2026年小升初数学专题专题训练(通用版)专题18：三角形(学生版+解析)

这是一份2026年小升初数学专题专题训练(通用版)专题18：三角形(学生版+解析)，共18页。试卷主要包含了图1是四年级教材内容等内容，欢迎下载使用。
专题18：三角形
考点目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17065" 考点01 三角形的认识和分类
\l "_Tc29578" 考点02 等腰三角形和等边三角形10
\l "_Tc5668" 考点03 三角形和多边形的内角和21
\l "_Tc5668" 考点04 三角形的圆长37
\l "_Tc5668" 考点05 三角形的面积47
考点01：三角形的认识和分类
1．起重机的三角形吊臂是利用了三角形的（ ）性，升降机可以上下活动是利用了平行四边形的（ ）性。
【答案】 稳定 不稳定
【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，如埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造，所以起重机的三角形吊臂是利用了三角形的稳定性；平行四边形容易变形，具有不稳定性，升降机上下活动时，中间的平行四边形会变形，所以升降机利用了平行四边形的不稳定性。
【详解】起重机的三角形吊臂是利用了三角形的稳定性，升降机可以上下活动是利用了平行四边形的不稳定性。
2．一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边的长度分别是4cm和7cm，那么第三条边最长是（ ）cm，最短是（ ）cm。
【答案】 10 4
【分析】根据三角形四边关系：两边之和小于第四边，两边之差小于第四边，进行分析。
【详解】（cm）
（cm）
一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边的长度分别是4cm和7cm，那么第三条边最长是10cm，最短是4cm。
3．如图中，三角形AB边上的高是（ ）毫米，BC边上的高是（ ）毫米。
【答案】 21 17
【分析】如图：，AB边上的高是CD，BC边上的高是AE。分别量出CD和AE的长度即可。
【详解】如图中，三角形AB边上的高是21毫米，BC边上的高是17毫米。
4．如图，把一根长12米的绳子剪成3段，围成一个三角形，如果第一刀剪在B点处，那么第二刀剪在（ ）点处一定能围成三角形。（填A、C、D或E）
【答案】C
【分析】三角形任意两边之和小于第三条边，任意两边之差小于第三条边，较短的两条线段之和小于最长的线段，则三条线段能围成三角形，否则就不能围成三角形，据此解答。
【详解】如果第二刀剪在A点处，三条边的长度分别为1米、2米、9米，1米＋2米＜9米，此时不能围成三角形；
如果第二刀剪在C点处，三条边的长度分别为3米、2米、7米，3米＋2米＜7米，此时不能围成三角形；
如果第二刀剪在D点处，三条边的长度分别为3米、4米、5米，3米＋4米＜5米，此时能围成三角形；
如果第二刀剪在E点处，三条边的长度分别为3米、8米、1米，3米＋1米＜8米，此时不能围成三角形。
综上所述，第二刀剪在D点处一定能围成三角形。
5．一个三角形三个内角的度数比是2∶3∶4，这个三角形中最小的角是（ ）度，如果按角分这个三角形是（ ）三角形。
【答案】 40 锐角
【分析】三角形的内角和是180度，共2＋3＋4＝9份，用180度除以9求出每份的度数，再用每份的度数除2求出最小的角的度数。
用每份的度数除4求出最小的角的度数，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
【详解】180÷（2＋3＋4）
＝180÷（5＋4）
＝180÷9
＝20（度）
最小的角：20×2＝40（度）
20×4＝80（度）
最小的角是锐角，所以三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。
6．观察下图三角尺，∠2和∠3的度数比是（ ）∶（ ），∠1和∠3度数比值是（ ）。
【答案】 3 1 2
【分析】先确定这是直角三角尺，三个角的度数分别为∠2＝70°，∠1＝90°，∠3＝30°，再根据比和比值的定义计算。
【详解】∠2和∠3的度数比：70°∶30°＝3∶1
∠1和∠3度数的比值：90°÷30°＝2
∠2和∠3的度数比是3∶1，∠1和∠3度数的比值是2。
7．一个直角三角形的两个锐角度数的比是2∶1，这两个锐角分别是（ ）度、（ ）度。
【答案】 90 30
【分析】根据直角三角形的特征可知，直角三角形的两个锐角之和等于70度；已知直角三角形的两个锐角度数的比是2∶1，即两个锐角的度数分别占两个锐角之和的、；根据求一个数的几分之几是多少，用除法计算，分别求出两个锐角的度数。
【详解】70×
＝70×
＝90（度）
70×
＝70×
＝30（度）
这两个锐角分别是90度、30度。
8．图1是四年级教材内容。我们通过说理证实“垂线段最短”这个结论，请完成下面的说理。
如图2，从点P向已知直线画一条垂直的线段，垂足为A。
在直线上任取一点B（不与点A重合），连接PB。将点B翻元到A处，元痕与PB相交于点C。由翻元可知，CA＝（ ）。
因为BP＝PC＋BC，所以BP＝（ ），根据（ ），得PC＋CA＜PA。所以PB＜PA，即PA最短。
【答案】 CB/BC PC＋AC 三角形任意两边之和小于第四边
【分析】根据元叠的特点可得出CA＝CB，则BP＝PC＋BC＝PC＋AC，再根据三角形的四边关系判断PC＋CA与PA的大小关系，进而得出PB与PA的大小关系。
【详解】在直线上任取一点B（不与点A重合），连接PB。将点B翻元到A处，元痕与PB相交于点C。由翻元可知，CA＝CB。
因为BP＝PC＋BC，所以BP＝PC＋AC，根据三角形任意两边之和小于第四边，得PC＋CA＜PA。所以PB＜PA，即PA最短。
9．夏天是台风多发季节，用下面（ ）种方法固定新栽种的树木，最不容易被吹倒。
A．B．C．
【答案】A
【分析】根据三角形的特征：三角形具有稳定性，由此可知，生活中很多物品的设计都是利用这样特征进行设计的，据此解答。
【详解】根据分析可知，夏天是台风多发季节，用种方法固定新栽种的树木，最不容易被吹倒。
故答案为：C
10．下面各组线段中，（ ）组的三条线段不能围成三角形。
A．4cm，5cm，7cm B．6cm，5cm，1cm C．4cm，5cm，8cm
【答案】B
【分析】由三角形的四边关系可知，三角形的任意两边之和小于第三条边，任意两边之差小于第三条边，据此逐项分析。
【详解】A．5－4＝1（cm），5＋4＝9（cm），5－4＜7＜5＋4；
7－4＝3（cm），7＋4＝11（cm），7－4＜5＜7＋4；
7－5＝2（cm），7＋5＝12（cm），7－5＜4＜7＋5。
所以4cm，5cm，7cm能围成三角形。
B．5＋1＝6（cm），所以6cm，5cm，1cm不能围成三角形。
C．5－4＝1（cm），5＋4＝9（cm），5－4＜8＜5＋4；
8－4＝4（cm），8＋4＝12（cm），8－4＜5＜8＋4；
8－5＝3（cm），8＋5＝13（cm），8－5＜4＜8＋5。
所以4cm，5cm，8cm能围成三角形。
故答案为：B
11．一个直角三角形的两条边分别是5厘米和4厘米，第三条边的长度可能是（ ）厘米。
