期末模拟卷2025-2026学年广州市海珠区八年级下册数学人教版含答案

这是一份期末模拟卷2025-2026学年广州市海珠区八年级下册数学人教版含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．【易】若a−2025在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＞2025C．a≥2025D．a≤2025
2．【较易】如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（ ）
A．9B．8C．27D．45
3．【中档】甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是S甲2=0.13，S乙2=0.69，S丙2=0.34，S丁2=0.56，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．【易】一个菱形的边长为5，一条对角线长是6，则该菱形的面积为（ ）
A．8B．12C．16D．24
5．【中档】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（ ）
A．8B．16C．83D．163
6．【较易】在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx的图象经过点P1（﹣1，y1），P2（2，y2），且y1＞y2，则k的值可能为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
7．【较易】下列计算中正确的是（ ）
A．3+2=5B．(−3)2=−3
C．24÷6=4D．8−2=2
8．【中档】如果函数y＝﹣2x+m的图象不经过第三象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0
9．【较易】已知a−1a=5，则a+1a=（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．±3
10．【中档】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，点D为边AC上一点且CD＝1，△BED与△BCD关于BD轴对称，若∠EDA＝∠A，则线段BC的长为（ ）
A．10B．6C．32D．15
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．【易】一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为 ．
12．【较易】计算246的结果为 ．
13．【中档】把直线y＝﹣3x+4 沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的新直线的函数表达式为 ．
14．【中档】我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为 ．
15．【中档】如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，CP，DP分别平分∠BCD和∠ADC，AD＝8，AB＝4，则OP＝ ．
【中档】直线l：y＝kx+b（k、b是常数且k≠0）经过A（﹣1，1）、B（2，n）两点，其中n＜0，下列五个结论：①﹣k+b＝1；②方程kx+b＝0的解在﹣1和2之间；③−13＜k＜0；④5k+b＜﹣1；⑤不等式kx+b＞|x|的解集为x＜﹣1时，n＜﹣2，其中正确的结论有
（只需填写序号）．
三、解答题（共86分）
17．（4分）【较易】计算：(48−27)÷3+6×213
18．（6分）【较易】已知如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AF＝CE．求证：BF＝DE．
19．（8分）【中档】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝25，DA=5．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
20．（10分）【中档】某篮球队，全员进行定点投篮训练，每人投五次，训练结束后，发现命中的结果只有2次、3次、4次、5次，并把结果制成了如图1，图2所示不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）“命中4次”所在扇形的圆心角是 ；请补充完整条形统计图；
（2）若有一名队员新加入篮球队，经过五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现平均数变小，求此队员命中结果的最大值；
（3）若有n名队员加入篮球队，经过五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现中位数发生了变化，求n的最小值．
21．（10分）【较易】如图，在▱ABCD中AC⊥CD于点C，∠ACB＝30°．
（1）尺规作图：作BC边中点E，并连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，已知AE＝4，若点O是▱ABCD对角线的交点，连接OE，求OE的长．
22．（10分）【中档】某校计划购买A，B两种型号的机器人模型．已知购买1台A型机器人模型和2台B型机器人模型共需11万元，购买2台A型机器人模型和3台B型机器人模型共需19万元．
