2026年云南省曲靖市中考模拟数学模拟卷含答案（一）

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一．选择题（共15小题）
1．下表记录了1月份某日我国四个城市10点时的气温：
此时气温最低的城市是（ ）
A．北京B．哈尔滨C．盐城D．上海
【分析】根据有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣15＜﹣1＜3＜7，
∴气温最低的城市是哈尔滨．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键．
2．2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（ ）
A．1.222×108B．12.22×106
C．1.222×107D．0.1222×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：12220000＝1.222×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．如图，AB∥CD，∠1＝110°，则∠2＝（ ）
A．70°B．110°C．115°D．120°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝110°，
∴∠2＝110°，
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A．3a3+2a2＝5a5
B．（m+2n）（2n﹣m）＝m2﹣4n2
C．
D．（8x3y3﹣4x2y2）÷2xy2＝4x2y﹣2x
【分析】本题考查整式的运算，需逐一分析选项：
A选项：3a3与2a2不是同类项，不能合并，错误；
B选项：（m+2n）（2n﹣m）＝（2n）2﹣m2＝4n2﹣m2，与m2﹣4n2不相等，错误；
C选项：，与不相等，错误；
D选项：（8x3y3﹣4x2y2）÷2xy2＝4x2y﹣2x，正确．
【解答】解：A选项，3a3与2a2不是同类项（同类项要求字母相同且相同字母的指数也相同），不能合并，故A选项错误；
B选项，根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（m+2n）（2n﹣m）＝（2n+m）（2n﹣m）＝（2n）2﹣m2＝4n2﹣m2，与m2﹣4n2不相等，故B选项错误；
C选项，根据完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，，与不相等，故C选项错误；
D选项，多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式：（8x3y3﹣4x2y2）÷2xy2＝8x3y3÷2xy2﹣4x2y2÷2xy2＝4x2y﹣2x，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算．
6．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可．
【解答】解：“斗”的俯视图的是：
．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键．
7．某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ）
A．8分B．8.1分C．8.2分D．8.3分
【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可．
【解答】解：该企业的总成绩为：8×+9×+7×＝8.1（分），
故选：B．
【点评】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
8．一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第10个式子的次数是（ ）
A．10B．17C．19D．21
【分析】观察式子可得规律第n个式子是an+（﹣1）n+1b2n﹣1，则可求第10个式子的次数是19．
【解答】解：由a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7…可得规律：第n个式子是an+（﹣1）n+1b2n﹣1，
∴第10个式子是a10﹣b19，
∴第10个式子的次数是19，
故选：C．
【点评】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，再由多项式的次数的定义解题是关键．
9．已知正多边形的一个内角为150°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形
C．正八边形D．正十二边形
【分析】根据正多边形的性质和已知条件求出它的一个外角，再根据正多边形的外角和是360°，列出算式进行计算即可．
【解答】解：∵正多边形的一个内角为150°，
∴与这个内角相邻的外角为：180°﹣150°＝30°，
∵正多边形的每个内角都相等，
∴正多边形的每个外角都相等，都为30°，
∵正多边形的外角和为360°，
∴正多边形的本数为：360°÷30°＝12，
∴这个正多边形是正十二边形，
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的性质．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则csB＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
11．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为540m2，求小路的宽，若设小路的宽为xm，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．（20+x）（32+x）＝540
B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．（20﹣x）（32﹣x）＝540
D．32×20﹣32x﹣20x＝540
【分析】利用平移可把草坪把为一个长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程．
【解答】解：如图所示，利用平移，原图可转化为：

设小路宽为x米，则有（20﹣x）（32﹣x）＝540，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．
