2026年上海市静安区中考模拟数学预测卷含答案

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1.函数y= x+23x中自变量x的取值范围是( )
A. x≤−2B. x=−2C. x≥−2且x≠0D. x>−2且x≠0
【答案】C
【解析】解：由题意得：x+2≥0且x≠0，
解得：x≥−2且x≠0，
故选：C．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
2.下列运算中正确的是( )
A. 3a+2a=5a2B. a⋅a6=a6
C. (−ab2)3=−a3b6D. (a−b)2=a2−b2
【答案】C
【解析】解：根据合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式逐项分析判断如下：
A.3a+2a=5a，该选项错误，不符合题意；
B.a⋅a6=a7，该选项错误，不符合题意；
C. (−ab2)3=−a3b6，该选项正确，符合题意；
D. (a−b)2=a2−2ab+b2，该选项错误，不符合题意；
故选：C．
需根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式逐一判断选项的正误．
本题考查整式的基本运算，包括合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式，解题的关键是掌握各运算法则．
3.当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是( )
A. a2B. a2+aC. a2+a+15D. a2+a+1
【答案】D
【解析】解：利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形逐项分析判断如下：
A、当a=0时，a2=0，0不是正数，故A选项不符合题意；
B、当a=0时，a2+a=0，0不是正数，故B选项不符合题意；
C、a2+a+15=(a+12)2−120，当a=−12时，a2+a+15=−1200，
∴S1>S2
【解析】解：(1)x2−12x+36=(x−6)2，
故答案为：36，6；
(2)x2+16x−1
=x2+16x+64−64−1
=(x+8)2−65，
无论x取何值时，(x+8)2总是非负数，
即(x+8)2≥0，
∴(x+8)2−65≥−65，
∴x2+16x−1的最小值为−65；
(3)S1=(2a+3)(3a+5)
=6a2+19a+15，
S2=5a(a+3)
=5a2+15a，
∴S1−S2=6a2+19a+15−5a2−15a=(a+2)2+11，
∴(a+2)2+11≥11，
∴S1−S2>0，
∴S1>S2．
(1)利用配方法即可得；
(2)利用配方法得x2+16x−1=(x+8)2−65，根据非负数的性质即可得；
(3)根据题意得S1=6a2+19a+15，S2=5a2+15a，利用作差法和配方法得S1−S2=(a+2)2+11≥11，即可得．
本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是关键．
21.(本小题10分)
如图1，正方形ABCD的边长为4 2，在△ECF中，EC=CF，EC⊥CF，连接BE，且BE⊥EC．
(1)若BE=2，求EF的长为______；
(2)如图2，连接BF交CE于点O，若O是CE的中点，求证：BC=EF；
(3)在(2)问的条件下，求出DE的长．
【答案】2 14 ∵EC⊥CF，BE⊥EC，
∴∠BEO=∠FCO=90°，
∴BE//CF，
∴∠OBE=∠OFC，
∵O是CE的中点，
∴OE=OC，
∴△OBE≌△OFC(AAS)，
∴BE=CF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴BC=EF 4 5
【解析】(1)解：∵正方形ABCD的边长为4 2，
∴BC=4 2，
∵BE⊥EC，BE=2，
∴CE= (4 2)2−22=2 7，
∵EC=CF，EC⊥CF，
∴EF= CE2+CF2=2 14；
故答案为：2 14；
(2)证明：∵EC⊥CF，BE⊥EC，
∴∠BEO=∠FCO=90°，
∴BE//CF，
∴∠OBE=∠OFC，
∵O是CE的中点，
∴OE=OC，
∴△OBE≌△OFC(AAS)，
∴BE=CF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴BC=EF；
(3)解：连接DE，BD，如图，
在△ECF中，EC=CF，EC⊥CF，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∵四边形BCFE是平行四边形，
∴∠CBE=∠CFE=45°，
∵BE⊥EC，
∴∠BCE=45°，
∴BE=CE，
在正方形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=AD=BC=CD=4 2，∠CBD=12∠ABC=45°，
∴∠DBE=45°+45°=90°，
在Rt△ABD中，BD= (4 2)2+(4 2)2=8，
在Rt△BCE中，BE2+CE2=2BE2=BC2=(4 2)2，
∴BE=4，
在Rt△EBD中，DE= 82+42=4 5，
∵∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°+45°=135°，∠ECF=90°，
∴∠DCF=360°−135°−90°=135°，
∴∠DCF=∠DCE，
∵CD=CD，CF=CE，
∴△CFD≌△CED(SAS)，
∴DE=DF=4 5．
(1)先求出CE=2 7，再根据勾股定理求出结论即可；
(2)证明△OBE≌△OFC，从而证明四边形BCFE是平行四边形，即可得出结论；
(3)连接DE，BD，先结合正方形性质及勾股定理求出BD=8，BE=4，进而求出DE，再证明△CFD≌△CED即可得出结论．
本题考查的是全等三角形判定与性质、正方形性质及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质是解题关键，
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的边BC经过原点O，点A，B关于y轴对称，点A的坐标为(−2,3)，反比例函数y=kx的图象经过点B，C．
(1)求此反比例函数的表达式；
(2)将▱ABCD向上平移，当点D落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离．
【答案】(1)y=6x．
(2)2