（1）每台A型机器人模型和B型机器人模型的售价分别为多少万元？
（2）若该校计划购买A，B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该校购买两种型号机器人所需的总费用最多为多少万元？
23．（12分）【中档】如图1，在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝4．点E为边CD的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C时停止运动，连接EP，EB．设点P的运动时间为x秒，记△EPB的面积为y．
（1）当x＝ 秒时，点P到达点C处；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）在如图2所示给定的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象并根据图象直接写出△EPB的面积不大于2时自变量x的取值范围．
24．（12分）【较难】如图，已知直线l1：y＝kx﹣4与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点D和点B，且两直线交于点C，C点坐标为（﹣8，m）．
（1）求k的值．
（2）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，请求出p的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）直线AB上是否存在点Q，使得∠BDQ＝45°，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．【较难】如图，点E为正方形ABCD的边AB上一动点（点E不与点A，B重合），将△CBE沿CE对折得到△CGE，延长CG交AD于点F，延长EG交AD于点H．
（1）求证：GH＝HD；
（2）若BE＝2AE，求AHDH的值；
（3）连接EF，若CF=5，EF=5，求线段DH的长．
答案解析
1．【易】若a−2025在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＞2025C．a≥2025D．a≤2025
【答案】C
【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可．
【解答】解：若a−2025在实数范围内有意义，
则a﹣2025≥0，
解得a≥2025，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．【较易】如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（ ）
A．9B．8C．27D．45
【答案】A
【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4＝x﹣3，求出即可．
【解答】解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，
∴根据图形得：2+4＝x﹣3，
解得：x＝9，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程．
3．【中档】甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是S甲2=0.13，S乙2=0.69，S丙2=0.34，S丁2=0.56，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】根据四人方差大小和平均数大小即可判断．
【解答】解：∵95＞93，
∴甲丙两人10次的平均成绩更高；
∵S甲2=0.13，S丙2=0.34，
∴S甲2＜S丙2，
∴甲丙当中，甲同学的成绩更稳定，
∴这10次比赛中成绩又高又稳定的是甲，
故选：A．
【点评】本题考查了方差和平均数，方差能反映一组数据的波动程度大小，方差越小，数据的波动程度越小，即越稳定，掌握方差和平均数的概念是解本题的关键．
4．【易】一个菱形的边长为5，一条对角线长是6，则该菱形的面积为（ ）
A．8B．12C．16D．24
【答案】D
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．
【解答】解：如图，当BD＝6时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，
∵AB＝5，
∴AO=AB2−BO2=25−9=4，
∴AC＝8，
∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
5．【中档】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（ ）
A．8B．16C．83D．163
【答案】D
【分析】由矩形的性质得出OA＝BO，证△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD＝90°，AO＝CO=12AC，BO＝DO=12BD，AC＝BD＝2OB＝8，
∴OA＝BO，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝4，
∴AD=BD2−AB2=82−42=43，
∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝4×43=163；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明△AOB为等边三角形是解题的关键．
