2022高考数学一轮复习课时规范练14导数的概念及运算（含解析）

课时规范练14　导数的概念及运算

基础巩固组

1.已知函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),则等于(　　)

A.mf'(x0) B.-mf'(x0)

C.-f'(x0) D.f'(x0)

2.函数f(x)=(2ex)2+sin x的导数是(　　)

A.f'(x)=4ex+cos x 

B.f'(x)=4ex-cos x

C.f'(x)=8e2x+cos x 

D.f'(x)=8e2x-cos x

3.若f'(x0)=-3,则=(　　)

A.-3 B.-6 

C.-9 D.-12

4.设函数f(x)=ax3+1.若f'(1)=3,则a的值为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.4

5.(2020陕西西安中学八模,理5)已知函数f(x)=x2ln x+1-f'(1)x,则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为(　　)

A. B.-

C.-3e D.3e-

6.设函数f(x)在R上可导,f(x)=x2f'(1)-2x+1,则f(a2-a+2)与f(1)的大小关系是(　　)

A.f(a2-a+2)>f(1) B.f(a2-a+2)=f(1)

C.f(a2-a+2)<f(1) D.不确定

7.(2019全国3,文7,理6)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　　)

A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1

C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1

8.(2020北京二中月考,5)直线y=kx-1与曲线y=ln x相切,则实数k=(　　)

A.-1 B.1 C.2 D.e

9.(2020河北唐山一模,文14)曲线f(x)=ex+2sin x-1在点(0,f(0))处的切线方程为　　　　. 

10.(2020山东德州二模,14)已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=ex3+2e-x,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是　　　　　　　. 

11.(2020山东青岛二模,15)已知函数f(x)=ex-ax的图象恒过定点A,则点A的坐标为　　　　;若f(x)在点A处的切线方程为y=2x+1,则a=　　　. 

12.(2020河南实验中学4月模拟,16)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是　　　　. 

综合提升组

13.已知f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=ln x-3x,则曲线y=f(x)在点(-1,-3)处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于(　　)

A.1 B. 

C. D.

14.(2020广东茂名一模,理15)P为曲线y=2x2+ln(4x+1)图象上的一个动点,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则当α取最小值时x的值为　　　　　. 

15.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　　. 

创新应用组

16.(2020江西上饶三模,文12)已知曲线f(x)=ex+1与曲线g(x)=(x2+2x+1)有公切线l:y=kx+b,设直线l与x轴交于点P(x0,0),则x0的值为(　　)

A.1 

B.0 

C.e 

D.-e

17.(2020北京海淀期中,15)唐代李皋发明了“桨轮船”,这种船是原始形态的轮船,是近代明轮航行模式之先导.如图,某桨轮船的轮子的半径为3 m,它以1 rad/s的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点P,点P到船底的距离是H(单位:m),轮子旋转时间为t(单位:s).当t=0时,点P在轮子的最高点处.

当点P第一次入水时,t=　　　　; 

当t=t0时,函数H(t)的瞬时变化率取得最大值,则t0的最小值是　　　　　. 

参考答案

课时规范练14　导数的概念及运算

1.B　因为函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),

所以

=-

=-mf'(x0).故选B.

2.C　因为f(x)=(2ex)2+sinx=4e2x2+sinx,所以f'(x)=(4e2x2)'+(sinx)'=8e2x+cosx.故选C.

3.B　f'(x0)=-3,

则

=

=+

=2f'(x0)=-6.

4.B　∵f(x)=ax3+1,∴f'(x)=3ax2.又f'(1)=3,∴3a=3,解得a=1.故选B.

5.A　∵f(x)=x2lnx+1-f'(1)x,∴f'(x)=2xlnx+x-f'(1),∴f'(1)=1-f'(1),解得f'(1)=,则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为.故选A.

6.A　由题意可知,f'(x)=2f'(1)x-2,

则f'(1)=2f'(1)-2,解得f'(1)=2.