【解析】解：(1)∵点A，B关于y轴对称，点A的坐标为(−2,3)，
∴B(2,3)，
∵反比例函数y=kx的图象经过点B，，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的表达式为y=6x；
(2)∵A(−2,3)，B(2,3)，
∴AB=4，
由平行四边形的性质可知CD=AB=4，
∵▱ABCD的边BC经过原点O，
▱ABCD的边BC经过原点O，B(2,3)，
∴C(−2,−3)，
∴D(−6,−3)，
设将▱ABCD向上平移m个单位，点D落在反比例函数的图象上，
即点(−6,−3+m)落在反比例函数y=6x的图象上，
∴6=−6(−3+m)，
解得m=2.
即将▱ABCD向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上．
故平移的距离为2．
(1)利用轴对称的性质求得点B的坐标为(2,3)，再利用待定系数法求解即可；
(2)设将▱ABCD向上平移m个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点(−6,−3+m)落在反比例函数y=6x的图象上，据此求解即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
23.(本小题12分)
某物理兴趣小组在探究“声音在空气中的传播速度与温度的关系”时，记录了不同温度下声音传播的速度，部分数据如下表所示．
经过分析，小组成员发现声音传播的速度vm/s 与温度t ∘C 之间近似满足一次函数关系v=kt+b .(k 、b 是常数，k≠0 ).请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求出v 与t 之间的函数表达式(不要求写定义域)；
(2)物理小组在实验室进行验证，当实验室温度控制在某一数值时，测得声音传播10.2米刚好用了0.03秒，求此时实验室的温度；
(3)物理小组在研究中发现，声音在甲、乙两个实验室传播时，由于温度不同，甲实验室的声速比乙实验室快9.6 m/s ，求甲、乙两个实验室的温度差．
【答案】(1)解：因为vm/s 与t ∘C 之间近似满足一次函数关系v=kt+b （k 、b 是常数，k≠0 ），得−10k+b=324b=330，
解得k=35b=330．
所以v 与t 之间的函数表达式是：v=35t+330 ．

(2)解：由题意，v= ，
当v=340 时，340=35t+330 ，
解得t=503 ，
所以此时实验室的温度503 ∘C ．

(3)解：设甲实验室的温度为t1 ，乙实验室的温度为t2 ，
由题意得35t1+330−35t2+330=9.6，
解得t1−t2=16 ，
所以甲、乙两个实验室的温度差为16 ∘C ．