6．【较易】在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx的图象经过点P1（﹣1，y1），P2（2，y2），且y1＞y2，则k的值可能为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【答案】D
【分析】根据题意判断出函数的增减性，求出k的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：正比例函数y＝kx的图象经过点P1（﹣1，y1），P2（2，y2），
∵﹣1＜2，y1＞y2，
∴y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴k可能为﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意判断出函数的增减性是解题的关键．
7．【较易】下列计算中正确的是（ ）
A．3+2=5B．(−3)2=−3
C．24÷6=4D．8−2=2
【答案】D
【分析】直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、3+2无法计算，故此选项不合题意；
B、(−3)2=3，故此选项不合题意；
C、24÷6=2，故此选项不合题意；
D、8−2=2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
8．【中档】如果函数y＝﹣2x+m的图象不经过第三象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0
【答案】B
【分析】由一次函数的k＝﹣2＜0，直线必过二、四象限，只需根据“不经过第三象限”确定直线与y轴交点的范围，即可得到m的取值．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，直线一定经过第二、第四象限，
∵直线图像不经过第三象限，
∴当m＝0时，函数图像过原点，仅经过第二、四象限，不经过第三象限，符合条件，
当m＞0时，直线与y轴正半轴相交，图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，符合条件，
当m＜0时，直线与y轴负半轴相交，图像经过第二、三、四象限，经过第三象限，不符合条件，
综上可得m≥0．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
9．【较易】已知a−1a=5，则a+1a=（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．±3
【答案】C
【分析】根据a−1a=5和完全平方公式，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵a−1a=5，
∴（a−1a）2＝5，
∴a2﹣2+1a2=5，
∴a2+2+1a2=9，
∴（a+1a）2＝9，
∴a+1a=±3，
故选：C．
【点评】本题考查分式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
10．【中档】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，点D为边AC上一点且CD＝1，△BED与△BCD关于BD轴对称，若∠EDA＝∠A，则线段BC的长为（ ）
A．10B．6C．32D．15
【答案】D
【分析】延长AC至点M，使AC＝CM，连接BM，过点D作DF⊥BM于点F，先证明BC是AM的垂直平分线，则∠ABC＝∠MBC，BM＝AB＝8，继而证明四边形BEDF是矩形，可推导出BF＝DE＝1，BE＝BC＝DF，FM＝BM﹣BF＝7，再证明△BCM≌△DFM，可得CM＝FM＝7，由勾股定理，求出BC=(BM2−CM2)=15，即可解答．
【解答】解：延长AC至点M，使AC＝CM，连接BM，过点D作DF⊥BM于点F，
∴∠DFB＝∠DFM＝90°，
∵对称，
∴BE＝BC，∠E＝∠ACB＝90°，DE＝CD＝1，
∴BC⊥AC，∠CBE＝360°﹣∠DEB﹣∠BCD﹣∠EDC＝180°﹣∠EDC，∠BCM＝180°﹣∠ACB＝90°，
即BC是AM的垂直平分线，
∴BM＝AB＝8，
∴∠ABC＝∠MBC，
∵∠ADE＝∠A＝180°﹣∠EDC，
∴∠A＝∠CBE，
∴∠EBM＝∠CBM+∠EBC＝∠A+∠ABC＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴BF＝DE＝1，DF＝BE，
∴BC＝DF，FM＝BM﹣BF＝7，
∵∠M＝∠M，∠BCM＝∠DFM＝90°，
∴△BCM≌△DFM（AAS），
∴CM＝FM＝7，
∴BC=BM2−CM2=15，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
11．【易】一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为 1 ．
【答案】1．
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，延长即可得到答案．
【解答】解：数据：1、1、1、2、5、6的众数为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查众数，关键是掌握众数的定义．
