2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练62 变量间的相关关系及回归模型（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练62 变量间的相关关系及回归模型（含解析），共12页。试卷主要包含了01),并推断它们的相关程度;，已知变量x与y的取值如下表，故选C等内容，欢迎下载使用。
考点一 成对数据的相关性
1.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn互不相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-2x+100上,则这组样本数据的样本相关系数为( )
A.-1B.0C.12D.1
2.(多选题)对两组数据进行统计后得到的散点图如图,关于其样本相关系数的结论正确的是( )
A.r11
C.r1+r2>0D.|r1|>|r2|
考点二 回归模型及其应用
3.(2025·广东广州模拟)经验表明,一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大,树就越高.由于测量树高比测量胸径困难,因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据,并根据数据作出如下的散点图.
经计算得∑i=112xi=348,∑i=112yi=264,∑i=112xiyi=7 793,∑i=112xi2-12x2=24,∑i=112yi2-12y2=6.
(1)推断两个变量是否线性相关,计算样本相关系数r(精确到0.01),并推断它们的相关程度;
(2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程(系数精确到0.01),并预测胸径为45 cm的树高.
附:相关系数r=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2∑i=1nyi2-ny2,回归方程y^=b^x+a^中,b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y−b^x.
4.一企业生产某种产品,通过加大技术创新投入降低了每件产品成本,为了调查年技术创新投入x(单位:千万元)对每件产品成本y(单位:元)的影响,对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi(i=1,2,3,…,10)的数据进行分析,得到如下散点图,并计算得x=6.8,y=70,∑i=1101xi=3,∑i=1101xi2=1.6,∑i=110yixi=350.
(1)根据散点图可知,可用函数模型y=bx+a拟合y与x的关系,试建立y关于x的经验回归方程.
(2)已知该产品的年销售额m(单位:千万元)与每件产品成本y的关系为m=-y2500+2y25+200y-10+100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入,还要投入其他成本10千万元,根据(1)的结果回答:当年技术创新投入x为何值时,年利润的预报值最大?
(注:年利润=年销售额-年投入成本)
参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1nuivi-nuv∑i=1nui2-nu2,α^=v−β^u.
考点三 残差分析与决定系数
5.(多选题)(2025·广东佛山模拟)生活经验告诉我们,儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关,而且还是正相关.有人调查了10名男大学生的身高y(单位:cm)及其父亲身高x(单位:cm)的数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),已知其中一组数据为(182,185),且∑i=110xi=1 750,求得经验回归方程为y^=0.65x+63,并绘制了如下残差图(残差=观测值-预测值),则( )
A.这10名男大学生的身高的平均值为176.75
B.由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型
C.数据(182,185)对应的残差为3.7
D.去掉数据(182,185)后,重新求得的回归直线的决定系数R2变小
素能综合练
6.(2020·全国Ⅰ,理5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A.y=a+bxB.y=a+bx2
C.y=a+bexD.y=a+bln x
7.已知变量x与y的取值如下表:
且y对x呈现线性相关关系,则y与x的经验回归方程y^=b^x+a^必经过的定点为( )
A.(1,5)
B.(2,7-m)
C.(3,8)
D.(5,11)
8.已知由样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,6)组成的一个样本,得到经验回归方程为y^=2x+0.5,且x=6,增加两个样本点(-1,3)和(5,10)后,得到新样本的经验回归方程为y^=2.5x+b^.在新的经验回归方程下,样本(4,9)的残差为( )
A.-2B.-0.5
C.0.5D.2
9.观察变量x与y的散点图发现可以用指数型模型y=aekx拟合其关系,为了求出经验回归方程,设z=ln y,求得z关于x的经验回归方程为z^=2x-1,则a= ,k= .
参考答案
课时规范练62 变量间的相关关系及回归模型
1.A 解析 由题意,所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-2x+100上,所以这组样本数据的相关系数为-1.故选A.
2.AC 解析 由散点图可知,样本相关系数r1的图象表示y与x成负相关,故-10,故B错误;∵样本相关系数r2的点较线性相关系数r1的点密集,故|r2|>|r1|,故r1+r2>0,故C正确,D错误.故选AC.
3.解 (1)根据树高与树的胸径的散点图,可判断两个变量是线性相关.
根据题中所给数据,得n=12,x=∑i=112xi12=34812=29,y=∑i=112yi12=26412=22,
所以r=∑i=112xiyi-12xy∑i=112xi2-12x2∑i=112yi2-12y2=7 793-12×29×2224×6=137144≈0.95.
由于r的值接近于1,故相关性较强.
故两个变量线性相关,且相关程度较强.
(2)由(1)知n=12,x=29,y=22,
所以b^=∑i=112xiyi-12xy∑i=112xi2-12x2
=7 793-12×29×22242=137576≈0.24,
a^=y−b^x=22-137576×29≈15.10,
所以经验回归方程为y^=0.24x+15.10.
当x=45时,y^=0.24×45+15.10=25.9,
即树高的预测值大约为25.9 m.
故树高关于胸径的经验回归方程为y^=0.24x+15.10,预测胸径为45 cm的树高为25.9 m.
4.解 (1)令u=1x,则y关于u的经验回归方程为y=α+βu.
由题意可得β^=∑i=1nuiyi-10uy∑i=1nui2-10u2=350-2101.6-0.9=200,α^=y−β^x=70-200×0.3=10,则y=10+200u,所以y关于x的经验回归方程为y=10+200x.
(2)由y=10+200x,可得x=200y-10,
年利润M=m-x-10=-y2500+2y25+200y-10+100-200y-10-10=-1500(y-20)2+90.8,当y=20时,年利润M取得最大值,此时x=200y-10=20020-10=20,所以当年技术创新投入为20千万元时,年利润的预报值取最大值.
5.AC 解析 (x,y)满足经验回归方程,代入x=175,计算可得y=176.75,故A正确;从残差图中可以看到残差比较均匀地分布在以均值为0,横轴为对称轴的水平带状区域内,满足上述回归模型,故B错误;代入x=182,得y^=181.3,因此残差为185-181.3=3.7,故C正确;由残差图可知(182,185)是一个极端数据,去掉后重新求得的回归直线拟合程度会变好,决定系数R2变大,故D错误.故选AC.
6.D 解析 结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+bln x.
7.C 解析 由于x=1+2+3+4+55=3,y=5+(7-m)+8+(9+m)+115=8,
则线性回归方程必过定点(3,8).故选C.
8.C 解析 设新样本的均值为x',y',则x'=6x-1+58=5,y'=6y+3+108=11,所以11=2.5×5+b^,解得b^=-1.5,所以新样本的经验回归方程为y^=2.5x-1.5,预测值y^=2.5×4-1.5=8.5,所以残差为9-8.5=0.5.故选C.
9.e-1 2 解析 由题意知,ln y^=2x-1,所以y^=e2x-1=e-1·e2x.又y=aekx,所以a=e-1,解得k=2.
x
1
2
3
4
5
y
5
7-m
8
9+m
11