2027届高考数学一轮总复习10.4随机事件与概率、古典概型（课件）

这是一份2027届高考数学一轮总复习10.4随机事件与概率、古典概型（课件），共71页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识回顾，课时作业，关键能力提升，基本结果，事件的关系和运算，稳定于，有限个，PA≥0，PA+PB等内容，欢迎下载使用。
1.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点:随机试验E的每个可能的________称为样本点,常用ω表示.全体样本点的集合称为试验E的样本空间,常用Ω表示.②有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,那么称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.(2)随机事件①定义:将样本空间Ω的____称为随机事件,简称事件.②表示:大写字母A,B,C,….③随机事件的极端情形:必然事件、不可能事件.
3.频率与概率(1)频率的稳定性一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐______事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用:可以用频率fn(A)估计概率P(A).
5.概率的基本性质性质1:对任意的事件A,都有____________.性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即_______________.性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=______________.性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=__________,P(A)=_________.性质5:如果A⊆B,那么______________.特别地,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1.性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=________________________.显然,性质3是性质6的特殊情况.
P(Ω)=1,P(⌀)=0
P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.当随机事件A,B互斥时,不一定对立;当随机事件A,B对立时,一定互斥.也即两事件互斥是这两事件对立的必要不充分条件.2.随机事件A发生的频率是随机的,而概率是客观存在的确定的常数,但在大量随机试验中,事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率.3.若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(　 　)(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.(　 　)(3)从-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(　 　)(4)若A∪B是必然事件,则A与B是对立事件.(　 　)
2.(人教A版必修第二册P235练习T1改编)一个人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“至多有一次中靶”互斥的事件是 (　 　)A.至少有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶解析:射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”,与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.故选B.
3.(人教A版必修第二册P245练习T1(2)改编)已知A与B为互斥事件,且P(A∪B)=0.5,P(A)=0.2,则P(B)=______.解析:因为A与B为互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5,因此,P(B)=0.5-P(A)=0.5-0.2=0.3.
考点1 事件的关系与运算【例1】　(1)(多选)袋子中有4个大小、质地完全相同的球,其中2个红球、2个黄球,从中不放回依次摸出2个球,记A=“恰有一次摸到红球”,B=“两次都摸到红球”,C=“两次都摸到黄球”,D=“至少有一次摸到红球”,E=“至多一次摸到红球”,则下列说法正确的是(　 　)A.事件A与事件B是互斥事件B.事件B与事件C是对立事件C.事件C与事件D是对立事件D.事件D与事件E是互斥事件
【解析】　对于A,由于事件A与事件B不可能同时发生,故二者是互斥事件,故A正确;对于B,B∩C=⌀,但B∪C≠Ω,故二者为互斥事件,不是对立事件,故B错误;对于C,至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球,其对立事件为没有一次摸到红球,即两次都摸到黄球,故事件C与事件D是对立事件,故C正确;对于D,DE=“有一次摸到红球,另一次摸到黄球”,故二者不互斥,故D错误.故选AC.
1.判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件,反之不成立.互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生;对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.2.判断事件的交、并关系时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系运用Venn图分析事件.
【对点训练1】　(1)(苏教版必修第二册P292练习T1改编)某人射击一次,设事件A=“击中环数小于8”,事件B=“击中环数大于8”,事件C=“击中环数不小于8”,事件D=“击中环数不大于9”,则下列说法正确的是 (　 　)A.A和B是对立事件B.B和C是互斥事件C.A和C是对立事件D.B和D是互斥事件
解析:对于A,事件A=“击中环数小于8”与事件B=“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件,故A错误;对于B,事件B=“击中环数大于8”与事件C=“击中环数不小于8”能同时发生,所以不是互斥事件,故B错误;对于C,事件A=“击中环数小于8”与事件C=“击中环数不小于8”是对立事件,故C正确;对于D,事件B=“击中环数大于8”与事件D=“击中环数不大于9”能同时发生,不是互斥事件,故D错误.故选C.
(2)(多选)(人教A版必修第二册P235练习T2改编)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,记事件A为“两次都击中飞机”,事件B为“两次都没击中飞机”,事件C为“恰有一次击中飞机”,事件D为“至少有一次击中飞机”,则(　 　)A.A⊆DB.B∩D=⌀C.A+C=DD.A+C=B+D
解析:对于A,至少有一次击中飞机包括一次击中飞机,一次未击中飞机和两次都击中飞机,则事件A包含于事件D,故A正确;对于B,由于事件B,D不能同时发生,因此B∩D=⌀,故B正确;对于C,由题易知C正确;对于D,由于A+C=D不是必然事件,而B+D是必然事件,故D错误.故选ABC.
考点2 用频率估计概率【例2】　某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:
1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数,这个常数就是概率.
【对点训练2】　某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表:
随机调查了该险种的200名续保人在上一年内的出险情况,得到如下统计表:
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解:由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a(元).因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a元.
命题角度2　较复杂古典概型的概率【例4】　算盘是我国古代一项伟大的发明,是一类重要的计算工具.如图,算盘多为木制,内嵌有九至十五根直杆(简称档),自右向左分别表示个位、十位、百位……梁上面一粒珠子(简称上珠)代表5,梁下面一粒珠子(简称下珠)代表1,五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如,个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上,表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上,设事件A=“表示的三位数能被5整除”,B=“表示的三位数能被3整除”.
互斥事件概率的两种求法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件,利用互斥事件概率的加法公式求解概率.(2)若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑先求其对立事件的概率,即运用“正难则反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.
1.(5分)根据统计,某篮球运动员在1 000次投篮中,命中的次数为860,则该运动员(　 　)A.投篮10次至少有8次命中B.投篮命中的频率为0.86C.投篮命中的概率为0.86D.投篮100次有86次命中
3.(5分)某小组有4名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加歌咏比赛,下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是 (　 　)A.至少有1名男生和至少有1名女生B.至少有1名男生和全是男生C.至少有1名男生和全是女生D.恰有1名男生和恰有2名男生
解析:对于A, 当选到一男一女时,至少有1名男生和至少有1名女生同时发生,既不互斥也不对立,故A错误;对于B, 两名都是男生时,至少有1名男生和全是男生同时发生,既不互斥也不对立,故B错误;对于C, 至少有1名男生和全是女生,是对立事件,故C错误;对于D, 恰有1名男生和恰有2名男生,互斥而不对立,故D正确.故选D.
7.(6分,多选)某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球,事件A表示取出的2个球都是白球,事件B表示取出的2个球都是红球,事件C表示取出的2个球中至少有1个白球,事件D表示取出的2个球中至少有1个红球,则下列事件是对立事件的是(　 　)A.A与BB.A与DC.B与CD.C与D解析:由题意可知,A与B是互斥事件,但不是对立事件,A与D是对立事件,B与C是对立事件,C与D不是互斥事件,即C与D不是对立事件.故选BC.
8.(6分,多选)某人打靶时连续射击两次,记事件A为“第一次中靶”,事件B为“至少一次中靶”,事件C为“至多一次中靶”,事件D为“两次都没中靶”.下列说法正确的是(　 　)A.A∩B=AB.B与C是互斥事件C.C∪D=ΩD.B与D是互斥事件,且是对立事件
解析:由题意可知,事件Ω为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”“两次都没有中靶”;事件A为“第一次中靶”,事件B为“至少一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”;事件C为“至多一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都没有中靶”;事件D为“两次都没有中靶”.故A∩B=A,B与C不是互斥事件,B与D是互斥事件,且是对立事件,C∪D≠Ω.故选AD.
11.(20分)如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;解:选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率如下表.
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.解:设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知,P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,∵P(B1)