一定会有两个不同方向射出的粒子打在挡板上y=1.5a处
【答案】AD
【解析】．如图所示，所有粒子恰好都能打在挡板上，则粒子转动的半径
由，可得
故A正确；
如上图所示，粒子在磁场中运动的圆心角为时，运动时间最短。由周期
得最短时间，故B错误；
粒子射出的方向不同则轨迹不同，对应的圆心角不同，也即运动时间不同，故C错误；
如图所示，打到挡板上的最远点坐标为，1.5a在之间，则一定会有两个不同方向射出的粒子打在挡板上该点，故D正确。
3. （2025届信阳潢川县一高和高级中学二模联考）如图所示，在平面直角坐标系内，以坐标原点为圆心，半径为的圆形区域内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（图中未画出），磁场区域外右侧有宽度为的粒子源，为粒子源两端点，连线垂直于轴，粒子源中点位于轴上，粒子源持续沿轴负方向发射质量为、电荷量为，速率为的粒子。已知从粒子源中点发出的粒子，经过磁场区域后，恰能从圆与轴负半轴的交点处沿轴负方向射出磁场，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则（ ）
A. 带电粒子在磁场中运动的半径为R
B. 匀强磁场的磁感应强度大小为
C. 在磁场中运动的带电粒子路程最长为
D. 带电粒子在磁场中运动的时间最短为
【答案】AC
【解析】．从粒子源中点发出的粒子，在磁场中的轨迹如图所示
由几何知识可知带电粒子在磁场中运动的半径为，A正确；
B．根据牛顿第二定律有
解得
B错误；
C．从点发出的粒子在磁场中的轨迹
如图所示，此时轨迹最长
由几何知识可知四边形为菱形，则；则在磁场中运动的带电粒子路程最长为
C正确；
D．从点发出的粒子在磁场中的轨迹如图所示
可知四边形为菱形，则；可知此时粒子经过磁场区域时间最短，则
D错误。
4. （山西吕梁市2025年高三年级第三次模拟考试） 如图所示，和是竖直圆的两条相互垂直的直径，水平，为过点且平行的直线，圆内部充满磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。现有一束宽度和相等、电荷量为、质量为的带正电粒子以相同速率平行直径射入圆，粒子均通过点进入直线下方。已知圆的半径为，不计重力及粒子间的相互作用。
（1）求粒子的速率；
（2）若直线下方充满磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，分别射向和中点的两粒子进入直线下方后又均从点射出下方磁场，求点到点的距离；
（3）若直线下方、延长线的右侧存在一个垂直纸面向里的矩形匀强磁场，直线和延长线分别为其两个边界，该磁场竖直方向边长为，水平方向边长为。已知粒子在该磁场中做圆周运动的半径介于到之间，在该磁场中运动时间最长的粒子的运动时间恰好为粒子在该磁场中做圆周运动周期的，求矩形磁场的磁感应强度大小。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据题意可知，以相同速率平行直径射入圆，粒子均通过点进入直线下方，由磁聚焦可知，粒子在磁场中做圆周运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
（2）结合上述分析可知，粒子进入下方后做圆周运动的半径为
由几何关系可得，两粒子从点射出圆形磁场时速度方向与延长线的夹角相等，设为，则
由几何关系可得
联立解得
（3）设矩形磁场磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的轨道半径为，根据洛伦兹力提供向心力，得
解得
当时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为的圆弧，圆弧与矩形磁场的边界相切，如图所示
设该粒子在矩形磁场中运动的时间为，依题意
回旋角度为，设该粒子进入矩形磁场时的速度方向与竖直方向间的夹角为，由几何关系得，，
解得，（舍）
联立解得
5. （2025年4月河南豫西重点高中联考）如图所示，真空区域内有一足够大的荧光屏，其左侧有一无限大的匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。为一粒子源，可沿纸面向各个方向发射大量速度大小为v的带负电的粒子。已知粒子的比荷为，S到荧光屏的距离为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
（1）粒子距S的最远距离；
（2）粒子到达荧光屏的最短时间和最长时间；
（3）荧光屏的发光长度。
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】（1）设到荧光屏距离为，带负电的粒子在匀强磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力有
解得
距的最远距离
（2）作出运动轨迹，如图所示
由几何关系可知，轨迹圆的圆心为图中点时，轨迹圆的圆心角最小为
又
解得
负粒子到达荧光屏的最短时间为
解得
同理，由几何关系可知，轨迹圆的圆心为图中点时，粒子到达荧光屏时，轨迹圆的圆心角最大为。粒子到达荧光屏的最长时间
