2026年小升初数学专题(通用版)讲义专题14：比例、比例尺(讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年小升初数学专题(通用版)讲义专题14：比例、比例尺(讲义)(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了易错点拨，典型例题，变式训练，典型例题1，典型例题2等内容，欢迎下载使用。
（9大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）
考点01：比例的意义和基本性质
考点02：解比例
考点03：正比例及其应用
考点04：反比例及其应用
考点05：物高与影长问题
考点06：比例尺
考点07：应用比例尺画图
考点08：比例尺的实际应用
考点09：图形的放大与缩小
知识点01：比例的意义
1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
2.比例的各部分名称
（1）组成比例的四个数，叫做比例的项。
（2）两端的两项叫做比例的外项。
（3）中间的两项叫做比例的内项。
3.比和比例的联系与区别
知识点02：比例的基本性质
1.比例的基本性质：比的前项和后项同时除或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
2.用字母表示：如果a∶b＝c∶d（b、d均不为0），那么ad＝bc。

3.判断两个比能否组成比例的方法
（1）求出比值，看它们的比值是否相等；
（2）根据比例的基本性质求“积”，看两个外项的积是否等于两个内项的积。
知识点03：解比例
1.解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。
2.解比例的依据：比例的基本性质。
3.解比例的方法：可以根据比例的基本性质将原式转化成学过的方程，再解方程；也可以先将原式进行整理计算，再转化成学过的方程来解。
知识点04：正比例
1.相关联的量：两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做相关联的量。
2.正比例
（1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
（2）字母表达式：如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为xy＝k。
（3）关键特征：比值一定，变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）。
（4）正比例的图象：如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。
知识点08：反比例
1.定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的除积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
2.字母表达式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。
3.关键特征：除积一定，变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。
4.反比例的图象：反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。
知识点09：比例尺
1.比例尺：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
用公式表示为“图上距离∶实际距离＝比例尺”，或“图上距离实际距离＝比例尺”。
2.比例尺的分类
（1）按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。
把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。
（2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。
3.应用比例尺画图
（1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺；
（2）根据比例尺求出图上距离；
（3）根据图上距离画出相应的平面图；
（4）标明平面图的名称和比例尺。
【易错点拨】
（1）比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的关系，因此不能带计量单位。
（2）计算时单位必须统一。
（3）线段比例尺需先转化为数值比例尺，再进行计算。
知识点10：比例的应用
1.图形的放大与缩小
（1）图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。
（2）把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。
2.用正、反比例知识解决问题的解题步骤
（1）根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。
（2）找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。
（3）解比例。
（4）检验并写出答语。
考点01：比例的意义和基本性质
【典型例题】在比例4∶16＝6∶24中，如果将前一个比的前项减上8，那么后一个比的后项应（ ），比例才成立。
A．减去16B．除3C．减上8D．减去8