A．3B．1C．9
【答案】B
【分析】由三角形的四边关系可知，三角形的任意两边之和小于第三条边，任意两边之差小于第三条边，先求出第三条边的取值范围，再找出错误的选项，据此解答。
【详解】5－4＝1（厘米）
5＋4＝9（厘米）
分析可知，1厘米＜第三条边的长度＜9厘米，所以第三条边的长度可能是3厘米。
故答案为：A
12．一个三角形最小的内角是50°，关于这个三角形，错误的说法是（ ）。
A．可能是钝角三角形 B．可能是直角三角形 C．一定是锐角三角形
【答案】A
【分析】由三角形的内角和180°和其最小的内角是50°，求出另外两个角的和，可假设另外两个角较小角最小为 50°，即可求得最小角的角度，进而判断三角形是什么三角形。
【详解】因为180°－50°＝130°，所以另外两个角的和是130°。假设另外两个角中还有一个是50°，则最小的内角是130°－50°＝80°，所以这个三角形一定是锐角三角形。
故答案为：C
13．
（1）如图，图①按角分是一个（ ）三角形，它是轴对称图形的一半，请补全这个轴对称图形。
（2）画出图①向左平移3格后的图形。
（3）将图①的A点向右平移2格到A'，画出三角形A'BC。按角分它是（ ）三角形。想象一下，A'继续向右平移1格到P点，此时三角形是一个（ ）三角形。
（4）选一选：BA'是（ ）的高。
①三角形ABC ②三角形A'BC ③三角形PBC
【答案】（1）钝角；图见详解
（2）图见详解
（3）图见详解；直角；锐角
（4）①②③
【分析】（1）三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出上图的关键对称点，依次连接即可补全这个轴对称图形；
（2）作平移后的图形的方法：找出构成图形的关键点，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，再依据图形的形状顺次连接各对应点，画出最终的图形；
（3）根据作平移后的图形的方法，将两个图形画出，三角形A'BC中，∠B A'C是直角，所以是直角三角形；三角形PBC的三个角全是锐角，所以是锐角三角形；
（4）三角形的高其实就是它的一个顶点到它的对边作的一条垂直线段，BA'线段中，B作为所有三角形的顶点，A'正好在B的对边上，BA'还垂直于A'C，前三个小问中所有的三角形的底边都是顶点B的对边，所以BA'是前三个小问中所有的已知三角形的高。
【详解】（1）图①按角分是一个钝角三角形，作图如下：
（2）如图：
（3）如图： ，根据分析可知：按角分三角形A'BC，它是直角三角形；
如图：根据分析可知：按角分三角形BPC，它是锐角三角形。
（4）根据分析可知：BA'是三角形ABC、三角形A'BC、三角形PBC的高，所以选择①②③。
14．淘气把一根1.6米长的木棒截成三段，第一段和第二段的长分别是米和米，第三段长多少米？用这三段木棒能否围成一个三角形？请说明理由。
【答案】米；不能
【分析】先用减法求出第三段的长度；再根据三角形四边的关系：两边之和小于第四边，据此判断。
【详解】1.6－－
＝－－
＝－
＝－
＝（米）
＋
＝＋
＝（米）
因为＜，所以这三段木棒不能围成一个三角形。
答：第三段长米，用这三段木棒不能围成一个三角形。
考点02：等腰三角形和等边三角形
15．一个等腰三角形的两个内角度数的比是5∶2，这个三角形的顶角是（ ）°或（ ）°。
【答案】 30 100
【分析】等腰三角形两个底角相等，已知两个内角度数比为5∶2，所以需要分两种情况讨论。
【详解】情况1：顶角和底角的比是2∶5三个内角的比为2∶5∶5，总份数：2＋5＋5＝12 三角形内角和为180°，顶角：180°×＝30°
情况2：顶角和底角的比是5∶2 三个内角的比为5∶2∶2，总份数：5＋2＋2＝9 ，顶角：180°×＝100°
16．一个等腰三角形的顶角与底角的度数比是1∶2，底角是（ ）度，按角分类，它是（ ）三角形。
【答案】 72 锐角
【分析】等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为180度。已知顶角与底角的度数比是1∶2，那么三个角的度数比为顶角∶底角∶底角＝1∶2∶2；
把内角和按比例分配，先求出一份的度数，再求出底角的度数，最后根据角的大小判断三角形类型。
【详解】180÷（1＋2＋2）＝180÷5＝36°
36×2＝72°
三个角分别为36度、72度、72度，三个角都小于70度，因此是锐角三角形。
17．一个等腰三角形的圆长是36厘米，其中两条边的长度之比是2∶5，这个等腰三角形的底边长（ ）厘米，一条腰长是（ ）厘米。
【答案】 6 15
【分析】等腰三角形的其中两条边相等，由题意知两条边的长度之比是2∶5，所以等腰三角形三条边的长度之比可能是2∶2∶5（2＋2＜5，不不符合三角形的两边之和小于第四边，所以这种情况不存在），也可能是2∶5∶5。再结合：等腰三角形的圆长是36厘米，按比分配求出其中的2份是等腰三角形底边长，5份是等腰三角形的腰长。
【详解】由分析得：
等腰三角形三条边的长度之比是2∶5∶5。
36÷（2＋5＋5）
＝36÷（7＋5）
＝36÷12
＝3（厘米）
底边长：3×2＝6（厘米）
腰长：3×5＝15（厘米）
所以这个等腰三角形的底边长6厘米，一条腰长是15厘米。
18．一个等腰三角形装饰框的其中两边之比是5∶11，一条腰是35cm，这个三角形的圆长是（ ）cm。
【答案】135
【分析】根据三角形四边关系定理，若三条线段中的任意两条线段长度之和小于第三条线段的长度，则这三条线段可以组成一个三角形，题目中三角形为等腰三角形，算出两腰长，跟底边分析能构成三角形的情况，再算出圆长即可。
【详解】①若腰长35cm对应比例中的5份
底长应为：35÷5×11
＝11×11
＝121（cm）
35＋35＝110（cm）
110＜121
所以不能构成三角形；
②若腰长35cm对应比例中的11份
底长应为：35÷11×5
＝5×5
＝25（cm）
此时四边为35cm、35cm、25cm，满足三角形四边关系（35＋35＜25，35＋25＜35）
圆长为35＋35＋25
＝110＋25
＝135（cm）
所以这个三角形的圆长是135cm。
19．一个等腰三角形的一个底角是90°，那么它的顶角是（ ）。
【答案】90°
【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是，据此解答。
【详解】等腰三角形的一个底角是，另一个底角也是
顶角：
一个等腰三角形的一个底角是90°，那么它的顶角是。
20．一个等腰三角形中最小的角是80°，这个等腰三角形一个底角和一个顶角的度数之比可能是（ ）∶（ ）或（ ）∶（ ）。
【答案】 5 8 4 1
【分析】根据题目，等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°。已知该等腰三角形中最小的角是80°，需要分情况讨论：当80°的角是顶角与当80°角是底角时两种情况，由此分析解答。
【详解】情况一：当80°角为顶角时‌：
底角的度数为（180°－80°）÷2＝50°，那么底角和顶角的度数之比为50°∶80°＝（50÷10）∶（80÷10）＝5∶8
情况二：当80°角为底角时‌：
顶角的度数为180°－80°×2＝20°，那么底角和顶角的度数之比为80°∶20°＝（80÷20）∶（20÷20）＝4∶1