12．【较易】计算246的结果为 2 ．
【答案】2．
【分析】先将原式根据二次根式的除法运算法则变形为：246=4，然后再根据算术平方根定义解答即可．
【解答】解：246=246=4=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键．
13．【中档】把直线y＝﹣3x+4 沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的新直线的函数表达式为 y＝﹣3x+2 ．
【答案】y＝﹣3x+2．
【分析】根据函数的平移法则“上加下减”可得新的函数解析式即可．
【解答】解：根据函数的平移法则：左加右减，上加下减，直线y＝﹣3x+4 沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的新直线的函数表达式为 y＝﹣3x+2．
故答案为：y＝﹣3x+2．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．
14．【中档】我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为 3−5 ．
【答案】3−5．
【分析】由题意可知，AD＝AB＝3，AE＝2，CE＝3，在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，
由题意可知，AD＝AB＝3，AE＝2，CE＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE=AD2−AE2=32−22=5，
∴CD＝CE﹣DE＝3−5，
故答案为：3−5．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．【中档】如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，CP，DP分别平分∠BCD和∠ADC，AD＝8，AB＝4，则OP＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】延长CP交AD于点E，由平行四边形的性质得BC∥AD，CD＝AB＝4，OC＝OA，因为CP平分∠BCD，所以∠PCD＝∠PCB＝∠PED，则ED＝CD＝4，而AD＝8，求得AE＝4，由ED＝CD，DP平分∠ADC，得PE＝PC，所以OP=12AE＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长CP交AD于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AD＝8，AB＝4，
∴BC∥AD，CD＝AB＝4，OC＝OA，
∵CP平分∠BCD，
∵∠PCD＝∠PCB＝∠PED，
∴ED＝CD＝4，
∴AE＝AD﹣ED＝8﹣4＝4，
∵ED＝CD，DP平分∠ADC，
∴PE＝PC，
∴OP=12AE＝2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
16．【中档】直线l：y＝kx+b（k、b是常数且k≠0）经过A（﹣1，1）、B（2，n）两点，其中n＜0，下列五个结论：①﹣k+b＝1；②方程kx+b＝0的解在﹣1和2之间；③−13＜k＜0；④5k+b＜﹣1；⑤不等式kx+b＞|x|的解集为x＜﹣1时，n＜﹣2，其中正确的结论有 ①②④⑤ （只需填写序号）．
【答案】①②④⑤．
【分析】①把A（﹣1，1）代入l：y＝kx+b可判断①正确；②数形结合可判断②正确；把A（﹣1，1）、B（2，n）代入l：y＝kx+b消去b，结合n＜0可判断③错误；④把b＝k+1代入5k+b，结合k＜−13可判断④正确；⑤结合l：y＝kx+b和y＝|x|的图象，可判断⑤正确．
【解答】解：①把A（﹣1，1）代入l：y＝kx+b，得 1＝﹣k+b，即﹣k+b＝1，故①正确；
②：直线l：y＝kx+b经过A（﹣1，1）、B（2，n）两点，其中n＜0，如图，
∴方程kx+b＝0的解在﹣1和2之间，故②正确；
③把A（﹣1，1）、B（2，n）代入l：y＝kx+b，得 1=−k+b2k+b=n，
消去b得，k=n−13，
∵n＜0，−k＜−13，故③错误；
④由1＝﹣k+b，得 b＝k+1，代入5k+b，得 5k+k+1＝6k+1，
∵k＜−13，
∴6k+1＜﹣1，即5k+b＜﹣1，故④正确；
⑤如图，
∵不等式kx+b＞|x|的解集为x＜﹣1，
∴x＞﹣1，l：y＝kx+b的图象在y＝|x|图象的下方，
∴当x＝2时，y＝﹣x＝﹣2，
∴n＜﹣2，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，掌握相关知识的灵活运用是解题的关键．
17．【较易】计算：(48−27)÷3+6×213
【答案】1+22．
【分析】根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题．
【解答】解：(48−27)÷3+6×213
=16−9+22
＝4﹣3+22
＝1+22．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
18．【较易】已知如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AF＝CE．求证：BF＝DE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AF＝CE，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AD﹣AF＝BC﹣CE，
