2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练18 导数的概念及其意义、导数的运算（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练18 导数的概念及其意义、导数的运算（含解析），共14页。
考点一 导数的概念
1.已知函数g(x)=cs x+3x2,则
limℎ→0g(1+3h)-g(1-h)h= .
考点二 导数的运算及其应用
2.在等比数列{an}中,a1 013=2.若函数f(x)=12x(x-a1)(x-a2)…(x-a2 025),则f'(0)=( )
A.-22 023B.22 023
C.-22 024D.22 024
3.(2025·江苏南京模拟)已知函数f(x)=2f'(3)·x-29x2+ln x(f'(x)是f(x)的导函数),则f'(1)= .
4.(多选题)(2025·安徽江南十校联盟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(0)=2,f(3-x)+f(x)=1,设f(x)在R上的导函数为g(x),则下列说法正确的有( )
A.g(2 025)=0
B.g(32)=12
C.g(x+6)=g(x)
D.∑n=12 025f(n)=1 011
考点三 导数的几何意义及其应用
5.(2025·安徽江南十校联盟)曲线y=xex在点(1,e)处的切线方程为 .
6.(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切线的方程为 .
7.(2024·新高考Ⅰ,13)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a= .
素能综合练
8.(2025·河南洛阳模拟)已知函数f(x)=x,则limΔx→0f(4+Δx)-f(4)Δx=( )
A.14B.-5
C.2D.-2
9.若f(x)=x2-2sin x,则f'(π2)=( )
A.π+2B.π-2
C.πD.π24
10.(2025·安徽合肥期中)曲线f(x)=x2ln x-2x+2在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( )
A.30°B.45°C.60°D.135°
11.设函数f(x)=exx+a.若f'(1)=e4,则a=( )
A.1B.-1C.2D.-2
12.(2025·湖北武汉模拟)若曲线y=ln(x+2a)的一条切线为y=ex-2b(e为自然对数的底数),其中a,b为正实数,则1ea+1b的取值范围是( )
A.[2,e)B.(e,4]
C.[4,+∞)D.[e,+∞)
13.(2024·全国甲,理6)设函数f(x)=ex+2sinx1+x2,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.16B.13
C.12D.23
14.(多选题)(2025·陕西渭南期中)下列函数的求导运算正确的是( )
A.(lnxx2)'=x2-2lnxx3B.(x3-2x+1)'=3x2-2xln 2
C.(1x-1−1x+1)'=-2(x-1)2D.[sin2(2x+π6)]'=2sin(4x+π3)
15.(2025·全国1,12)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a= .
16.(2022·新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 , .
17.(2025·河南名校模拟)若直线y=kx-k是曲线f(x)=ex-1的切线,也是曲线g(x)=ln(x-1)+m的切线,则m= .
参考答案
课时规范练18 导数的概念及其意义、导数的运算
1.-4sin 1+24 解析 g'(x)=-sin x+6x,
limℎ→0g(1+3h)-g(1-h)h
=4limh→0g(1+3ℎ)-g(1-ℎ)4ℎ
=4g'(1)=-4sin 1+24.
2.C 解析 设g(x)=(x-a1)(x-a2)·…·(x-a2 025),则f(x)=12xg(x),f'(x)=12g(x)+12xg'(x),
所以f'(0)=12g(0).因为{an}是等比数列,且a1 013=2,所以a1·a2 025=a2·a2 024=…=a1 0132=22=4,所以g(0)=(0-a1)(0-a2)·…·(0-a2 025)=(-1)2 025a1a2·…·a2 025=-22 025,
所以f'(0)=-22 024.故选C.
3.239 解析 由f(x)=2f'(3)x-29x2+ln x求导得f'(x)=2f'(3)-49x+1x,代入x=3,可得f'(3)=2f'(3)-43+13,解得f'(3)=1,则有f(x)=2x-29x2+ln x,于是f'(x)=2-49x+1x,
故f'(1)=2-49+1=239.