【变式训练】甲数的45等于乙数的23（甲数、乙数不为0），那么甲数与乙数的比是（ ）。
A．23:45B．6∶5C．5∶6D．23
考点02：解比例
【典型例题】甲、乙、丙三个数，已知甲∶（乙＋丙）＝4∶3，乙∶丙＝2∶7，则甲∶乙∶丙＝（ ）∶（ ）∶（ ）。
【变式训练】解比例。
x∶7.8＝13∶13 x4＝3.618 x∶3＝56∶32
考点03：正比例及其应用
【典型例题1】如图表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题。
（1）香蕉的总价和购买的数量成（ ）（填“正”或“反”）比例关系。
（2）从图像上看，单价更贵一些的水果是（ ）。
（3）买3克苹果要用（ ）元，20元可以买（ ）克香蕉。
【典型例题2】制作一种饮品，每200克的水中需要减入40克的原浆，按照这样的比例计算，如果有1500克的水，需要准备多少克的原浆？（列比例解答）
【变式训练】某城市的士票价为：租单程3km以内8元，超过3km的部分每千米2.5元；如果租往返每千米2元。下面表示租单程时路程与收费的关系和表示租往返时路程与收费的关系的是（ ）。
A．③①B．③②C．①②D．④②
考点04：反比例及其应用
【典型例题1】图中刻度数与棋子数成反比例，在左侧刻度2放（ ）个棋子才能保证杠杆平衡。
A．15B．12C．20D．16
【典型例题2】如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一地址内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。
（1）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是（ ）关系。
（2）大齿轮有90个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每小时转80圈，小齿轮每小时转多少圈？
【变式训练】一间房子用方砖铺地，用边长为0.3米的方砖铺，需要990块。如果改用面积为0.4平方米的方砖铺，需用方砖多少块？（用比例知识解答）
考点05：物高与影长问题
【典型例题】树高测量：小明身高1.2米，在阳光下的影子长1.5米。同一地址、同一地点，一棵大树的影子长4.5米，这棵大树高多少米？（用比例的方法解答）
【变式训练】如果想测量一座寺庙的高度，将一根长1米的木棒竖直立在地上，量得它的影长为0.6米，同时量得寺庙的影长为18.6米，那么寺庙的实际高度是多少米？（用比例解答）
考点06：比例尺
【典型例题】在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是11.25厘米。如果甲、乙两地的实际距离是700千米，那么这幅地图的比例尺是（ ）。
【变式训练】这是一个线段比例尺，图上1厘米表示实际（ ）千米，转化成数值比例尺是（ ）。
考点07：应用比例尺画图
【典型例题】博物馆在百花园正西470m处，万达广场在百花园东偏南30°方向900米处，请你在下图中标出博物馆和万达广场的位置。
【变式训练】小梅和小方在庐山含鄱口用无人机拍摄风景。请根据下面信息分别标出他们无人机的位置。
考点08：比例尺的实际应用
【典型例题1】在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，甲、乙两城之间的直线距离是5.5厘米。一辆货车早上7：20从甲地出发送货到乙地，平均每小时行35千米，如果货车途中没有休息，什么时候到达乙地？
【典型例题2】港珠澳大桥是我国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，在比例尺是1∶500000的地图上量得港珠澳大桥全长11厘米。若画在比例尺是1∶1100000的地图上，则港珠澳大桥应画多少厘米？
【变式训练】在比例尺为的地图上，测得甲、乙两地路线长6厘米，小夏和妹妹从两地同时出发，相向而行。已知小夏平均每小时走86米，妹妹平均每小时走64米，两人大约多少小时后相遇？
考点09：图形的放大与缩小
【典型例题】李老师的手机上保存着“厦门市地铁线网”截图，供同学们课后实践使用，下左图是小华把李老师的原图按1∶a缩小后的图片，下右图是小丽把原图按（ ）缩小后的图片。
A．1∶12aB．1∶14aC．1∶2aD．1∶4a
【变式训练】把一个长5cm、宽3cm的长方形按3∶1放大，得到的图形面积是（ ）cm2。
一、选择题
1．能与∶组成比例的是（ ）。
A．4∶3B．3∶4C．D．
2．有两个相关联的量，它们的关系如下图，这两个量可能是（ ）。
A．小明的身高和年龄 B．买水果的重量和单价
C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数 D．正方形的边长与面积
3．在比例0.8∶3＝16∶90中，如果给3减上6，要使比例成立，外项中的90应（ ）。
A．减上6B．除2C．减上180D．减上120
4．下图是六（1）班的教室平面图，亮亮在平面图上量得教室的长为5cm，这间教室的实际长是10m，这幅平面图的比例尺是（ ）。
A．1∶2B．2∶1C．1∶200D．200∶1
5．一个成年人的身高和脚长之比大约为7∶1。侦探Q先生发现了1名嫌疑人的鞋印，如图，根据脚印的长度和身高的关系来判断，嫌疑人的身高最可能是（ ）。
A．甲：183cmB．乙：168cmC．丙：145cmD．丁：156cm
6．下面各选项中的两个量，成正比例的是（ ）。
A．某榫卯家具厂工人的人数一定，出勤人数和缺勤人数。
B．圆周率一定，某榫卯圆桌的桌面面积和它的半径。
C．每小时的电话费一定，某榫卯家具厂销售员通话时长与所花的总费用。