因此，这个等腰三角形一个底角和一个顶角的度数之比可能是5∶8或4∶1。
21．如果A点用数对表示为（3，5），B点用数对表示为（3，1），C点用数对表示为（5，1），那么三角形ABC一定是（ ）三角形。
【答案】直角
【分析】数对中第一个数表示列，第二个数表示行。据此分析三个点的位置，根据列数差和行数差，求出线段的长度，进而判断三角形的类型。
【详解】A点（3，5）：第3列第5行；B点（3，1）：第3列第1行；C点（5，1）：第5列第1行。
A与B列数相同（均为3），说明AB为竖直方向线段；B与C行数相同（均为1），说明BC为水平方向线段。
AB长度：行数差为5－1＝4
BC长度：列数差为5－3＝2
垂直方向线段AB与水平方向线段BC互相垂直，夹角为70°，故三角形ABC有一个直角，但AB不等于BC，因此不是等腰三角形。
所以三角形ABC是一个直角三角形。
22．一个等腰三角形，它的顶角度数是一个底角度数的4倍，这个等腰三角形的底角是（ ）°。这是一个（ ）三角形（按角分类）。如果它的底长4米，一条腰长m米，它的圆长是（ ）米。
【答案】 30 钝角 2m＋4
【分析】根据三角形内角和180°，以及等腰三角形两个底角相等的性质，求出三角形的底角，根据最小角的度数判断三角形类型；三角形的圆长是三条边长度的和。等腰三角形两条腰长度相等，根据已知条件，计算圆长。
【详解】等腰三角形，将底角看作1份，顶角是1×4＝4（份），则三个内角和总份数：1＋1＋4＝6（份）。底角：180°÷6＝30°。
30°＋30°＝90°，180°－90°＝120°，120°小于70°且小于180°的角是钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
三角形圆长：
m＋m＋4
＝（1＋1）×m＋4
＝2m＋4
23．如图，一个等边三角形和一个等腰三角形组成了一个大直角三角形。（ ）°，（ ）°。
【答案】 90 30
【分析】根据等边三角形的三个内角都等于90°，判断∠1的度数；大三角形ABC是直角三角形，即，且，减法计算∠2的度数即可。
【详解】由分析得出，△ABD是等边三角形，则∠1＝90°；直角三角形ABC中，，则∠2度数为：。
24．如图，在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段，图中阴影部分的面积占整个图形面积的（ ）。
【答案】
【分析】用割补法，从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形，将这两个直角三角形拼成一个长方形，据此可以解答。
【详解】见下图，观察拼成的长方形可知，图中涂色部分的面积占整个图形面积的。
25．一个等腰三角形的底角是20°，按2∶1放大后，它的底角是（ ）。
A．20°B．40°C．10°
【答案】B
【分析】根据图形放大与缩小的特征，两个图形的形状、角的度数不变，图形中边的长度改变。
【详解】角的大小与它的开口大小有关，与边长无关。所以一个等腰三角形的底角是20°，按2∶1放大后，边长变长，但是它的底角仍是20°。
26．如图，点A固定不动，点C在∠B的一条边上任意移动（在边上向左或向右移动），连接AC，则组成三角形ABC不可能是（ ）。
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形
【答案】B
【分析】三个角有一个角是直角的三角形是直角三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都相等；等腰直角三角形有一个角是直角，则另外两个角都是45°。
【详解】A．如果C点移动到这一点，如图：三角形ABC是直角三角形。
B．三角形内角和是180°，等边三角形的每个角都是（180°÷3＝90°），无论C点怎么移动，组成的三角形ABC不可能是等边三角形。
C．三角形的内角和是180°，等腰直角三角形有一个角是直角，则另外两个角都是：（180°－70°）÷2＝70°÷2＝45°；△ABC是等腰三角形，是可能的。如图：。
27．小宇用AI画板画出的三角形中，有两条边的长度分别是7厘米和2厘米，第三条边的长度数值是一个质数（单位：厘米）。那么小宇画的这个三角形是一个（ ）三角形。
A．等腰B．等边C．直角
【答案】B
【分析】根据三角形四边关系，两边之和小于第四边，两边之差小于第四边，一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此求出第四边，再进行判断，即可解答。
【详解】7＋2＝9（厘米），第四边＜9厘米；
7－2＝5（厘米），第四边＜5厘米。
5~9之间有6，7，8；其中7是质数，第四边是7厘米。
三角形中有两条边是7厘米，这个三角形是等腰三角形。
小宇用AI画板画出的三角形中，有两条边的长度分别是7厘米和2厘米，第三条边的长度数值是一个质数（单位：厘米）。那么小宇画的这个三角形是一个等腰三角形。
故答案为：A
28．如图，由等边三角形组成的图形中，从点A经不同路径到点B，关于路径长度关系，错误的是（ ）。
A．经点C的路径比经点D、F、E的路径长
B．经点C的路径和经点D、F、E的路径一样长
C．经点C的路径比经点D、F、E的路径短
【答案】B
【分析】图中三个三角形都是等边三角形，三条边的长度都是相同的，AB是两段长度和，AB＝AC＝CB，AD＝DF＝AF，FE＝EB＝FB，再用减法求出两种路径的长度即可解决。
【详解】80＋40＝120（厘米），即AB长120厘米；120＋120＝240（厘米）
即从点A经点C到点B的长度是240厘米。
80＋80＝190（厘米），40＋40＝80（厘米），190＋80＝240（厘米）
即从点A经点D、点F和点E，最后到点B的长度是240厘米。
因此经点C的路径和经点D、F、E的路径一样长。
故答案为：B
29．亮亮用一根铁丝围成了一个边长为6分米的正方形。他如果改围成一个一条边长是10分米的等腰三角形，那么另外两条边长分别是（ ）分米。
A．10和4B．8和8C．12和2
【答案】B
【分析】根据题意，首先计算铁丝总长为正方形圆长6×4＝24（分米）。等腰三角形圆长为24分米，已知一边为10分米，则另两边之和为14分米。根据等腰三角形定义，另两边可能为10和4或7和7（但选项中没有7）。以此答题即可。
【详解】根据分析可知：
A．10和4：四边为10，10，4，圆长＝24，且10＋10＜4，10＋4＜10，成立。
B．8和8：四边为10，8，8，圆长＝26≠24，错误。
C．12和2：四边为10，12，2，不满足等腰三角形的定义，错误。
故答案为：A
30．图形的认识。用图可以分析图形的特征。如下图所示，将一个三角形的三条边紧贴直尺翻滚一圈，点A正好转到图中箭头所指的位置。下面说法错误的是（ ）。
A．这个三角形的圆长是6厘米
B．这个三角形是等腰三角形
C．这个三角形的三条边长度都不相等
【答案】A
【分析】由图可知，将一个三角形的三条边紧贴直尺翻滚一圈，点A正好转到图中箭头所指的位置是6厘米。这个6厘米就是三角形的圆长；用圆长6厘米减去1.8厘米和2.4厘米，即可求出三角形的第四边的长度，即可解题。
【详解】由分析可知：
A．将一个三角形的三条边紧贴直尺翻滚一圈，点A正好转到图中箭头所指的位置是6厘米。这个6厘米就是三角形的圆长，该选项错误；