∴FD＝BE，
∴四边形FBED是平行四边形，
∴BF＝DE．
【分析】根据平行四边形的性质得出四边形FBED是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AF＝CE，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AD﹣AF＝BC﹣CE，
∴FD＝BE，
∴四边形FBED是平行四边形，
∴BF＝DE．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定定理．
19．【中档】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝25，DA=5．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）5；
（2）11．
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，从而可得∠ADC＝90°，然后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5；
（2）∵AD2+CD2＝（5）2+（25）2＝5+20＝25，AC2＝52＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
=12AB•BC+12AD•CD
=12×3×4+12×5×25
＝6+5
＝11．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．【中档】某篮球队，全员进行定点投篮训练，每人投五次，训练结束后，发现命中的结果只有2次、3次、4次、5次，并把结果制成了如图1，图2所示不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）“命中4次”所在扇形的圆心角是 135° ；请补充完整条形统计图；
（2）若有一名队员新加入篮球队，经过五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现平均数变小，求此队员命中结果的最大值；
（3）若有n名队员加入篮球队，经过五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现中位数发生了变化，求n的最小值．
【答案】（1）135°，补全统计图详见解答；
（2）3；
（3）4．
【分析】（1）根据频率=频数总数求出样本容量，再求出命中“4次”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，求出命中“5次”的人数即可补全条形统计图；
（2）求出原命中结果的平均数，再根据加入1名新队员，其平均数变小了，得出此时命中结果的最大值；
（3）利用中位数的意义，得出n的值即可．
【解答】解：（1）调查人数为：10÷25%＝40（人），
“命中4次”所对应的圆心角度数为360°×1540=135°，
“命中5次”的人数为40﹣10﹣12﹣15＝3（人），
故答案为：135°，补全条形统计图如下：
（2）原命中结果的平均数为2×10+3×12+15×4+3×540=3.275，
∵一名队员新加入篮球队，结果五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现平均数变小了，
∴此队员命中结果的最大值为3；
（3）若n名队员加入篮球队，命中结果均为3，此时中位数不会变化，
若n名队员加入篮球队，命中结果均大于3，当中位数为3+42=3.5时，n的值为4，
当命中结果为其它情况时，n的值均大于4，
所以n的最小值为4．
【点评】本题考查中位数、平均数、条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的关键．
21．【较易】如图，在▱ABCD中AC⊥CD于点C，∠ACB＝30°．
（1）尺规作图：作BC边中点E，并连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，已知AE＝4，若点O是▱ABCD对角线的交点，连接OE，求OE的长．
【答案】（1）见解答．
（2）2．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点E，连接AE即可．
（2）由平行四边形的性质可得点O为AC的中点，AB∥CD，则AC⊥AB，AE为直角△ABC斜边上的中线，OE为△ABC的中位线，可得BC＝2AE＝8，OE∥AB，则CE=12BC=4，∠COE＝∠BAC＝90°，进而可得OE=12CE=2．
【解答】解：（1）如图，作线段BC的垂直平分线，交BC于点E，连接AE，
则点E即为所求．
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点O为AC的中点，AB∥CD．
∵AC⊥CD，
∴AC⊥AB．
∵点E为BC的中点，
∴AE为直角△ABC斜边上的中线，OE为△ABC的中位线，
∴BC＝2AE＝8，OE∥AB，
∴CE=12BC=4，∠COE＝∠BAC＝90°．
∵∠ACB＝30°，
∴OE=12CE=2．
【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．【中档】某校计划购买A，B两种型号的机器人模型．已知购买1台A型机器人模型和2台B型机器人模型共需11万元，购买2台A型机器人模型和3台B型机器人模型共需19万元．