解得
（3）由几何关系可知，轨迹圆的圆心为时，负粒子到达荧光屏下方最远处，由几何关系可得
同理，轨迹圆圆心为时，负粒子到达荧光屏上方最远处，由几何关系可得
则荧光屏的发光长度
解得
6. (2025届江苏省苏州市八校高三下学期三模联考)某种粒子诊断测量简化装置如图所示，竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向内的匀强磁场，探测板的下端K在的右侧延长线上，该板平行于竖直放置，且能沿水平方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计的离子束持续从边界沿垂直方向射入磁场，a束离子在磁场中偏转后射出磁场，a、b束离子射入磁场的速度大小分别为、，b、c束离子在磁场中的运动时间均相同。已知a、b、c三束离子射入点距F的距离分别为，三束离子每束每秒射入磁场的离子数均为n，离子质量均为m、电荷量均为，探测板的长度为，不计离子重力及离子间的相互作用，离子在磁场内、外均不会相撞，。
（1）求磁感应强度B的大小和c束离子在磁场中的运动时间t；
（2）求无法探测到离子束时探测板与边界的最小距离；
（3）若打到探测板上离子全部被吸收，探测板到距离为S，求粒子束对探测板的平均作用力的水平分量f。
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】（1）离子运动轨迹如图，没a、b、c圆周运动半径分别为r1，r2、r3，由几何知识，对a有
解得
r1=R
a离子在磁场中运动有
可得
对b离子有
由几何知识
解得
b、c在磁场中运动时间相同，则有
c束离子在磁场中的运动时间为
（2）对c，由几何知识
解得
当c恰好打到HK的顶端时，HK离FD的距离为
得
当a恰好打在HK底部时，HK离FD的距离为
由子S1>S2，所以
（3）当b恰好打到HK的顶端时，HK离FD的距离为
得
当时，a、b、c都可打在HK上，对c有
得
由动量定理
解得
当时，a、c打在HK上
得
当时，c打在HK上
得
适用条件
同种带电粒子速度大小相等、方向相同，入射点不同但在同一直线上.粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径r＝mv0qB，如图所示（图中只画出了粒子带负电的情境）
轨迹圆
圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为r＝mv0qB的圆进行平移，从而探索粒子运动的临界条件
适用条件
同种带电粒子速度大小相等，方向不同.粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，圆周转向相同，圆心位置不同，轨迹不同.若粒子射入磁场时的速度为v0，则粒子做圆周运动的轨迹半径为R＝mv0qB，如图所示（图中只画出粒子带正电的情境）
轨迹圆
圆心共圆
如图.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径R＝mv0qB的圆上
界定方法
将半径为R＝mv0qB的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运动的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
适用条件
同种带电粒子速度方向相同，大小不同.粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化
轨迹圆
圆心共线
如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度v越大，运动半径越大.带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直入射速度方向的直线PP'上
界定方法
以入射点P为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
原理
图像
证明
磁聚焦
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R＝r），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出
图甲
四边形OAO'B为菱形，是特殊的平行四边形，对边平行，OB必平行于AO'（即竖直方向），可知从A点入射的带电粒子必然经过B点
磁发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果带正电粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行
图乙
所有粒子运动轨迹的圆心与磁场圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是特殊的平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行且等于PO，即出射速度方向相同（均沿水平方向）