第十章 第七节 离散型随机变量的分布列和数字特征-2027年高考数学一轮总复习课件（含解析版试题）

这是一份第十章 第七节 离散型随机变量的分布列和数字特征-2027年高考数学一轮总复习课件（含解析版试题），共7页。PPT课件主要包含了唯一的实数Xω，p1+p2++pn，平均水平，ABD，所以ξ的分布列为，ACD，多选题，所以Y的分布列为等内容，欢迎下载使用。
1.了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
1.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有_______________________与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=_____ (i=1，2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0(i=1，2，…，n);(2)______________________=1.
4.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为
x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
(2)方差D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+…+(xn－E(X))2pn=_____________________为随机变量X的方差，并称____________为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的____________.(3)均值与方差的性质①E(aX+b)=______________________.②D(aX+b)=_______________ (a，b为常数).
称随机变量X服从两点分布或0－1分布.(2)均值与方差若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(1－p).
1.E(b)=b，D(b)=0，b为常数(即常数的均值是这个常数本身，常数的方差为零).2.设X1，X2是两个随机变量，则E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)E(X2).3.D(X)=E(X2)－(E(X))2.
对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故不正确.(2)E(2X)=2E(X)=2×2=4.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)(2)若随机变量X的均值E(X)=2，则E(2X)=2.(　　)
(3)两点分布中P(X=0)+P(X=1)=1.(　　)(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.(　　)
2.(苏教选修二P112T2原题)下列结论中，正确的是(　　)A.随机事件的个数与随机变量一一对应B.随机变量与区间一一对应C.随机变量的取值是实数D.随机变量与自然数一一对应
对于A，随机事件可由随机变量的值来表示，但不能说随机事件的个数与随机变量一一对应;对于B，并不是所有的随机变量的取值都是一个区间，比如离散型随机变量的取值就是一些孤立的数;对于D，随机变量的取值并不一定是自然数，也可能是分数或无理数，故选C.
3.(北师大选修一P202T4改编)已知随机变量ξ的分布列如表:
设F(x)=P(ξ≤x)，则当x∈[1，2)时，F(x)的值为____________. 
4.(人教A选修三P71T3改编)随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=a，P(X=2)=b.若E(X)=1，则a=____________，b=____________. 
考点聚焦突破
例1 (1)(多选)(2026·丽水调研)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数):则下列计算结果正确的是(　　 )A.a=0.1B.P(X≤2)=0.7C.P(X≥3)=0.4D.P(X≤1)=0.3
因为0.1+0.2+0.4+0.2+a=1，解得a=0.1，故A正确;由分布列知P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.1+0.2+0.4=0.7，故B正确;P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=0.2+0.1=0.3，故C错误;P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+0.2=0.3，故D正确.
离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
(2)(2026·佛山调研)设随机变量ξ的分布列如表:
其中a1，a2，…，a6构成等差数列，则a1+a6=________. 
例2 (1)(多选)已知随机变量X的分布列为
P(|X|=1)=P(X=－1)+P(X=1)=a+c=0.5，B正确;E(X)=－a+c+0.5=1－2a，则E(aX)=aE(X)=a(1－2a)=0.08，解得a=0.1或a=0.4，C错误;当a=0.3，c=0.2时，a－c=0.1，D正确.
(2)(2025·新高考Ⅰ卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=____________. 
求离散型随机变量的均值与方差的步骤(1)理解离散型随机变量X的意义，写出X的所有可能取值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)运用均值与方差公式进行计算.
训练2 (1)(2026·南充诊断)已知随机变量X的分布列如表，且n－m=0.2，则E(3X+2)=_____. 
由题意得m+n=1－0.1－0.2=0.7，又n－m=0.2，所以n=0.45，m=0.25，则E(X)=0×0.1+1×0.25+2×0.2+3×0.45=2，所以E(3X+2)=3×2+2=8.
(2)编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)=_______，D(ξ)=______. 
例3 (2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分;若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立.(1)若p=0.4，q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;
设A1=“甲、乙所在队进入第二阶段”，则P(A1)=1－(1－0.4)3=0.784.设A2=“乙在第二阶段至少得5分”，则P(A2)=1－(1－0.5)3=0.875.设A3=“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则P(A3)=P(A1)·P(A2)=0.686.
(2)假设0P乙，故应该由甲参加第一阶段比赛.
②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛?
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15.同理，可得E(Y)=15pq(q2－3q+3).E(X)－E(Y)=15pq(p2－3p－q2+3q)=15pq·(q－p)(3－p－q)，由00，所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y)，故应该由甲参加第一阶段比赛.
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150.则X1的分布列为
一、单选题1.已知下列随机变量:①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X;②一位射击选手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射击选手在一次射击中的得分X;③一天内的温度X;④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是(　　)A.①②③B.①②④C.②③④D.③④
①中，X的可能取值为0，1，2，符合要求;
②中，X的可能取值为0，1，符合要求;③中，一天的温度变化是连续的，所以X不是离散型随机变量;④中，在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数是离散且随机的，符合要求.
2.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用X表示甲的得分，则{X=3}表示(　　)A.甲赢三局B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局二次D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{X=3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
3.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是(　　)A.8D.14
选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12.
4.(2026·潍坊模拟)若随机变量X的分布列为
5.已知随机变量X的分布列为
8.已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则下列说法正确的是(　 　)A.a=0.25B.E(X)=1C.D(X)=4.5D.P(0.5