2027届高考数学一轮总复习10.6离散型随机变量的分布列及其数字特征（课件）

这是一份2027届高考数学一轮总复习10.6离散型随机变量的分布列及其数字特征（课件），共67页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识回顾，课时作业，关键能力提升，平均水平，标准差，偏离程度，aEX+b，a2DX，ABD等内容，欢迎下载使用。
1.离散型随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有____的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.3.离散型随机变量的分布列的性质(1)pi__0(i=1,2,…,n).(2)p1+p2+…+pn=__.
x1p1+x2p2+…+xnpn
均值与方差的四个常用性质(1)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.(2)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(3)D(X)=E(X2)-(E(X))2.(4)若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　 　)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　 　)(3)随机试验的结果与随机变量有对应关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应. (　 　)(4)方差或标准差越小,则随机变量的偏离程度越小.(　 　)
3.(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)随机变量X与Y满足Y=2X+1,若D(X)=2,则D(Y)= (　 　)A.8B.5C.4D.2解析:D(Y)=D(2X+1)=22D(X)=4×2=8.故选A.
4.(人教A版选择性必修第三册P67练习T3改编)有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值E(X甲)=E(X乙),方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计(　 　)A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析:已知样本方差D(X乙)=3.4,D(X甲)=11,由此估计,乙种水稻的方差为3.4,甲种水稻的方差为11.因为3.43)=0.5C.若m=0.9,则n=-0.2D.P(X=1)=2P(X=6)
【解析】　对于A,由分布列的性质,可得0.2+m+n+0.1=1,解得m+n=0.7,故A正确;对于B,若m=0.3,可得n=0.4,则P(X>3)=P(X=4)+P(X=6)=0.5,故B正确;对于C,由概率的定义,知m≥0,n≥0,故C错误;对于D,由P(X=1)=0.2,P(X=6)=0.1,得P(X=1)=2P(X=6),故D正确.故选ABD.
离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义,写出ξ的所有可能取值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定义求E(ξ),D(ξ).
【对点训练2】　某班级有甲、乙两名同学参加数学竞赛,甲获奖的概率为0.6,乙获奖的概率为0.5,且两人是否获奖相互独立.(1)求两人都获奖的概率;解:两人都获奖的概率P=0.6×0.5=0.3.
(2)设X为两人中获奖的人数,求X的分布列和数学期望.解:依题意,X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=(1-0.6)×(1-0.5)=0.2,P(X=1)=0.6×(1-0.5)+(1-0.6)×0.5=0.5,P(X=2)=0.3,所以X的分布列为期望E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1.
考点3 均值与方差中的决策问题【例4】　为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求X,Y的概率分布列;【解】　依题意,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1,∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2,∴X的概率分布列为
(2)求X,Y的数学期望与方差,以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.【解】由(1)可得,E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环),E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环),D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21,由于E(X)>E(Y),说明甲平均射中的环数比乙高,∵D(X)D(Y),故乙班的情况波动小,所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度.
6.(5分)(2025·贵州黔东南一模)在规定时间内,甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5,0.6,0.5,且这三人是否能按时完成任务相互独立.记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为X,则E(X)= (　 　)A.1.5D.1.8
解析:由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=0.5×0.4×0.5=0.1,P(X=1)=0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.5+0.5×0.4×0.5=0.35,P(X=3)=0.5×0.6×0.5=0.15,所以P(X=2)=1-0.1-0.35-0.15=0.4,所以E(X)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.故选B.
7.(6分,多选)(人教A版选择性必修第三册P69例6改编)已知投资甲、乙两种项目获得的收益分别为X,Y,分布列如下,则 (　 　)A.m+n=0.5B.投资两种项目的收益期望相等C.E(2X+1)=4,D(2X+1)=6.4D.投资甲项目的风险比乙项目高
解析:对于A,依题意可得,0.2+m+0.6=1,所以m=0.2,0.3+0.4+n=1,所以n=0.3,所以m+n=0.5,故A正确;对于B,C,E(X)=-1×0.2+0×0.2+2×0.6=1,E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,所以E(X)=E(Y),E(2X+1)=2E(X)+1=3,故B正确,C错误;对于D,D(X)=(-1-1)2×0.2+(0-1)2×0.2+(2-1)2×0.6=1.6,D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6,则D(X)>D(Y),又E(X)=E(Y),所以投资甲项目的风险比乙项目高,故D正确.故选ABD.
9.(5分)某位射箭运动员命中目标箭靶的环数X的分布列为则P(X≥9)=______.解析:由分布列可得,0.06+0.14+m+2m+0.2=1,解得m=0.2,则P(X≥9)=0.4+0.2=0.6.
10.(5分)(2026·河南南阳一模)某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E发生,则该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的百分之十,公司应要求顾客交保险金为____________元.
解析:设保险公司应要求顾客交x元保险金,若ξ元表示公司每年的收益额,则ξ是一个随机变量,ξ的取值范围为{x-a,x},P(ξ=x-a)=p,P(ξ=x)=1-p,则ξ的分布列为因此,公司每年收益的期望值E(ξ)=p(x-a)+x(1-p)=x-ap,为使公司收益的期望值等于a的百分之十,则x-ap=0.1a,解得x=ap+0.1a=(p+0.1)a.
11.(18分)对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据:887　939　643　996　715　838　1 082923　901　1 182　1 035　863　772　9431 035　1 022　855　1 118　768　809将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1 000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级.
(2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润(单位:千元/亩)如下表所示.你认为这三种作物中,哪一种最适合在该地区推广种植?请说明理由.
解:作物丙最适合在该地区推广种植.理由如下:设种植农作物甲、乙、丙一年后每亩地获得利润(单位:千元)分别是随机变量X,Y,Z,则X的分布列为故种植甲则每亩地获利的期望E(X)=8×0.5+12×0.5=10,Y的分布列为
故种植乙则每亩地获利的期望E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5,Z的分布列为故种植丙则每亩地获利的期望E(Z)=7×0.2+10×0.5+12×0.3=10,所以E(Y)D(Z),故种植丙时获利的稳定性更好.因此,作物丙最适合在该地区推广种植.
12.(20分)已知某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表:
(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,给出以下假设.假设1:拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色;假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;假设3:该抽奖活动的奖金额为一等奖600元,二等奖300元,三等奖150元.请你分析奖项对应的结果,设X为奖金额,写出X的分布列并求出X的数学期望.
13.(5分)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=0.3,D(ξ)=0.76,则E(ξ)=______.解析:设P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b,则0.3+a+b=1,即a+b=0.7,则E(ξ)=0×0.3+1×a+2×b=a+2b,E(ξ2)=02×0.3+12×a+22×b=a+4b,由D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=a+4b-(a+2b)2=3b+0.7-(b+0.7)2=0.76,整理得b2-1.6b+0.55=0,而0≤b≤0.7,解得b=0.5,a=0.2,所以E(ξ)=a+2b=1.2.
14.(5分)(2026·安徽滁州一模)如图,某停车区域共有6个停车位,现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上.记黑色汽车之间的白色汽车数为X,则X的数学期望为__.