故f(x)=2x2-2x+1.所以函数f(x)在区间上单调递增.因为a2-a+2=>1>,

所以f(a2-a+2)>f(1).故选A.

7.D　∵y'=aex+lnx+1,

∴k=y'|x=1=ae+1=2,

∴ae=1,a=e-1.

将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.

8.B　设切点坐标为P(a,lna),∵曲线y=lnx,∴y'=,∴k=y'|x=a=. ①

又∵切点P(a,lna)在切线y=kx-1上,∴lna=ka-1.②

由①②,解得k=1.故选B.

9.y=3x　由题可得,f'(x)=ex+2cosx,故f'(0)=e0+2cos0=3.又f(0)=e0+2sin0-1=0,故切线方程为y=3x.

10.ex-y-2e=0　因为奇函数在关于原点对称的两点处的切线平行,且f'(x)=3ex2-2e-x,x<0.所以f'(1)=f'(-1)=e.又因为f(1)=-f(-1)=-e,所以切线为y+e=e(x-1),即ex-y-2e=0.

11.(0,1)　-1　　当x=0时,f(0)=e0-a×0=1,所以f(x)的图象恒过定点(0,1).由题意,f'(x)=ex-a,f'(0)=e0-a=1-a,所以1-a=2,a=-1.

12.2x-y=0　当x>0时,-x<0,则f(-x)=ex-1+x.又因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x,所以f'(x)=ex-1+1,则f'(1)=2,所以切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.

13.C　设x<0,则-x>0,于是f(-x)=ln(-x)-3(-x)=ln(-x)+3x.因为f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,f'(x)=+3.于是曲线y=f(x)在点(-1,-3)处的切线斜率k=f'(-1)=2.因此切线方程为y+3=2(x+1),即y=2x-1.故切线与两坐标轴围成图形的面积S=×1×.故选C.

14.D　由y=得y'=,设直线l与曲线y=的切点为(x0,),则直线l的方程为y-(x-x0),即x-y+=0,由直线l与圆x2+y2=相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=,即,解得x0=1(负值已舍去),所以直线l的方程为y=x+.故选D.

15.　设切点P(x0,y0),

y'=4x+.

∵x0>-,∴4x0+1>0,

则tanα=4x0+=4x0+1+-1≥2-1=4-1=3,

当且仅当4x0+1=,即x0=时,等号成立.

即当x0=时,tanα最小,α取最小值.

16.1-ln 2　对函数y=lnx+2求导,得y'=,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=.设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(lnx1+2)=(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以解得x1=,所以k==2,b=lnx1+2-1=1-ln2.

17.B　设曲线f(x)的切线方程的切点为(m,em+1),由f'(x)=ex+1,得f'(m)=em+1,故切线方程为y-em+1=em+1(x-m).即y=em+1·x+em+1(1-m).设曲线g(x)的切线方程的切点为n,(n2+2n+1),由g'(x)=(2x+2),得g'(n)=(2n+2).故切线方程为y-(n2+2n+1)=(2n+2)(x-n),即y=(2n+2)x+(1-n2).因为两切线为同一条切线,所以解得m=n=1.故切线方程为y=e2x.令y=0,得x0=0,故选B.

18.π　π　如图,设轮子圆心为点O,轮子与水面交点为A,B,C.因为OA=OC=3,OB=1.5,所以∠AOB=,所以∠AOC=,则∠AOP=∠COP=.

由题意,点P从最高点到达点A,即点P第一次入水,所需时间满足t×1=,所以t=.

由题意,桨轮船的轮子的圆心O到船底的距离为4m,

如图,点P从最高点旋转到如图所在的P'位置时,所转过的弧对应的圆心角为1×t0=t0,

则H(t)=4+3cost0,H'(t)=-3sint0≤3,当sint0=-1时,H(t)的瞬时变化率取得最大值3,

所以t0的最小值为π.