（1）每台A型机器人模型和B型机器人模型的售价分别为多少万元？
（2）若该校计划购买A，B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该校购买两种型号机器人所需的总费用最多为多少万元？
【答案】（1）A型机器人模型的单价为5万元，B型机器人模型的单价为3万元；
（2）该校购买两种型号机器人所需的总费用最多为93万元．
【分析】（1）设A型机器人模型的单价为x万元，B型机器人模型的单价为y万元，根据“购买1台A型机器人模型和2台B型机器人模型共需11万元，购买2台A型机器人模型和3台B型机器人模型共需19万元”列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型（25﹣m）台，根据“购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用”列出不等式，求出m的取值范围，再设总费用为w万元，利用总价＝单价×数量，可列出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设A型机器人模型的单价为x万元，B型机器人模型的单价为y万元，
根据题意得：x+2y=112x+3y=19，
解得x=5y=3，
答：A型机器人模型的单价为5万元，B型机器人模型的单价为3万元；
（2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型（25﹣m）台，
根据题意得：5m≤3（25﹣m），
解得：m≤758，
设总费用为w万元，
根据题意得：w＝5m+3（25﹣m）＝2m+75，
∴2＞0，
∴w随着m的增大而增大，
∵m为正整数，
∴当m＝9时，总费用最大，最大值为93，
答：该校购买两种型号机器人所需的总费用最多为93万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23．【中档】如图1，在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝4．点E为边CD的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C时停止运动，连接EP，EB．设点P的运动时间为x秒，记△EPB的面积为y．
（1）当x＝ 4 秒时，点P到达点C处；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）在如图2所示给定的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象并根据图象直接写出△EPB的面积不大于2时自变量x的取值范围．
【答案】（1）4；
（2）y=−2x+4(0≤x＜2)x−2(2＜x≤4)；
（3）图象见解析；1≤x≤4且x≠2．
【分析】（1）先根据菱形的性质求得BC+AB＝8，再根据速度、路程、时间的关系即可解答；
（2）分点P在AB上和BC上两种情况、分别根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、三角形面积公式求解即可；
（3）先根据（2）得到的函数解析式画出函数图象，然后根据函数图象即可解答．
【解答】解：（1）∵菱形ABCD，AB＝4，
∴BC＝AB＝4，
∴BC+AB＝8，
∴点P到达点C处时，x=82=4，
故答案为：4；
（2）①当点P在AB上时，即0≤x＜2时，
如图：分别过D、E作DF⊥AB，EG⊥AB，则BP＝4﹣2x，
∵在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝4，
∴CD∥AB，AD＝AB＝4，即DF=12AD=2，
∴EG＝DF＝2，
∴△EPB的面积为12BP⋅EG=12(4−2x)×2=4−2x，即y＝﹣2x+4（0≤x＜2）；
②当点P在BC上时，即2＜x≤4时，
如图：过E作EH⊥BC，则BP＝2x﹣4，
∵在菱形ABCD中，AB＝4，点E为边CD的中点，
∴CD＝AB＝4，即CE=12AD=2，
∵∠A＝30°，
∴EH=12CE=1，
∴△EPB的面积为12BP⋅EH=12(2x−4)×1=x−2，即y＝x﹣2（2＜x≤4）．
综上，y关于x的函数解析式为y=−2x+4(0≤x＜2)x−2(2＜x≤4)；
（3）根据y=−2x+4(0≤x＜2)x−2(2＜x≤4)，画出函数图象如下：
由函数图象可得：△EPB的面积不大于2时自变量x的取值范围为1≤x≤4且x≠2．
【点评】本题主要考查了动点问题、菱形的性质、含30度直角三角形的性质、函数图象与不等式等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键．
24．【较难】如图，已知直线l1：y＝kx﹣4与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点D和点B，且两直线交于点C，C点坐标为（﹣8，m）．
（1）求k的值．
（2）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，请求出p的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）直线AB上是否存在点Q，使得∠BDQ＝45°，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k=12；
（2）存在，P（0，﹣16）或（0，32）；
（3）存在，Q点坐标为（5，3）或（﹣10，18）．
