2026届高考数学一轮总复习第7章立体几何第6讲空间的角与距离第1课时空间的角和距离问题课件

这是一份2026届高考数学一轮总复习第7章立体几何第6讲空间的角与距离第1课时空间的角和距离问题课件，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理·双基自测，名师讲坛·素养提升，考点突破·互动探究，点到平面的距离，归纳拓展，答案ABD，空间的角多维探究，答案A，角度2线面角，角度3二面角等内容，欢迎下载使用。
第六讲　空间的角与距离
知识梳理 · 双基自测
知识点一　两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cs φ＝|cs θ|＝______ (其中φ为异面直线a，b所成的角)．知识点二　直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cs θ|＝______.
知识点三　求二面角的大小1．如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝____________.2．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cs θ|＝_______，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
知识点四　利用空间向量求距离1．点到直线的距离
3．线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．注意体积法在求点到平面距离时的应用．
3．若二面角A－BC－D的大小为α，平面ABC内的直线l与平面BCD所成角为β，则α≥β，当l⊥BC时，取等号．4．注意线面角、二面角与点到平面间距离的联系．
双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　)(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
题组二　走进教材2．(选择性必修1P20例2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM所成的角是________.
3．(选择性必修1P44T13)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，则点D1到平面AEC1的距离为________，AD1与平面AEC1所成角的余弦值为________.
题组三　走向高考4．(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
[解析]　(1)证明：因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；又因为DE，BE⊂平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED，因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
第一课时　空间的角和距离问题
考点突破 · 互动探究
空间的距离——师生共研
1．(多选题)(2025·广东深圳实验中学阶段测试)已知空间四点A(－1, 1,0)，B(2,2,1)，C(1,1,1)，D(0,2,3)，则下列四个结论中正确的是(　　)
2．(2024·河南摸底(节选))如图，已知正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面(经过旋转轴的截面)，点E在底面圆周上，AB＝5，AE＝4，点F是CE的中点．求点B到平面ACE的距离．
解法三：向量法∵线段AB是圆O的直径，∴AE⊥BE，以点E为坐标原点，EB，EA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
[引申]本例2中点C到平面ABF的距离为________.
名师点拨：1．向量法求点到直线距离的步骤(1)根据图形求出直线的单位方向向量v.
2．求点到平面距离常用的方法(1)定义法：通过求点P到平面垂线段的长求得点到平面的距离，而找(或作)垂线段先要找(或作)过点P的已知平面的垂面，再找(或作)它们交线的垂线．(2)平行转移法：即通过线面平行或面面平行，转化为其他点到平面的距离．
【变式训练】(2024·陕西商洛部分学校联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝2BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱A1C1，BC，AC的中点，∠ACB＝60°.求点F到平面ABD的距离．
解法二：向量法由解法一易知BA、BC、BB1两两垂直．如图建立空间直角坐标系，
角度1　异面直线所成的角
[引申]本例中若H为PC的中点，则BH与PA所成角的余弦值为________.
名师点拨：1．求异面直线所成角的思路(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；
2．两异面直线所成角的关注点
[解析]　(1)证明：∵A1C⊥底面ABC，∴A1C⊥AC，A1C⊥BC．又∠ACB＝90°，∴A1C、AC、BC两两垂直，∴BC⊥平面ACC1A1.又BC⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ACC1A1.又A1到平面BCC1B1的距离为1，AA1∥CC1，∴A1到CC1的距离等于C到AA1的距离为1，
∴作CH⊥AA1于H，则CH＝1.又AA1＝2，A1C⊥AC，∴A1A上的中线为1，∴H为AA1的中点，即CH垂直平分AA1，∴AC＝A1C．(2)解法一：定义法连接A1B，由(1)知Rt△ABC≌Rt△A1BC，∴AB＝A1B，连接BH，则BH⊥AA1，
名师点拨：1．用定义法求线面角的步骤(1)用定义法或体积法求出斜线上一点到平面的距离h；(2)求出斜线段的长度l；
2．用向量法求线面角的步骤
[解析]　(1)证明：作PO⊥平面ABCD于O，∵PA＝PB＝PC，∴Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PCO，∴OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心，又AB⊥BC，∴O为AC的中点，∴PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD.(2)解法一：几何法取AB的中点E，连接DE，由AB＝2CD知O∈DE，取OD的中点H，连接QH，则QH∥PO，
∴QH⊥平面ABCD，作HM⊥BC于M，连接QM，则BC⊥平面QHM，从而BC⊥QM，∴∠QMH为二面角Q－BC－D的平面角．
解法二：向量法由AB＝BC，AB⊥BC，知OB⊥OC，∴OB、OC、OP两两垂直，如图建立空间直角坐标系
取x＝1得n＝(1,1,2)，又平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)，记二面角Q－BC－D为α，则
名师点拨：求二面角的方法步骤1．法向量法(1)建坐标系，确定相关点的坐标，进而确定相关向量的坐标；(2)求法向量——求二面角两个面的法向量n1，n2；
2．找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
3．几何法——通过找二面角的平面角求解(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，如图(1)，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(2)垂面法：过棱上任一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即为二面角的平面角，如图(2)，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
(3)垂线法(三垂线定理法)：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线，从垂足出发向棱引垂线，利用三垂线定理即可找到所求二面角的平面角或其补角，如图(3)，∠ABO为二面角α－l－β的平面角．
解题时注意线面角、二面角与点到平面间距离的联系，灵活处理．
【变式训练】1．(此题为更换新题)(角度1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　　)A．0°