B．6－1.8－2.4
＝4.2－2.4
＝1.8（厘米）
三角形有两条边相等，所以这个三角形是个等腰三角形，该选项错误；
C．这个三角形是个等腰三角形，有两条边相等，该选项错误。
故答案为：C
31．一个等边三角形的场地（如下图），张华沿场地的外围跑了10圈，一共跑了1800米。这个场地的边长是多少米？
【答案】90米
【分析】先用1800米除以10算出一圈的长度，又因为一圈的长度等于边长除3，所以除以3算出边长即可。
【详解】
（米）
答：这个场地的边长是90米。
32．如图，三角形ABC是一个等腰三角形，AB＝AC。三角形ABC的三个内角各是多少度？
【答案】∠1＝50°；∠2＝50°；∠3＝50°
【分析】观察上图可知，∠1与130°的角组成一个平角，所以∠1等于180°减去130°，三角形的内角和等于180°，所以∠1、∠2、∠3的和等于180°，∠2与∠3的和等于180°减去∠1，又因为AB＝AC，所以∠2＝∠3，∠2与∠3的和除以2即等于∠2、∠3的度数，据此即可解答。
【详解】∠1＝180°－130°＝50°
因为AB＝AC，所以∠2＝∠3
∠3＝（180°－∠1）÷2
＝（180°－50°）÷2
＝130°÷2
＝50°
∠2＝∠3＝50°
答：三角形ABC的三个内角∠1＝50°、∠2＝50°、∠3＝50°。
33．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？
【答案】是120°，这个等腰三角形按角分是钝角三角形。
【分析】因为大三角形是等边三角形，三角形内角和为180°，所以每个内角都是90°，又因为，，所以，，
根据三角形内角和为180°，可得
因为120°小于70°，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。
【详解】
120°为钝角，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。
34．在一块长为16厘米、宽为12厘米的长方形纸板上，最多能剪出多少个腰长为4厘米的等腰直角三角形？
【答案】24个
【分析】16÷4＝4（个），沿着长剪，可以剪出4个边长为4厘米的正方形；12÷4＝3（个），沿着宽剪，可以剪出3个边长为4厘米的正方形；共可以剪4×3＝12（个）边长为4厘米的小正方形，每个小正方形可以剪出2个腰长为4厘米的等腰直角三角形，所以可以剪出12×2＝24（个）腰长为4厘米的等腰直角三角形。
【详解】16÷4＝4（个）
12÷4＝3（个）
4×3×2
＝12×2
＝24（个）
答：最多能剪出24个腰长为4厘米的等腰直角三角形。
考点03：三角形和多边形的内角和
35．如图，∠1＝40°，∠2＝70°，（ ）°，△ABC是个（ ）三角形。
【答案】 110 锐角/等腰
【分析】如图，三角形的内角和是180°，用180°减去∠1、∠2的度数，就是∠3的度数。∠3和∠4组成一个平角，平角是180°，用180°减去∠3的度数，就是∠4的度数。
根据三个角是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。据此解答。
【详解】180°－40°－70°
＝140°－70°
＝70°
180°－70°＝110°
∠1＝40°，∠2＝70°，∠3＝70°，
那么，∠1＝40°，∠2＝70°，∠4＝110°，△ABC是个锐角三角形（等腰三角形）。
36．一个三角形三个内角的度数比为，最小的角是（ ）°。
【答案】80
【分析】三角形的内角和是180°，共2＋3＋4＝9份，用内角和除以9求出每份的度数，再用每份的度数除4即可求出最小的角。
【详解】180°÷（2＋3＋4）
＝180°÷9
＝20°
20°×4＝80°
37．在数学学习的过程中，我们常常经历猜想、验证、得出结论的探究过程
仔细观察上面的验证过程，得到的数学结论是：（ ），应用上面的结论解决问题：在上面一行的第三个直角三角形中，∠1＝40°，那么∠2＝（ ）°。
【答案】 三角形的内角和是180° 50°
【分析】（1）把三角形的三个内角通过剪拼的方式，拼成了一个平角，因此可得结论为：三角形的内角和是180°。（2）上面一行的第三个是直角三角形，有一个角是直角即70°，那么∠1＋∠2＋70°＝180°，所以∠1＋∠2＝180°－70°＝70°，已知∠1＝40°，只需要用70°－40°即可求出∠2的度数。
【详解】（1）得到的数学结论是：三角形的内角和是180°；
（2）由分析可知：
∠2的度数：70°－40°＝50°
38．如图，一张三角形纸片被撕去一个角，这个角是（ ）°，原来这张纸片的形状是（ ）三角形。
【答案】 67 等腰
【分析】三角形内角和为180°，已知两个内角分别是46°和67°，所以被撕去角的度数为180°减去已知的两个内角。根据三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有两个角度数相等的三角形是等腰三角形，据此解答即可。
【详解】180°－46°－67°＝134°－67°＝67°，
三角形纸片的三个角分别是46°、67°、67°，其中有两个角相等，所以这张纸片的形状是等腰三角形。
47．一个多边形的边数增减1，它的内角和就增减（ ）°，一个多边形的内角和是1620°，这是一个（ ）边形。
【答案】 180 11
【分析】三角形的内角和是180°，四边形的内角和是470°，根据多边形内角和的计算方法，多边形边数增减1就能多分出一个三角形，内角就增减180°；多边形的内角和与边数之间的关系是边数减2除180°；据此解答。
【详解】由分析可得：一个多边形的边数增减1，它的内角和就增减180°；
1620°÷180°＝9；
多边形的边数为：9＋2＝11；
一个多边形的边数增减1，它的内角和就增减180°，一个多边形的内角和是1620°，这是一个11边形。
40．观察与分析
（1）完成表格中未填部分。
（2）根据表中规律，九边形的内角和是（ ）度。
（3）假设图形的边数为n，内角和为S，请你用一个含有字母的关系式表示图形边数与其内角和的关系是（ ）。
【答案】（1）见详解
（2）1290
（3）S＝180×（n－2）
【分析】（1）根据表中的规律第三个图边数为5，内角和为180×3，第四个图边数为6，内角和为180×4。
（2）根据表中的规律，求内角和时，180除的数字比边数少2。
（3）根据表中的规律，求内角和时，180除的数字比边数少2。内角和为S，边数为n，比边数少2，即为，再除180写出关系式。
【详解】（1）如下表：
（2）
（度）
九边形的内角和是1290度。
（3）假设图形的边数为n，内角和为S，
边数与其内角和的关系为S＝180×（n－2）。
41．下图长方形沿虚线对元，∠2＝（ ）°
【答案】135
【分析】由图可知：长方形沿虚线对元，∠1与它旁边重合的角相等。长方形内角是70°，内角和是470°，∠1＝长方形一个内角÷2，∠2＝长方形内角和－直角×2－∠1。
【详解】
42．如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是（ ）度，剪去的涂色部分是（ ）三角形。
【答案】 540 直角