12．如图，已知点A在反比例函数图象上，AB⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C，若矩形ABOC的面积为2，则k的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．2D．4
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A在反比例函数图象上且AB⊥x轴，AC⊥y轴，矩形ABOC的面积为2，
所以|k|＝2．
因为k＜0，
所以k＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及矩形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则四边形BCED的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【分析】由题意可得DE是△ABC的中位线，于是可得DE∥BC，，进而可得△ADE∽△ABC，则相似比为，然后根据面积比等于相似比的平方即可得解．
【解答】解：在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∵△ADE的面积为1，
∴S△ABC＝4S△ADE＝4×1＝4，
即：△ABC的面积为4，
∴四边形BCED的面积为：4﹣1＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．如图①，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C．图②是点P运动过程中，△APD的面积y随点P的运动路程x变化的关系图象，则该矩形的边AD的长度为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】由关系图象可知，当x≥4时△APD的面积恒为12，得出AB＝4，代入三角形面积公式即可求出AD．
【解答】解：据图可知，AB＝4，当点P运动到BC上时，△APD面积为12，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∵AB＝4，
∴，
解得AD＝6．
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形面积公式，动点问题的函数图象分析，从图象中提取关键信息是解题关键．
15．如图，要用一个半径为24cm扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为10cm，则这个扇形的圆心角的度数（ ）
A．120°B．135°C．150°D．160°
【分析】设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：设扇形的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆半径长为10cm，
∴圆锥的底面圆周长为20πcm，
∵母线长为24cm，
∴＝20π，
解得：n＝150，
即扇形的圆心角为150°．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形弧长公式是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
16．使函数有意义的自变量x的取值范围是x≠3 ．
【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为零，即可求解．
【解答】解：由题意可得：3﹣x≠0，
∴x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，自变量的取值范围，正确进行计算是解题关键．
17．将2a2﹣18因式分解后的结果为 2（a+3）（a﹣3）． ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝2a2﹣2×9
＝2（a2﹣9）
＝2（a2﹣32）
＝2（a+3）（a﹣3），
故答案为：2（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
18．某中学开展“非遗文化进校园”系列活动，为了解学生对国家级非遗项目：彝族烟盒舞、阿细跳月、建水紫陶烧制技艺、蒙自过桥米线制作技艺的喜好情况，随机抽取500名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成扇形统计图．根据图中信息，该校3000名学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有 600 名．
【分析】利用该校总学生人数乘以扇形统计图中“彝族烟盒舞”的学生的占比即可．
【解答】解：该校学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有3000×20%＝600（名）．
故答案为：600．
【点评】本题考查了扇形统计图，熟练掌握该知识点是关键．
19．如图，AB为⊙O的直径，点A为的中点．若∠A＝65°，则∠B的大小为 25° ．
【分析】由OA＝OD，得∠D＝∠A＝65°，求得∠AOD＝50°，由，得∠AOC＝∠AOD＝50°，由圆周角定理得∠B＝∠AOC＝25°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵OA＝OD，
∴∠D＝∠A＝65°，
∴∠AOD＝180°﹣∠D﹣∠A＝50°，
∵点A为的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠AOD＝50°，
∴∠B＝∠AOC＝25°，
故答案为：25°．
【点评】此题重点考查圆心角、弧、弦的关系定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，正确理解和应用圆心角、弧、弦的关系定理及圆周角定理是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
20．计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝3×﹣1﹣16﹣（2﹣）
＝﹣1﹣16﹣2+
＝﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，∠BAD＝∠CAE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．
