2023年高考数学一轮复习课时规范练52变量间的相关关系统计案例含解析北师大版文

课时规范练52　变量间的相关关系、统计案例

基础巩固组

1.(2020全国Ⅰ,理5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:

由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)

A.y=a+bx B.y=a+bx2 

C.y=a+bex D.y=a+bln x

答案:D

解析:结合题中散点图,由图像的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+blnx.

2.相关变量的样本数据如下表,

经回归分析可得y与x线性相关,并由最小二乘法求得回归直线方程为y=0.5x+2.3,下列说法正确的是(　　)

A.当x增加1时,y一定增加2.3

B.变量x与y负相关

C.当y为6.3时,x一定是8

D.a=5.2

答案:D

解析:由题设当x增加1时,y可能增加0.5;当y为6.3时,代入回归方程解得x=8,即x可能为8;变量x与y正相关;

=4,

,点()一定在直线y=0.5x+2.3上,代入得4×0.5+2.3=,则a=5.2.故选D.

3.(2021陕西宝鸡二模)蟋蟀鸣叫是大自然优美、和谐的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位:℃)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据,建立了y关于x的线性回归方程y=0.25x+k,则下列说法不正确的是(　　)

A.k的值是20

B.变量x,y呈正相关关系

C.若x的值增加1,则y的值约增加0.25

D.当蟋蟀52次/分钟鸣叫时,该地当时的气温预报值为33.5 ℃

答案:D

解析:由题意,得(20+30+40+50+60)=40,(25+27.5+29+32.5+36)=30,

则k=-0.25=30-0.25×40=20,故A正确;

由线性回归方程可知,b=0.25>0,变量x,y呈正相关关系,故B正确;

若x的值增加1,则y的值约增加0.25,故C正确;

当x=52时,y=0.25×52+20=33,故D错误.故选D.

4.(2021陕西模拟)某社区随机选取了部分居民,调查他们对今年春节期间社区组织文艺和体育活动的意见(每人只选择其中一项),调查结果如下表所示:

(1)估计该社区男性居民中选择体育活动的概率和全体居民中选择文艺活动的概率;

(2)能否有95%的把握认为居民选择的活动类型与性别有关?

附:χ2=,

解:(1)由表格中的数据可知,该社区男性居民中选择体育活动的概率为,

该社区全体居民中选择文艺活动的概率为

(2)由表格中数据可得χ2=5.833>3.841,

因此,有95%的把握认为居民选择的活动类型与性别有关.

综合提升组

5.(2021安徽滁州期末)某商家为了解某种加热手套如何定价可以获得最大利润,现对这种加热手套进行试销售.统计后得到其单价x(单位:元)与销量y(单位:副)的相关数据如表:

(1)已知销量y与单价x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;

(2)若每副该加热手套的成本为65元,试销售结束后,请利用(1)中所求的线性回归方程确定单价为多少元时,销售利润最大?(结果保留到整数)

附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=,a=-b

参考数据:xiyi=48 700,=40 750.

解:(1)由表中数据,计算得(80+85+90+95+100)=90,

(140+130+110+90+80)=110,

则b==-3.2,a=-b=110+3.2×90=398,

所以y关于x的线性回归方程为y=-3.2x+398.

(2)设定价为x元,利润为f(x),

则f(x)=(-3.2x+398)(x-65)=-3.2x2+606x-25870,

所以当x=-=94.6875≈95(元)时,f(x)最大,所以为使得销售的利润最大,单价应该定为95元.

6.(2021山东潍坊二模)某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况,随机选取了100名学生进行调查,其中男生有60人.下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间(单位:分钟)的频率分布直方图.将日均校内体育锻炼时间在[60,80]内的学生评价为“锻炼时间达标”,已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生.

(1)若该校共有2 000名学生,请估计该校“锻炼时间达标”的学生人数;

(2)根据样本数据完成下面的2×2列联表,并据此判断“锻炼时间达标”与性别是否有关?

附:χ2=,

解:(1)由已知得,“锻炼时间达标”的频率为(0.01+0.005)×10=0.15,

所以“锻炼时间达标”的学生共有2000×0.15=300(人).

(2)由所给数据,可得2×2列联表为

由2×2列联表得χ2=0.327<2.706,

所以没有足够的把握判定“锻炼时间达标”与性别有关.

创新应用组

7.(2021陕西榆林二模)某机构为了解某大学中男生的体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)是否存在较好的线性关系,该机构搜集了7位该校男生的数据,得到如下表格:

根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为y=1.15x+a.

(1)求a的值.

(2)已知R2=1-且当R2≥0.9时,回归方程的拟合效果非常好;当0.8<R2<0.9时,回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好?说明你的理由.

参考数据:[yi-(1.15xi+a)]2=52.36.

解:(1)(161+175+169+178+173+168+180)=172,

(52+62+54+70+66+57+73)=62,

∴62=172×1.15+a,∴a=-135.8.

(2)良好.理由如下:(yi-)2=(52-62)2+(62-62)2+(54-62)2+(70-62)2+(66-62)2+(57-62)2+(73-62)2=390,

∴R2=1-=1-≈0.866.

∴0.8<R2<0.9,即回归方程的拟合效果良好.