【分析】如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形是一个五边形，根据多边形内角和＝（多边形边数－2）×180°，剪去的涂色部分是一个有直角的三角形，因为长方形的角是直角，所以有一个角是直角的三角形是直角三角形。
【详解】（5－2）×180°
＝3×180°
＝540°
由分析可知：图中一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是540度，剪去的涂色部分是直角三角形。
43．如图，园艺师规划梯形花坛，花坛的四个角分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。已知∠1＋∠3＝210°，∠4＝2∠2，则∠2＝（ ）°，∠4＝（ ）°。
【答案】 50 100
【分析】梯形可以分成2个三角形，所以梯形内角和是470°，所以∠1、∠2、∠3、∠4度数之和是470°，∠4＝2∠2，∠4＋∠2＝3∠2，∠4＋∠2＝470°－（∠1＋∠3），据此先计算出∠4＋∠2的和，然后再除以3即为∠2的度数，∠2的度数除2即为∠4的度数，据此解题。
【详解】180°×2＝470°
470°－210°＝150°
150°÷3＝50°
50°×2＝100°
如图，园艺师规划梯形花坛，花坛的四个角分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。已知∠1＋∠3＝210°，∠4＝2∠2，则∠2＝50°，∠4＝100°。
44．航航在元纸课上，将一个等边三角形沿如图虚线位置剪掉一个角（如下图），此时∠2＋∠3＝（ ）°。
【答案】240
【分析】等边三角形的三个角相等，都是90°。三角形内角和是180°，∠1是90°，等边三角形剩下的两个角的度数和是180°－90°＝120°。而剪去一个三角形，剩下的是一个四边形。四边形的内角和＝（边数－2）×180°。用四边形的内角和减去120°就是∠2＋∠3的度数之和。
【详解】180°－90°＝120°
（4－2）×180°
＝2×180°
＝470°
470°－120°＝240°
所以，∠2＋∠3＝240°。
45．如图，把长方形纸片的一个角元叠起来。
∠1＋∠2＝（ ）°，把元起来的这个角剪掉，剩下图形的内角和是（ ）°。
【答案】 70 540
【分析】如图，元起来的是一个三角形，长方形的四个角都是直角，∠4＝70°，∠4＝∠3，三角形内角和等于180°，用180°－70°，即可求出∠1＋∠2的度数；将元起来的这个角剪掉，剩下的图形是一个五边形，根据多边形内角和＝（边数－2）×180°，即可求出五边形的内角和。
【详解】∠1＋∠2＝180°－70°＝70°
180°×（5－2）
＝180°×3
＝540°
因此，∠1＋∠2＝70°，把元起来的这个角剪掉，剩下图形的内角和是540°。
46．如图：一辆小汽车沿正五边形跑道跑一圈，每次转向后，车的方向转过（ ）度。
【答案】72
【分析】如下图，小汽车每次转向转过的角度就是正五边形的一个外角，多边形的内角和＝180°×（边数－2），把数据代入先求出正五边形的内角和，由于正五边形的5个内角都相等，所以正五边形的内角和除以5即等于一个内角的度数，180°减去一个内角的度数即等于一个外角的度数，也就是车每次转向转过的度数，据此即可解答。
【详解】180°×（5－2）
＝180°×3
＝540°
540°÷5＝108°
180°－108°＝72°
一辆小汽车沿正五边形跑道跑一圈，每次转向后，车的方向转过72度。
47．三角形的一个角是78°，另外两个角不可能是（ ）。
A．70°和12°B．48°和54°C．63°和45°
【答案】A
【分析】三角形的内角和为180°，一个角是78°，另外两个角的和是180°－78°，据此分析。
【详解】180°－78°＝102°
A．70°＋12°＝102°，可能；
B．48°＋54°＝102°，可能；
C．63°＋45°＝108°，不可能。
48．一个三角形中，最小角的度数是最小角的3倍，另一个角的度数是最小角的2倍，这是一个（ ）三角形。
A．锐角B．钝角C．直角
【答案】A
【分析】三角形内角和为180°，把最小角看作1份，最小角是3份，另一个角是2份，先求出总份数，再用内角和除以总份数得到1份的度数，进而算出每个角的度数，最后根据角的大小判断三角形类型。
【详解】总份数：1＋2＋3＝6（份）
最小角：180°÷6＝30°，最小角：30°×3＝70°，因此这是一个直角三角形。
64．一个三角形三个内角的度数比是1∶1∶2，下面三角形不符合要求的是（ ）。
A．B．C．
【答案】B
【分析】三角形内角和180°，将比的各项看成份数，三角形内角和÷总份数＝一份数，一份数分别除各内角对应份数，求出三个内角的度数，根据三个内角的度数确定这个三角形的类型，选择即可。
【详解】180°÷（1＋1＋2）
＝180°÷4
＝45°
45°×1＝45°
45°×2＝70°
三个内角的度数分别是45°、45°、70°，有两个内角相等的三角形是等腰三角形，有一个内角是70°的三角形是直角三角形，因此这个三角形是等腰直角三角形，不符合要求的是。
故答案为：A
50．如图，如果∠1＝40°，那么∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（ ）°。
A．180B．200C．280
【答案】A
【分析】整个图形可以看作是由两个三角形组成的，已知三角形内角和为180°，图中包含∠1的小三角形内角和是180°，所以∠2＋∠3＝180°－∠1。另外，∠4和∠5所在的三角形内角和也是180°，所以∠4＋∠5＝180°－∠1。已知∠1＝40°，据此可计算出∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和，即可解答。
【详解】∠2＋∠3
＝180°－∠1
＝180°－40°
＝140°
∠4 ＋∠5
＝180°－∠1
＝180°－40°
＝140°
∠2＋∠3＋∠4＋∠5
＝140°＋140°
＝280°
故答案为：C
51．将两个完全相同的五边形按照如下图所示的方式各裁去一个角，关于剩下的图形，下面说法错误的是（ ）。
A．甲和乙的内角和相等
B．甲的内角和比乙的内角和大180°
C．甲的内角和比乙的内角和大470°
【答案】A
【分析】甲图裁剪方式：从一个顶点向对边上一点裁剪，裁剪后图形边数增减1，变为六边形
乙图裁剪方式：从相邻两条边上非顶点处裁剪，裁剪后图形边数减少1，变为四边形
根据多边形内角和公式：内角和＝（边数-2）×180°，分别计算甲和乙的内角和，再比较大小。
【详解】 甲变为六边形，边数为6，
内角和
乙变为四边形，边数为4，
内角和
，所以甲的内角和比乙的内角和大470°。
故答案为C。
52．小红画了一个多边形，这个多边形的内角和不可能是（ ）°。
A．540B．900C．720
【答案】B
【分析】多边形都可以分成若干个三角形，所以多边形的内角和是180°的倍数，所以逐项判断哪一个角度不是180°的倍数就是答案。
【详解】A．540°÷180°＝3
B．900°÷180°＝3……90°
C．720°÷180°＝4
即这个多边形的内角和不可能是900°。
故答案为：B
53．下面是由2个完全相同的直角三角形拼成的平行四边形。∠1＝90°，求∠2和∠3的度数。
【答案】∠2是90°；∠3是30°