【分析】先分别证明∠BAC＝∠DAE，∠AED＝∠ACB，再证明△ADE≌△ABC（AAS），即可证明AB＝AD．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ACF+∠AED＝180°＝∠ACF+∠ACB，
∴∠AED＝∠ACB，
又∵BC＝DE，
∴△ADE≌△ABC（AAS），
∴AB＝AD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
22．近年来，人工智能发展迅速，宇树公司研发的智能分拣机器人“小宇”在快递分拣中心大显身手．它能够自动识别快递信息，并根据目的地进行快速分拣，大大提高了工作效率．某快递分拣中心引入“小宇”机器人后，分拣效率大幅提升．已知“小宇”机器人单独分拣一小时的快递件数比人工分拣团队工作一小时的快递件数多3000件．已知“小宇”机器人完成的快递分拣任务4800件所需的时间和人工分拣团队完成的快递分拣任务1200件所需的时间相等．求“小宇”机器人每小时能完成多少件快递分拣任务？
【分析】设人工分拣团队每小时能完成x件快递分拣任务，则“小宇”机器人每小时能完成（x+3000）件快递分拣任务，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“小宇”机器人单独分拣一小时的快递件数比人工分拣团队工作一小时的快递件数多3000件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入（x+3000）中，即可求出结论．
【解答】解：设人工分拣团队每小时能完成x件快递分拣任务，则“小宇”机器人每小时能完成（x+3000）件快递分拣任务，
根据题意得：，
解得：x＝1000，
经检验，x＝1000是所列方程的解，且符合题意，
∴x+3000＝1000+3000＝4000（件）．
答：“小宇”机器人每小时能完成4000件快递分拣任务．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．在“趣味化学实验室”课上，黄老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液：
（1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是 ；
（2）张老师从四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是；
故答案为：．
（2）列表如下，
共有12种等可能结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴混合后的溶液变红色的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率．熟练掌握以上知识点是关键．
24．如图，在平行四边形ABCD中，E是BA上一点，且DE＝2BE，AE＝CE．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若AE＝2，AB＝4，求对角线BD的长．
【分析】（1）连接AC交BD于点O，根据平行四边形的性质得AO＝CO，然后利用等腰三角形的性质得BD⊥AC，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解决问题；
（2）设BE＝x，则DE＝2x，利用勾股定理得AB2﹣OB2＝AO2＝AE2﹣OE2，列出方程求出x的值，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵AE＝CE，
∴EO⊥AC，
∴BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE＝2BE，
设BE＝x，则DE＝2x，
∴BD＝DE+BE＝3x，
∴OB＝OD＝1.5x，
∴OE＝OB﹣BE＝0.5x，
∵AB2﹣OB2＝AO2＝AE2﹣OE2，
∴42﹣1.5x2＝22﹣0.5x2，
∴x＝（负值已经舍去），
∴BD＝3x＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定方法．
25．
【分析】任务1：依据题意，设奶茶每杯x元，果汁每杯y元，则，从而计算可以得解；
任务2：依据题意，设销售奶茶m杯，则果汁销售（50﹣m）杯，则总收入W＝16m+10（50﹣m）＝6m+500，结合奶茶数量不超过果汁的2倍，从而可得m的范围，又W＝6m+500，且k＝6＞0，进而可以计算得解．
【解答】解：任务1：由题意，设奶茶每杯x元，果汁每杯y元，
根据题意列方程组：，
∴x＝16，y＝10．
答：奶茶单价16元/杯，果汁单价10元/杯；
任务2：由题意，设销售奶茶m杯，则果汁销售（50﹣m）杯，
∴总收入W＝16m+10（50﹣m）＝6m+500，
∵奶茶数量不超过果汁的2倍，
∴m≤2（50﹣m），即．
∵m为正整数，
∴m最大取33．
∵W＝6m+500，且k＝6＞0，
∴W随m增大而增大，
∴当m＝33时收入最高．此时果汁：50﹣33＝17（杯），最高收入W＝6×33+500＝698（元）．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
26．已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m是常数）．
（1）若m＝﹣1，
①该函数的顶点坐标为 （﹣1，2） ；
②当﹣2≤x≤2时，该函数的最大值 2 ；
③当1≤x≤3时，该函数的最大值为 ﹣2 ；
（2）当﹣2≤x≤1时，该函数的最大值为4，则常数m的值为 2或﹣ ．
【分析】（1）利用二次函数的性质即可得到结论；
（2）分三种情况：m≥1；m≤﹣2；﹣2＜m＜1，根据二次函数的性质，则最大值为4列出m的方程，进行解答便可．
【解答】解：（1）m＝1时，y＝﹣（x+1）2+2，
①函数顶点坐标为（﹣1，2）；
故答案为：（﹣1，2）；
②∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，
∴当﹣2≤x≤2时，x＝﹣1时，函数取得最大值，最大值为2；
故答案为：2；
③∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，
∴当1≤x≤3时，x＝1时，函数取得最大值，最大值为﹣（1+1）2+2＝﹣2；
故答案为：﹣2；