4.ACD 解析 因为函数f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),则[f(-x)]'=f'(x).又g(x)是f(x)的导函数,所以-g(-x)=g(x),故g(x)是奇函数且g(0)=0;由f(3-x)+f(x)=1,两边同时求导可得-g(3-x)+g(x)=0,故g(x)的图象关于直线x=32对称.对于C,因为g(x+6)=g(-x-3)=-g(x+3)=g(x),故C正确;对于A,因为g(2 025)=g(337×6+3)=g(3)=g(0)=0,故A正确;对于B,令f(x)=32csπ3x+12,此时满足f(0)=2,f(3-x)+f(x)=1,且f(x)是R上的偶函数,g(x)=f'(x)=-π2sinπ3x,此时g(32)≠12,故B错误;对于D,由f(3-x)+f(x)=1及f(x)是偶函数,得f(x-3)+f(x)=1,所以f(x)=-f(x-3)+1,f(x+3)=-f(x)+1,即f(x+6)=-f(x+3)+1=f(x),所以f(x)的一个周期为6,故∑n=16f(n)=3,则∑n=12 025f(n)=337×3+1-1=1 011,故D正确.故选ACD.
5.y=2ex-e 解析 因为y'=(x+1)ex,所以曲线在点(1,e)处切线的斜率为2e,则切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.
6.y=e+1ex 解析 由题意可知f'(x)=1x+1,设切点为P(x0,ln x0+x0),则切线方程为y=(1x0+1)(x-x0)+ln x0+x0,因为切线过原点,所以0=(1x0+1)·(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1,解得x0=e,因此切线方程为y=(1e+1)(x-e)+e+1,整理得y=e+1ex.
7.ln 2 解析 由y=ex+x,得y'=ex+1.当x=0时,y'=2.∴曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.∴直线y=2x+1是曲线y=ln(x+1)+a的切线.由y=ln(x+1)+a,得y'=1x+1.设直线y=2x+1与曲线y=ln(x+1)+a相切于点(x0,y0),则1x0+1=2,∴x0=-12.将x0=-12代入y=2x+1,得y0=2×(-12)+1=0.∴ln(-12+1)+a=0,∴a=ln 2.
8.A 解析 由f(x)=x,得f'(x)=12x,所以limΔx→0f(4+Δx)-f(4)Δx=f'(4)=124=14.故选A.
9.C 解析 因为f(x)=x2-2sin x,所以f'(x)=2x-2cs x,于是f'(π2)=π.故选C.
10.D 解析 由已知得f'(x)=2xln x+x-2,所以f'(1)=2ln 1+1-2=-1,所以曲线在点(1,f(1))处的切线的斜率为-1,因此切线的倾斜角为135°.故选D.
11.A 解析 对函数f(x)=exx+a求导得f'(x)=ex(x+a-1)(x+a)2,由题意得f'(1)=ae(1+a)2=e4,解得a=1.故选A.
12.C 解析 y'=1x+2a,令1x+2a=e,则x=1e-2a,有y=ln(1e-2a+2a)=-1,即e(1e-2a)-2b=-1,即ae+b=1.又a,b为正实数,则1ea+1b=(1ea+1b) (ae+b)=1+1+bea+eab≥2+2bea·eab=4,当且仅当bea=eab,即b=ea=12时,等号成立,故1ea+1b的取值范围是[4,+∞).故选C.
13.A 解析 由已知得f'(x)=(ex+2csx)(1+x2)-(ex+2sinx)·2x(1+x2)2,
则f'(0)=3,故所求切线方程为y=3x+1,则所求面积S=12×13×1=16.故选A.
14.BCD 解析 对于A,(lnxx2)'=1x·x2-2xlnxx4=1-2lnxx3,故A错误;对于B,(x3-2x+1)'=3x2-2xln 2,故B正确;对于C,(1x-1−1x+1)'=(2x-1)'=-2(x-1)2,故C正确;对于D,[sin2(2x+π6)]'=2sin(2x+π6)·cs(2x+π6)·2=2sin(4x+π3),故D正确.故选BCD.
15.4 解析 设切点P(x0,ex0+x0+a).因为y=ex+x+a,所以y'=ex+1,所以ex0+1=2,2x0+5=ex0+x0+a,解得x0=0,a=4.
16.y=xe y=-xe 解析 当x>0时,y=ln x,点(x1,ln x1)(x1>0)上的切线为y-ln x1=1x1(x-x1).
若该切线经过原点,则ln x1-1=0,解得x1=e,此时切线方程为y=xe.
当x