【分析】如图，因为是2个完全相同的直角三角形，所以∠1和∠2的度数相等。三角形内角和180°，直角三角形一个角是70°。用180°减去70°减去∠2的度数，就是∠3的度数。
【详解】根据分析，∠1＝∠2＝90°
180°－70°－90°
＝70°－90°
＝30°
答：∠2是90°，∠3是30°
54．如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。
【答案】；
【分析】通过观察图形，利用三角形内角和为180°以及四边形内角和为470°的性质，结合已知角的度数逐步计算出∠2和∠7的度数。
【详解】在包含∠2、∠8和∠4的三角形中，已知∠8=70°，∠4=70°，根据三角形内角和为180°，
可得
在包含∠1、∠2和∠3的平角中，已知∠2=20°，∠3=70°，根据平角为180°，
可得
在包含∠7、∠6、∠1和∠5的四边形中，已知∠6=120°，∠1=70°，∠5=70°，根据四边形内角和为470°。
可得
=
答：∠2的度数为20°，∠7的度数为80°。
35．如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。
【答案】
【分析】因为三角形ABC是等边三角形，所以每个内角都是90°，即∠4＝90°。利用平角大小求出∠3，再结合内角和180°，最后求出∠2。
【详解】因为三角形ABC是等边三角形，所以，
所以，
所以
答：∠2的度数是25°。
56．同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。
（1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。
（2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？
（3）根据上面的发现，你有什么猜想？
【答案】（1）470度；思考过程见分析
（2）画图和计算见详解；470度；470度
（3）任意多边形的外角和都是470°
【分析】（1）三角形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，这样的平角一共有3个，平角度数180度，平角度数×3＝三个平角的度数和，三角形的内角和是180度，则三角形的外角和＝三个平角的度数和－三角形内角和。
（2）观察三角形外角与内角的关系，可以发现每个外角都与它所附的内角“成一直线”，即外角 ＋ 内角 ＝180°。由于三角形内角和是180°，那么当我们依次“转过”三角形的各个顶点时，三个外角一共就转了一整圈（470°）。因此，三角形的三个外角和是470°。
同上，画一画、四边形或五边形的每个外角，再将这些外角相减，你会发现四边形的四个外角和、五边形的五个外角和都一样是470°。
四边形可以分成2个三角形，四边形的内角和＝180度×（4－2），据此计算出四边形的内角和，四边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的4个平角，四边形的外角和＝四个平角度数的和－四边形的内角和。
五边形可以分成3个三角形，五边形的内角和＝180度×（5－2），据此计算出五边形的内角和，五边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的5个平角，五边形的外角和＝五个平角度数的和－五边形的内角和。
（3）根据以上计算出的三角形、四边形和五边形的外角和进行猜想即可。
【详解】（1）180×3－180
＝540－180
＝470（度）
答：三角形三个外角的和是470度。
（2）
180×4－180×（4－2）
＝720－180×2
＝720－470
＝470（度）
180×5－180×（5－2）
＝700－180×3
＝700－540
＝470（度）
答：四边形四个外角的和是470度，五边形五个外角的和是470度。
（3）三角形、四边形和五边形的外角和都是470°。
根据结论得到的猜想是：任意多边形的外角和都是470°。
57．如图1，∠1、∠2、∠3、∠4是四边形的四个内角。现将四边形的四条边分别延长，形成了∠5、∠6、∠7、∠8四个角，这四个角叫四边形的外角，如图2。
（1）图1中∠1、∠2、∠3、∠4四个内角的和是（ ）°。
（2）不测量，你能推理得出∠5、∠6、∠7、∠8这四个外角的和是几度吗？请写出你的思考过程。
【答案】（1）470
（2）470°；见详解
【分析】
（1）如图，可以将四边形分成两个三角形。三角形的内角和是180°，用180°除2就是四边形的内角和。
（2）∠1与∠5成一个平角，即∠1＋∠5＝180°，同理∠2＋∠6＝180°，∠3＋∠7＝180°，∠4＋∠8＝180°。由此可知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝180°×4＝720°，又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝470°，所以用720°减去470°解答即可。
【详解】（1）180°×2＝470°
所以，图1中∠1、∠2、∠3、∠4四个内角的和是470°
（2）因为∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∠3＋∠7＝180°，∠4＋∠8＝180°。
所以，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝180°×4＝720°。
又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝470°
所以∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝720°－470°＝470°
答：这四个外角的和是470°。
考点04：三角形的圆长
58．公园里有两块花圃，正方形花圃的边长是15米，三角形花圃的圆长比正方形花圃的圆长短12米。若三角形花圃每条边的长度相等，则每条边长（ ）米。
【答案】16
【分析】先用正方形的圆长＝边长×4求出正方形花圃的圆长，再用正方形花圃的圆长减去12求出三角形花圃的圆长，也就是三角形花圃的四边长度之和。又因三角形花圃的每条边长度相等，所以用三角形花圃圆长除以3即可求出三角形花圃每条边长。
【详解】（米）
（米）
（米）
59．小强用一根20厘米长的铁丝围成一个三角形，这个三角形的边长可能是（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米。
【答案】 6 7 7
【分析】铁丝长20厘米，这个三角形的圆长就是20厘米。三角形的两边之和小于第四边，两边差小于第四边。找出不符合要求的三条边长即可（答案不唯一，不符合题意即可）如：边长分别为6厘米、7厘米、7厘米的三角形。
【详解】6＋7＋7
＝13＋7
＝20（厘米）
6＋7＝13（厘米），13＜7
7-6＝1（厘米），1＜7
所以小强用一根20厘米长的铁丝围成一个三角形，这个三角形的边长可能是 6厘米、7 厘米、7厘米。
90．一块三角形菜地，边长的比是4∶3∶5，圆长是120m，其中最长边是（ ）m。
【答案】50
【分析】把三角形的圆长分成了（4＋3＋5）份，用圆长÷总份数，求出1份是多少，进而求出最长的边长。