（2）∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m是常数），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，顶点为（m，m2+1），
∵当﹣2≤x≤1时，该函数的最大值为4，
∴当m≥1时，x＝1时，函数有最大值，即﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，符合题意；
当m≤﹣2时，x＝﹣2时，函数有最大值，即﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，不合题意，舍去；
当﹣2＜m＜1时，x＝m时，函数有最大值，即m2+1＝4，
解得m＝﹣或m＝（不合题意，舍去），
综上，常数m的值为2或﹣．
故答案为：2或﹣．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了求顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的最值的应用，第（2）题的关键是分情况列出关于m的方程．
27．综合与探究
【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”．
【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，则称四边形ABCD叫做“对直四边形ABCD”．
【性质探究】
小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下：
如图2，连接对角线BD，取BD中点O，并连接OA，OC．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，BD的中点为O ，
∴，OC＝ BD ，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上．
（1）请补全小明同学的证明过程．
【性质应用】
（2）如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E．
①求证：四边形APED是“对直四边形”；
②若AB＝8，AD＝6，当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长．
【拓展提升】
（3）如图4，在矩形ABCD中，AB＝kBC（k为正实数）．点P是BA延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E，延长PE交BC于点F．请求出的值（用含k的式子表示）．
【分析】（1）根据“对直四边形”定义和直角三角形斜边中线的性质解答；
（2）①连接DP，设圆心为O，证明DP为⊙O的直径，可得四边形APED是“对直四边形”；
②求出，证明△PDE∽△ACD，得，根据△ADE为等腰三角形，当EA＝ED时，当AD＝AE＝6时，当DA＝DE＝6时，分三种情况解答；
（3）设圆心为点O，连接DP，DE，DF，证明∠PED＝90°，可得△PDE∽△ACD，得DE＝kPE，证明C，D，E，F在以DF为直径的圆上，得∠DCE＝∠DFE，证明△DFE∽△ACD，可得EF＝kDE，即得．
【解答】解：（1）如图2，连接对角线BD，取BD中点O，连接OA，OC．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，BD的中点为O，
∴，．
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上．
故答案为：BD的中点为O，BD；
（2）①连接DP，设圆心为O，
∵在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴DP为⊙O的直径，
∴∠DEP＝90°，
∴四边形APED是“对直四边形”；
②∵矩形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，且AB＝8，AD＝6，
∴CD＝8，BC＝6，
∴，
∵∠DPE＝∠DAE，∠PED＝∠ADC＝90°，
∴△PDE∽△ACD，
∴，
∴，
∵△ADE为等腰三角形，
∴当EA＝ED时，∠EAD＝∠EDA，
∵∠EDC+∠EDA＝90°，∠ECD+∠EAD＝90°，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴CE＝DE，
∴，
∴；
当AD＝AE＝6时，CE＝AC﹣AE＝4，
设⊙O与CD交点为F，连接AF，EF，
∵∠ADC＝90°，
∴AF是⊙O直径，
∴∠AEF＝90°，
∴∠CEF＝90°，
∵，
∴EF＝3，
∴，
∴，
∴；
当DA＝DE＝6时，，
故PE的长为或或．
（3）设圆心为点O，连接DP，DE，DF，
∵在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，且AB＝kBC（k为正实数）．
∴∠PAD＝90°，
∴DP是⊙O的直径，
∴∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ADC＝90°，
∵∠DPE＝∠DAE，
∴△PDE∽△ACD，
∴，
∴DE＝kPE，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴C，D，E，F到线段DF的中点的距离相等，
∴C，D，E，F在以DF为直径的圆上，
∴∠DCE＝∠DFE，
∵∠DEF＝∠ADC＝90°，
∴△DFE∽△ACD，
∴，
∴EF＝kDE，
∴EF＝k2PE，
∴，
故的值为．
【点评】本题主要考查了圆的基本性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
城市
北京
哈尔滨
盐城
上海
气温（℃）
﹣1
﹣15
3
7
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
市场调查
调查背景
济阳区九曲黄河万里情文旅街区是全国唯一的黄河主题夜经济街区，成为济阳区新晋网红打卡地．景区内包括沿黄九省非遗美食与文创商铺，集夜游、亲子游乐、民俗体验、美食购物于一体．
市场调查
其中某商铺销售奶茶和果汁，已知卖出3杯奶茶和2杯果汁共收入68元卖出2杯奶茶和5杯果汁共收入82元．
经营需求
该商铺计划销售奶茶和果汁共50杯，且奶茶的数量不超过果汁的2倍．
问题解决
任务1
请你计算奶茶和果汁的单价．
任务2
请问销售多少杯奶茶才能使总收入最高？并求出最高收入．