【解析】1. 利用待定系数法，选取表格中两组对应数据，求解得到一次函数的解析式；
2. 先求出此时声音传播的速度，再代入函数表达式中即可求得此时实验室的温度；
3. 设甲实验室的温度为t1 ，乙实验室的温度为t2 ，分别代入函数表达式中，根据“甲实验室的声速比乙实验室快9.6 m/s ”，求解即可．
24.(本小题12分)
如图1，将一张正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，展开后，得到折痕EF 平分了正方形的边BC .如图2，将边DC 翻折到与EF 重合，得到折痕PQ ，点P、Q就分别是边AD、BC 的一个四等分点．那么是否可以利用折纸得到正方形边上的三等分点、五等分点呢？
(1)
同学们组成探究小组，对这个问题进行探索，得到了一些方案．
①“爱探”小组得到的方案是：如图3，将边AB 沿过点A的直线l折叠，使得点B的对应点B′ 落在折痕PQ 上，把折痕EF 与边AB′ 的交点标记为M，点M就是边AB′ (AB )的一个三等分点．请你验证这个方案的正确性；
②“爱究”小组得到的方案是：如图4，将正方形纸片沿AQ 翻折，得到折痕AQ ，再将边AB 沿过点A的直线m折叠，使得边AB 的对应边AB′ 落在AQ 上，那么这条直线m与边BC 的交点N就是一个边BC 的三等分点．请你验证这个方案的正确性；
(2)请你设计一种方案，不借助其他工具，仅利用折叠正方形纸片得到折痕，确定正方形边的一个五等分点，画出示意图并简述折叠过程，说明理由．(可模仿(1)中方案叙述的语言)
【答案】(1)①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BAD=90 ∘ ，
∵折叠，
∴AE=DE=12AB,EP=DP=12DE ，AB=AB′,∠APQ=90 ∘ ，EF/​/PQ ，
∴EP=14AB,AP=AE+EP=12AB+14AB=34AB ，
设AB=4x ，则EF=AB′=4x ，AE=2x ，AP=34AB=3x ，
∵EF/​/PQ ，即EM//PB′ ，
∴▵AEM∽▵APB′ ，
∴AEAP=AMAB′ ，即2x3x=AM4x ，
∴AM=8x3 ，
∴AMAB′=8x34x=23 ，
∴点M就是边AB′ （AB ）的一个三等分点；
②根据题意，AB=PQ=4x,AP=BQ=3x,DP=CQ=x,∠APQ=∠BQP=90 ∘ ，
∴AQ= AP2+PQ2= 3x2+4x2=5x ，
∵折叠，边AB 的对应边AB′ 落在AQ 上，
∴AB=AB′=BC=4x,∠ABN=∠AB′N=90 ∘=∠NB′Q ，
∴B′Q=AQ−AB′=x ，
∵∠B′NQ+∠B′QN=∠B′QN+∠B′QP=90 ∘ ，
∴∠B′NQ=∠B′QP ，且∠NB′Q=∠APQ=90 ∘ ，
∴▵NB′Q∽▵QPA ，
∴B′QAP=NQAQ ，即x3x=NQ5x ，
∴NQ=5x3 ，
∴BN=BC−NQ−CQ=4x−5x3−x=4x3 ，
∴点N就是一个边BC 的三等分点；

(2)如图所示，设正方形的边长为4a ，则AB=BC=CD=AD=4a ，
正方形ABCD ，将边AB 折叠，与边CD 重合，得到线段AD 的中点E，将边AD 折叠，与边BC 重合，得到线段AB 的中点F，连接BE,CF ，
将边AB 沿直线BE 折叠得到对应点A′ ，将边BC 沿直线CF 折叠得到对应点B′ ，折痕BE,CF 交于点O ，
∴BE⊥CF ，CF 是线段BB′ 的垂直平分线，AE=12AD=2a,BF=12AB=2a ，
∴∠BOF=∠BOC=90 ∘=∠ABC ，
∴CF= BC2+BF2= 4a2+2a2=2 5a ，
∵12BC⋅BF=12CF⋅BO ，
∴BO=BC⋅BFCF=4a⋅2a2 5a=4 5a5 ，则OF= BF2−BO2= 2a2−4 5a52=2 5a5 ，
将边BC 折叠，使得边BC 与过点O 垂直于AB 的线段GH 重合，折痕为KL ，
∴OG⊥AB ，
∵∠BOG+∠GBO=∠GOB+∠BFO=90 ∘ ，
∴∠BOG=∠BFO ，
∴▵BOG∽▵BFO ，
∴BOBF=BGBO ，即4 5a52a=BG4 5a5 ，
解得，BG=8a5 ，
∴BK=12BG=4a5 ，
∴BKAB=4a54a=15 ，
∴点K即为线段AB 的五等分点，
∴AK=45AB ，
将边AD 折叠与折痕KL 重合，得到折痕MN ，不展开，再将边MN 折叠与折痕KL 重合，得到折痕GH,RS ，展开，即可得到线段AB 的五等分点，即K,G,M,R 是线段AB 五等分点．