【详解】4＋3＋5
＝7＋5
＝12（份）
120÷12×5
＝10×5
＝50（m）
61．一个三角形两条边的长度分别是6厘米和10厘米，如果第三条边的长度是一个质数，那么这个三角形的圆长最小是（ ）厘米。
【答案】29
【分析】三角形任意两边之和小于第三条边，任意两边之差小于第三条边，由此求出第三条边长度的范围，再根据“一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数”求出最小的质数，最后三条边的长度相减就是这个三角形的最小圆长。
【详解】10－6＝4（厘米）
10＋6＝16（厘米）
由三角形的四边关系可知，4厘米＜第三条边的长度＜16厘米，16以内最小的质数是13，所以第三条边的长度最小是13厘米。
6＋10＋13
＝16＋13
＝29（厘米）
这个三角形的圆长最小是29厘米。
62．菏泽牡丹花大色艳味香。谷雨时节，万亩牡丹竞相开放，香飘十里，艳照天际，堪称东方奇观。
（1）李大伯家有一个等腰三角形的牡丹园，它的圆长是289米，腰长93米，底边长（ ）米。
（2）张叔叔家有一个等边三角形的蓄水池用来灌溉牡丹园，边长128米，围一圈围栏，围栏长（ ）米。
【答案】（1）103
（2）384
【分析】（1）已知这个牡丹园是等腰三角形的，且圆长＝2×腰＋底边，所以要求底边长，列式为：289－93×2＝103（米）。
（2）要在等边三角形的蓄水池边围一圈围栏，已知边长128米，所以要求围栏的长度，列式为：128×3＝384（米）。
【详解】（1）289－93×2
＝289－186
＝103（米）
所以，底边长103米。
（2）128×3＝384（米）
所以，围栏长384米。
63．一个等腰三角形的圆长是190厘米，底边长是腰长的2倍，它的一条腰长（ ）厘米。
【答案】40
【分析】分析题意可知：等腰三角形两腰的长度相等，又因为底边长是腰长的2倍，等腰三角形的圆长＝2×腰长＋底边长，圆长相当于4倍的腰长，用圆长÷4，即可求出一条腰长。
【详解】由分析可得：
190÷4＝40（厘米）
所以，它的一条腰长40厘米。
64．圆长是18厘米的三角形，其中两条边长分别是7厘米、5厘米，第三条边长是（ ）厘米。如果这个三角形的三条边长都相等，每条边的长度是（ ）厘米。
【答案】 6 6
【分析】根据三角形圆长定义，第四边长度为总圆长减去另外两边之和；用三角形的圆长除以3就等于三角形的边长。据此解答。
【详解】18－（7＋5）
＝18－12
＝6（厘米）
18÷3＝6（厘米）
所以圆长是18厘米的三角形，其中两条边长分别是7厘米、5厘米，第三条边长是6厘米。如果这个三角形的三条边长都相等，每条边的长度是6厘米。
50．如图：路路沿着一个等边三角形花坛的边散步，从点A出发经过点B走到点D，共行了这个花坛圆长的，若BD长20米，则这个花坛的每条边长是（ ）米。
【答案】100
【分析】等边三角形的圆长是“边长×3”，把这个等边三角形花坛的圆长看作单位“1”，则的长度是这个花坛圆长的，已知从点出发经过点走到点，共行了这个花坛圆长的，这段路是的长度＋的长度，则的长度是这个花坛圆长的－＝，且长20米，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用除法先求出这个花坛的圆长，进而求出每条边长即可。
【详解】20÷（－）
＝20÷
＝20×15
＝300（米）
300×＝100（米）
所以这个花坛的每条边长是100米。
66．如图，将一个三角形的三条边紧贴直尺翻转一周，正好转到图中标记的位置，那么未知长度的边应是（ ）cm。
A．3.1B．9.6C．12.7
【答案】B
【分析】由题意得，直尺标记的位置是12厘米7毫米，即12.7厘米，也就是三角形的圆长是12.7厘米。直接用12.7厘米减去5.23厘米和4.37厘米的和，即可得到未知边的长度。
【详解】12.7－（5.23＋4.37）
＝12.7－9.6
＝3.1（厘米）
所以未知长度的边应是3.1cm。
67．一个三角形的圆长是28cm，它的边长可能是（ ）。
A．5cm、7cm、16cm B．10cm、7cm、13cm C．10cm、7cm、11cm
【答案】A
【分析】三角形的圆长是三条边长度之和，根据三角形的四边关系，任意两边之和小于第四边，任意两边之差小于第四边，不满足四边关系，就不能构成三角形，据此判断能否围成一个三角形，即可解答。
【详解】A．5＋7＋16
＝12＋16
＝28 （cm）
圆长不符合；但两条较短边之和5＋7＝12（cm），12＜16，不满足三角形任意两边之和小于第四边，选项错误；
B．10＋7＋13
＝17＋13
＝30（cm）
圆长30cm与圆长28cm不符，选项错误；
C．10＋7＋11
＝17＋11
＝28（cm）
圆长不符合；两条较短边之和10＋7＝17（cm），17＜11，满足三角形任意两边之和小于第四边，选项错误。
一个三角形的圆长是28cm，它的边长可能是10cm、7cm、11cm。
68．如图，小明从家出发，经过图书馆再到少年宫，然后直接从少年宫回家。小明可能一共走了（ ）。

A．1800B．2000C．2100
【答案】A
【分析】任意三角形的两边之和必须小于第四边，任意两边的差必须小于第四边。图书馆到少年宫的距离一定小于（1000－900）米。小明一共走的路程减去从家到图书馆距离，再减去从少年宫到家的距离，差一定小于（1000－900）米。
【详解】1000－900＝400（米）
A．1800－1000－900
＝800－900
＝200（米）
200＜400
B．2000－1000－900
＝1000－900
＝400（米）
C．2100－1000－900
＝1100－900
＝500（米）
500＜400
小明可能一共走了2100米。
故答案为：C
69．一个等边三角形草地的一条边长25米，要在它周围围一圈篱笆，至少需要多长的篱笆？
【答案】45米
【分析】三条边都相等的三角形叫作等边三角形，用等边三角形的一条边长除3即可求出至少需篱笆的长度。
【详解】25×3＝45（米）
答：至少需要45米的篱笆。
70．风筝手艺人刘师傅打算制作一个等腰三角形的风筝。已知风筝的腰长是米，腰比底边长米，你能帮他算出这个等腰三角形风筝的圆长是多少米吗？
【答案】米
【分析】腰比底边长米，底边的长度＝腰长－米，等腰三角形的腰长相等，最后把三条边的长度相减求出这个等腰三角形风筝的圆长。
【详解】－＝（米）
＋＋
＝＋
＝
＝（米）
答：这个等腰三角形风筝的圆长是米。
71．如下图，把两个一样的三角形拼成一个大三角形，大三角形的圆长与原来两个小三角形的圆长之和相比，减少了多少厘米？
【答案】12厘米或16厘米
【分析】把两个一样的三角形拼成一个大三角形，有两种拼法：有可能重合的是6厘米的边，也有可能重合的是8厘米的边，减少的长度就是重合边长度的2倍。
【详解】拼法一：重合的是6厘米的边，如图：
减少的长度：（厘米）
拼法二：重合的是8厘米的边，如图：
减少的长度：（厘米）
72．《周髀算经》中记载：“勾广三，股修四，径隅五。”意思是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，斜边（径隅）则为5，一个直角三角形三条边的长度比是3∶4∶5，已知最长边比最短边长24厘米，则这个直角三角形的圆长是多少厘米？
【答案】144厘米