【分析】（1）求出C点坐标，再将C（﹣8，﹣8）代入y＝kx﹣4，即可求k的值；
（2）分别求出各点坐标，再由△ABC面积=12×12×（8+8）＝△BCP的面积=12×BP×8，求出BP的长，即可求P点坐标；
（3）将BD绕点B逆时针旋转90°得到BG，连接DG，过点B作EF∥x轴，过点D作DF⊥EF交于F点，过点G作GE⊥EF交于E，通过证明△BDF≌△GBE（AAS），
求出G（8，4），直线DG与直线AB的交点为Q；G点关于B点的对称点G'（﹣8，12），则直线DG'与直线AB的交点为另一个Q．
【解答】解：（1）当x＝﹣8时，m＝﹣8，
∴C（﹣8，﹣8），
将C（﹣8，﹣8）代入y＝kx﹣4，
∴﹣8k﹣4＝﹣8，
解得k=12；
（2）存在点P，使得△BCP与△ABC面积相等，理由如下：
∵k=12，
∴y=12x﹣4，
当y＝0时，x＝8，
∴A（8，0），
直线y＝2x+8与x轴的交点D（﹣4，0），与y轴交点B（0，8），
∴AD＝12，
∴△ABC面积=12×12×（8+8）＝96，
∵△BCP与△ABC面积相等，
∴△BCP的面积＝96=12×BP×8，
解得BP＝24，
∴P（0，﹣16）或（0，32）；
（3）存在点Q，使得∠BDQ＝45°，理由如下；
将BD绕点B逆时针旋转90°得到BG，连接DG，过点B作EF∥x轴，过点D作DF⊥EF交于F点，过点G作GE⊥EF交于E，
∴∠FBD+∠EBG＝90°，
∵∠FBD+∠FDB＝90°，
∴∠EBG＝∠FDB，
∵BD＝BG，
∴△BDF≌△GBE（AAS），
∴BF＝EG＝4，FD＝BE＝8，
∴G（8，4），
∴直线DG的解析式为y=13x+43，直线AB的解析式为y＝﹣x+8，
当13x+43=−x+8时，解得x＝5，
解得Q（5，3），
∵G点关于B点的对称点G'（﹣8，12），
∴直线DG'的解析式为y＝﹣3x﹣12，
当﹣x+8＝﹣3x﹣12时，解得x＝﹣10，
解得Q（﹣10，18）；
综上所述：Q点坐标为（5，3）或（﹣10，18）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
25．【较难】如图，点E为正方形ABCD的边AB上一动点（点E不与点A，B重合），将△CBE沿CE对折得到△CGE，延长CG交AD于点F，延长EG交AD于点H．
（1）求证：GH＝HD；
（2）若BE＝2AE，求AHDH的值；
（3）连接EF，若CF=5，EF=5，求线段DH的长．
【答案】（1）见解析；
（2）4；
（3）DH=43．
【分析】（1）由折叠的性质以及正方形的性质证明Rt△CGH≌Rt△CDH（HL）即可证明结论；
（2）设AE＝a，则BE＝EG＝2a、AB＝3a，设DH＝x，由（1）知DH＝HG＝x，易得AH＝3a﹣x，EH＝2a+x，再根据勾股定理可得x=35a，进而得到AH=3a−x=125a，然后代入化简即可解答；
（3）如图，延长AB到M使得BM＝DF，连接CM，FM，先证明△DCF≌△CBM（SAS）可得∠DCF＝∠BCM，CF＝CM＝5，易得∠FCM＝90°，运用勾股定理可得FM=52，设∠BCE＝α，则∠CEB＝90°﹣α，∠FCD＝90°﹣2α＝∠BCM，易得ME＝MC＝5；设AE＝x，则AM＝5+x，根据勾股定理列方程可得x＝2，则AE＝2，进而得到AF＝1；设BE＝m，易得5＝m+1+m，解得m＝2，即BE＝2，AB＝4；设DH＝x，则AH＝4﹣x，HG＝HD＝x，EH＝EG+HG＝2+x，最后根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵△CGE由△CBE翻折得到的，
∴CG＝CB，∠CGE＝∠B＝90°，
又∵ABCD为正方形，
∴CD＝CB＝CG，∠D＝90°，
在Rt△CGH和Rt△CDH中，
CG=CDHC=HC，
∴Rt△CGH≌Rt△CDH（HL），
∴GH＝DH；
（2）解：设AE＝a，则BE＝EG＝2a，
∴AB＝AE+BE＝3a，
设DH＝x，由（1）知DH＝HG＝x，
∴AH＝AD﹣DH＝3a﹣x，EH＝EB+HD＝2a+x，
在Rt△AEH中，AE2+AH2＝EH2，
∴a2+（3a﹣x）2＝（2a+x）2，
化简得：x=35a，
∴AH=3a−x=125a，
∴AHHD=125a35a=4；
（3）解：如图：延长AB到M使得BM＝DF，连接CM，FM，
∵CD＝CB，∠D＝∠CBM＝90°，
∴△DCF≌△CBM（SAS），
∴∠DCF＝∠BCM，CF＝CM＝5，
∴∠FCM＝∠BCF+∠BCM＝∠BCF+∠FCD＝∠BCD＝90°，
∴FM=CF2+CM2=CF2+CF2=2CF=52，
设∠BCE＝α，则∠CEB＝90°﹣α，∠FCD＝90°﹣2α＝∠BCM，
∴∠MCE＝∠BCE+∠BCM＝90°﹣α，
∴∠MCE＝∠MEC，
∴ME＝MC＝5，
设AE＝x，则AM＝5+x，
在Rt△AEF中，AF2＝EF2﹣AE2＝5﹣x2，
在Rt△AMF中，AF2＝MF2﹣AM2＝50﹣（x+5）2，
∴5﹣x2＝50﹣（x+5）2，
解得x＝2，
∴AE＝2，
∴AF=EF2−AE2=(5)2−22=1，
设BE＝m，则AB＝m+2＝AD，
∴DF＝m+2﹣1＝m+1＝MB，
∵ME＝BM+EB，
∴5＝m+1+m，
解得m＝2，
∴BE＝2，
∴AB＝AE+BE＝4，
设DH＝x，则AH＝4﹣x，
∴HG＝HD＝x，
∴EH＝EG+HG＝2+x，
又∵AH2+AE2＝EH2，
∴（4﹣x）2+22＝（2+x）2，
∴x=43，即DH=43．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．