【解析】1.
①根据正方形、折叠的性质得到EP=14AB,AP=34AB ，设AB=4x ，则EF=AB′=4x ，AE=2x ，AP=34AB=3x ，证明▵AEM∽▵APB′ 得到AM=8x3 ，由此即可求解；
②由勾股定理得到AQ=5x ，证明▵NB′Q∽▵QPA 得到NQ=5x3 ，则BN=4x3 ，由此即可求解；
2. 根据折叠得到线段AD,AB 的中点E,F ，连接BE,CF ，得到交点O，将边BC 折叠，使得边BC 与过点O 垂直于AB 的线段GH 重合，折痕为KL ，将边AD 折叠与折痕KL 重合，得到折痕MN ，不展开，再将边MN 折叠与折痕KL 重合，得到折痕GH,RS ，展开，即可得到线段AB 的五等分点，即K,G,M,R 是线段AB 五等分点，运用折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定得到BK=15AB ，由此即可求解．
25.(本小题14分)
如图①，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB、DC的延长线交于点E，AD、BC的延长线交于点F，连结EF，已知BE=BF．
(1)若∠EBF=100°，求∠EDF的度数；
(2)求证：CE=AF；
(3)如图②，若AD是直径，CB=kAB，求ADDF的值(用含k的代数式表示)．
【答案】(1)80°．
(2)证明：在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，如图，

∵BE=BF，
∴∠GEF=∠CFE.
在△EGF和△FCE中，
EG=FC∠GEF=∠CFEEF=FE，
∴△EGF≌△FCE(SAS)，
∴FG=EC，∠EGF=∠FCE，
∵∠FCE=∠BCD，
∴∠BCD=∠EGF.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∴∠EGF+∠DAB=180°，
∵∠EGF+∠AGF=180°，
∴∠AGF=∠DAB，
∴FG=FA，
∴CE=AF．
(3)2k−1．

【解析】(1)解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADE=180°，
∵∠ABC+∠EBF=180°，
∴∠ADE=∠EBF=100°，
∴∠EDF=180°−∠ADE=80°.
(2)证明：在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，如图，

∵BE=BF，
∴∠GEF=∠CFE.
在△EGF和△FCE中，
EG=FC∠GEF=∠CFEEF=FE，
∴△EGF≌△FCE(SAS)，
∴FG=EC，∠EGF=∠FCE，
∵∠FCE=∠BCD，
∴∠BCD=∠EGF.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∴∠EGF+∠DAB=180°，
∵∠EGF+∠AGF=180°，
∴∠AGF=∠DAB，
∴FG=FA，
∴CE=AF；
(3)解：在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，过点F作FH⊥AE于点H，连接BD，如图，

由(2)知：FG=FA，
∵FH⊥AE，
∴AH=GH.
∵EG=FC，BE=BF，
∴BG=BC=kAB，
∴AG=AB+BG=(1+k)AB，
∴AH=GH=12AG=1+k2AB，
∴BH=AH−AB=k−12AB，
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∴DB⊥AE，
∵FH⊥AE，
∴DB//FH，
∴ADDF=ABBH=ABk−12AB=2k−1．
(1)利用圆的内接四边形的性质和邻补角的意义解答即可；
(2)在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，利用等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到FG=EC，∠EGF=∠FCE，再利用邻补角的意义，等腰三角形的判定定理解答即可；
(3)在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，过点F作FH⊥AE于点H，连接BD，利用等式的性质得到BG=BC=kAB，则AG=AB+BG=(1+k)AB，利用等腰三角形的性质，等式的性质得到BH=AH−AB=k−12AB，再利用圆周角定理，平行线的判定与和平行线分线段成比例定理解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．温度t ∘C
−10
0
10
30
声音传播速度vm/s
324
330
336
348