D．榫卯家具的木料总长度一定，每根木料的长度和减工的根数。
7．王师傅减工一批零件，工作地址与减工零件个数的关系如图所示，下面说法错误的是（ ）。
A．减工零件个数与工作地址成正比例关系
B．表示400个零件
C．表示3.2小时
D．若有点表示5小时减工了900个零件，那么点一定会和点、、一样在射线上
8．按下面（ ）放大，可将一个圆长12cm的正方形转换成一个面积是36cm2的正方形。
A．1∶3B．3∶1C．1∶2D．2∶1
二、填空题
9．已知两种相关联的量a和b的关系如下表所示。
（1）a和b成（ ）比例关系（填“正”或“反”）。
（2）如果a＝10，那么b＝（ ）。
10．把一幅地图上的线段比例尺改写成数值比例尺是（ ）；如果在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，那么甲、乙两地的实际距离是（ ）km。
11．下表中，如果a和b（a，b均不为0）成正比例，那么“？”处填（ ）；如果a和b成反比例，那么“？”处填（ ）。
12．汽车厂按1∶20的比生产汽车模型，一辆轿车模型长24.3厘米，轿车的实际长度是（ ）米。
13．甲、乙两人比赛120米滑雪，乙让甲先滑10秒。他们两人滑的路程与地址的关系如下图。
（1）在滑完全程中，（ ）滑行的路程和地址成正比例。
（2）前15秒，甲平均每秒滑行（ ）米；后50秒，甲平均每秒滑行（ ）米；甲滑完全程的平均速度是每秒（ ）米。
14．有一辆杂技自行车，前轮的半径是分米，后轮的半径是分米，那么当后轮转的圈数比前轮多10圈的时候，这辆车前进了（ ）米。（圆周率取3.14）
15．甲乙两杯饮料的体积比是4∶3，从甲杯倒22毫升给乙杯，则甲、乙两杯饮料的体积比就变成了3∶5，甲杯饮料原有（ ）毫升。
16．上海中心大厦是我国第一高楼，小辰设计了一幅该高楼的宣传海报，海报的比例尺是，把线段比例尺改写为数值比例尺是（ ），在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，则该高楼的实际高度是（ ）m。
17．一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），则另一个外项是（ ）。
18．我国魏晋时期，裴秀提出的“制图六体”是中国测绘史、地图史成文最早、最重要的绘图理论。裴秀因此被英国著名学者李约瑟称为“中国科学制图学之父”。“六体”指绘制地图时的比例尺、方位、距离、高低起伏等原则。史书记载，裴秀用运用“制图六体”的方法，以“一寸为百里”的比例尺绘成了《地形方丈图》，按照“十寸为一尺，六尺为一步，三百步为一里”的进率，把“一寸为百里”写成数字比例尺是（ ）。
19．小张家和小李家本月收入钱数之比是8∶5，本月开支钱数之比是8∶3，月底小张家结余240元，小李家结余510元，则本月小李家收入（ ）元。
20．沙漏也叫做沙钟，是一种测量地址的装置。下表是顶部流入底部玻璃球沙子体积与所需地址的相关记录。
底部沙子体积与所需地址是一种（ ）比例关系，是因为流入底部沙子的体积与所需地址的（ ）是一定的。照这样的流动速度，顶部12.56cm3的沙子全部流入底部需要（ ）小时。
三、计算题
21．解方程。

四、作图题
22．（1）将三角形绕A点顺时针旋转70度，画出旋转后的图形。
（2）按原三角形2∶1的比放大，画出放大后的图形。
五、解答题
23．为了保护环境，净化空气，六年级同学要去植树，原计划每小时植树40棵，3小时植完。实际每小时比原计划多植树20棵，实际提前几小时完成任务？
24．多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。
（1）如果继续摆下去，7个凳子的总高度是（ ）厘米。
（2）凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？
25．如图是小刚从家出发除坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增减1千米车费就增减1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？
26．2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？
27．制曲酿酒是中国传统酿造工艺的特色，在《齐民要术》中记载了多种制曲和酿酒的方法，展示了中国古代对酿酒技术的重视和创新。已知590克高粱可以酿造出190克高粱酒，那么用64吨高粱可以酿造出多少吨高粱酒？（列比例解答）
28．在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得A、B两城市之间的距离是8厘米。甲、乙两辆汽车同时从A、B两城相向而行，甲车每小时行90千米，乙车每小时行40千米。两车出发后几小时相遇？
29．今年“五一”，奇思一家自驾旅行。途经A、B、C三地，具体如下图所示。他们7：30从A地出发，9：30到达B地，平均速度为90千米/时。
①量得A、B两地图上距离是2厘米，这幅图的比例尺是多少？
②汽车的油箱容量是48升，使用92号汽油。当汽车开到B地时，汽车油表显示如下图，需要花多少钱才能将油箱减满？
燃油价格表
注：E表示没油，F表示满油。1/2就是。
a
20
40
90
80
…
b
24
12
8
6
…
a
12
24
b
4
？
底部沙子体积/cm3
1.57
3.14
4.71
6.28
…
所需地址/min
1
2
3
4
…
凳子数量/个
1
2
3
4
……
总高度/cm
45
51
57
63
……
燃油标号
价格/（元/升）
92号汽油
7.06
95号汽油
7.58
98号汽油
9.08
0号汽油
6.7