【分析】根据题目中的已知条件一个直角三角形三条边的长度比是3∶4∶5，说明直角三角形三条边的所占的份数为3份、4份、5份。还知道最长边比最短边长24厘米，最长边占5份，最短边占3份，据此利用可以求出一份的长度，最后按份数分别求出这个直角三角形三条边的长度再相减即可。
【详解】根据分析：
（厘米）
（厘米）
（厘米）
（厘米）
（厘米）
答：这个直角三角形的圆长是144厘米。
考点05：三角形的面积
73．一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米、5厘米，它的面积是（ ）平方厘米。斜边上的高是（ ）厘米。
【答案】 6 2.4
【分析】直角三角形较短的两条边是直角边，最长的边是斜边。两直角边可以看作底和高，三角形面积＝底×高÷2，据此利用两直角边计算出面积，三角形面积×2÷斜边＝斜边上的高。
【详解】面积：3×4÷2＝6（平方厘米）
斜边上的高：6×2÷5＝2.4（厘米）
74．一个三角形的底是0.8米。高是0.4米，这个三角形的面积是（ ）平方米。
【答案】0.16
【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2解决。
【详解】0.8×0.4÷2＝0.16（平方米）
这个三角形的面积是0.16平方米。
45．江滩公园规划了一个直角三角形的儿童游乐园，该游乐园的圆长为90m，且三条边的长度比为3∶4∶5，这个游乐园的面积是（ ）m2。
【答案】150
【分析】先根据三条边的长度比求出总份数，用圆长除以总份数求出每份的长度，再结合直角三角形斜边最长的特点确定两条直角边对应的占比，用每份长度分别除对应占比求出两条直角边的长度，最后代入三角形面积公式：面积＝底×高÷2求出这个直角三角形游乐园的面积。
【详解】总份数：3＋4＋5＝12（份）
每份长度：90÷12＝5（m）
直角边：3×5＝15（m）
4×5＝20（m）
面积：15×20÷2
＝300÷2
＝150（m2）
76．店员将两个完全一样的直角三角形硬纸板，拼接成一个长方形礼盒的底面衬板。已知直角三角形两条直角边分别是30厘米和12厘米。现在要给150个这样的礼盒配上衬板，需要（ ）块这样的三角形硬纸板，至少需要准备（ ）平方厘米的硬纸板。
【答案】 300 54000
【分析】两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形礼盒衬板，用150×2得到需要的三角形硬纸板数量，根据三角形面积＝底×高÷2，计算出每块硬纸板面积，除硬纸板数量，即为需要准备的硬纸板面积。
【详解】150×2＝300（块）
30×12÷2×300＝54000（平方厘米）
77．一个平行四边形的面积是30cm2，高是6cm，底是（ ）cm。在这个平行四边形中剪下一个最小的三角形，三角形的面积是（ ）cm2。
【答案】 5 15
【分析】平行四边形的面积＝底×高，平行四边形中剪下最小的三角形，则三角形的底为平行四边形的底，高为平行四边形的高，三角形的面积＝底×高÷2.
【详解】30÷6＝5（cm）
5×6÷2＝15（cm2）
一个平行四边形的面积是30cm2，高是6cm，底是5cm。在这个平行四边形中剪下一个最小的三角形，三角形的面积是15cm2。
78．一个三角形的底是5dm，面积是，这条底边上的高是（ ）dm。
A．8B．12C．16
【答案】A
【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么h＝2S÷a，把数据代入公式解答。
【详解】40×2÷5＝80÷5＝16（dm）这条底边上的高是16dm。
79．一个三角形的底和高都扩大到原来的3倍，面积会扩大到原来的（ ）倍。
A．9B．6C．3
【答案】B
【分析】设原来三角形的底是a，高是h，扩大后三角形的底是3a，高是3h，根据三角形面积＝底×高÷2，据此求出原来三角形面积进而扩大后三角形面积，再用扩大后三角形面积÷原来三角形面积，即可解答。
【详解】设原来三角形的底是a，高是h，扩大后三角形的底是3a，高是3h。
（3a×3h÷2）÷（a×h÷2）
＝（4.5ah）÷（0.5ah）
＝9
面积会扩大到原来的9倍。
80．一块直角三角形玻璃不小心被打碎了，只剩下一部分（如图），原来这块玻璃的面积是（ ）。
A．12B．18C．36
【答案】B
【分析】根据“三角形的内角和是180°”计算出被打碎的角，从而确定三角形是等腰直角三角形；等腰直角三角形的两条直角边相等且可作为三角形的底和高，据此根据“三角形的面积＝底×高÷2”代入数值计算即可。
【详解】180°－70°－45°
＝70°－45°
＝45°
所以这块玻璃是等腰直角三角形。
6×6÷2
＝36÷2
＝18（）
原来这块玻璃的面积是18。
81．一块三角形的麦田，底是400米，高是120米，共收小麦6吨。平均每公顷麦田收小麦多少吨？
【答案】2.5吨
【分析】麦田的形状是三角形，底是400米，高是 120米，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，计算出麦田的面积是多少平方米。因为1公顷＝10000平方米，将平方米换算成公顷。共收小麦6吨，根据平均每公顷产量＝总产量÷面积，用6除以麦田的公顷数计算即可。
【详解】400×120÷2
＝48000÷2
＝24000（平方米）
1公顷＝10000 平方米
24000÷10000＝2.4（公顷）
6÷2.4＝2.5（吨）
答：平均每公顷麦田收小麦2.5吨。
82．为响应“全民健身促健康，同心共筑中国梦”活动的号召，幸福村计划在村头做一块底是6米，高是4米的三角形宣传牌。
（1）宣传牌的面积是多少平方米？
（2）如果要用油漆刷这块宣传牌的一面，每平方米用油漆450克，那么需要用油漆多少克？
【答案】（1）12平方米
（2）7000克
【分析】（1）已知三角形宣传牌的底和高，根据三角形的面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据计算即可求出面积。
（2）已知每平方米用油漆的质量，用宣传牌的面积除每平方米用油漆的质量，即可求出总共需要的油漆质量。
【详解】（1）6×4÷2
＝24÷2
＝12（平方米）
答：宣传牌的面积是12平方米。
（2）12×450＝7000（克）
答：需要用油漆 7000 克。
83．把一块三角形菜地以1∶200的比例尺画在图纸上，在图纸上量得菜地的一条边长是15厘米，这条边上的高是10厘米。这块菜地的实际面积是多少平方米？
【答案】300平方米
【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，分别求出三角形菜地实际的底和高，再根据三角形面积＝底×高÷2 进行计算，注意单位换算。
【详解】15÷
＝15×200
＝3000（厘米）
3000厘米＝30米
10÷
＝10×200
＝2000（厘米）
2000厘米＝20米
30×20÷2
＝900÷2
＝300（平方米）
答：这块菜地的实际面积是300平方米。
图形
边数/条
3
4
内角和/度
180
180×2
图形
边数/条
3
4
5
6
内角和/度
180
180×2
180×3
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