2024年小升初数学典型例题系列-专题03：数的认识·因数和倍数专项训练--(原卷版+解析版)

这是一份2024年小升初数学典型例题系列-专题03：数的认识·因数和倍数专项训练--(原卷版+解析版)，文件包含2024年小升初数学典型例题系列-专题03数的认识·因数和倍数专项训练-原卷版docx、2024年小升初数学典型例题系列-专题03数的认识·因数和倍数专项训练-解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
一、填空题。
1．（因数与倍数的认识）40的因数有( )，这些因数中，是2的倍数的有( )个，是5的倍数的有( )个，奇数有( )个。
【答案】 1、2、4、5、8、10、20、40 6/六 4/四 2/二
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数．因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，这些因数中，是2的倍数的有2、4、8、10、20、40，共计6个，是5的倍数的有5、10、20、40，共计4个，奇数有1、5，共计2个。
【点睛】本题主要考查了因数、奇数的意义及能够被2、5整除数的特征，要灵活掌握。
2．（质数与分解质因数）63的因数中有( )个质数，把63分解质因数是( )。
【答案】 2 63＝3×3×7
【分析】先确定63的所以因数，再判断质数的个数，质数的含义：在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；
分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，用短除法分解质因数。
【详解】63的因数：1、3、7、9、21、63，其中质数有3、7，所以63的因数中有2个质数；
所以把63分解质因数是63＝3×3×7。
3．（求因数与倍数）27的因数有( )；一个非零整数的倍数个数有( )。
【答案】 1，3，9，27 无数个
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；
一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。
【详解】27的因数有1，3，9，27；
一个非零整数的倍数个数有无数个。
4．（因数与倍数的应用）小明用18个边长1厘米的小正方形拼成长方形，可以把18个放一排，拼成长方形的长( )厘米，宽( )厘米；还可以拼成长( )厘米，宽( )厘米；还可以拼成长( )厘米，宽( )厘米的长方形，小明发现这些数都是18的( )。
【答案】 18 1 9 2 6 3 因数
【分析】长方形的面积＝长×宽，而18＝1×18＝2×9＝3×6，据此以每组数为长和宽即可拼成长方形，在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；据此解答。
【详解】由分析可得：小明用18个边长1厘米的小正方形拼成长方形，可以把18个放一排，拼成长方形的长18厘米，宽1厘米；还可以拼成长9厘米，宽2厘米；还可以拼成长6厘米，宽3厘米的长方形，小明发现这些数都是18的因数。
5．（倍数的特征）从4张数字卡片1、0、6、5中选出两张组成一个两位数，分别满足下面的条件：
(1)3的倍数有( )（尽量填全哦）。
(2)同时是2、3和5的倍数( )。
(3)60和50的公因数( )。
【答案】(1)15、51、60
(2)60
(3)10
【分析】
（1）3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（2）2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
（3）公因数是一个能被若干个整数同时均整除的整数。
【详解】（1）3的倍数有15、51、60。
（2）同时是2、3和5的倍数60。
（3）60和50的公因数10。
6．（倍数的特征、质数与合数）根据要求填一填。
（1）在括号内填上合适的面积单位。
（2）以上□中的数字是质数的有( )，既不是质数也不是合数的是( )，3的倍数有( )，同时是2、3、5的倍数的是( )。
【答案】（1）公顷；（2）19、71；1；201、111、1329、630、39；630
【分析】
（1）一个体育场的面积用公顷做单位，1公顷是边长为100米的正方形的大小。
（2）质数是因数只有1和它本身两个数，在以上□中19和71的因数除了1和它本身，没有其他的因数；1既不是质数也不是合数；3的倍数的特点是各个数位的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；同时2、3、5倍数的特点首先末尾是0，再将各位数位上加起来和能被3整除就是同时2、3、5的倍数。
【详解】（1）杭州奥体中心体育场，又名“大莲花”，总建筑面积21.6公顷，占地面积430亩。
（2）19的因数：1、19；
71的因数：1、71
201÷3＝67；111÷3＝37；1329÷3＝443；630÷3＝210；39÷3＝13
630÷2＝315；630÷5＝126
则以上□中的数字是质数的有19、71，既不是质数也不是合数的是1，3的倍数有201、111、1329、630、39，同时是2、3、5的倍数的是630。
7．（倍数的特征）淘气家的门牌号既是3的倍数又是5的倍数，而且是与703相邻的奇数，淘气家的门牌号是( )。
【答案】705
【分析】个位是1、3、5、7、9的数都是奇数，与703邻的奇数有两个，分别是701和705，即是3的倍数又是5的倍数，数的末尾是0或5，并且各数位数字相加之和是3的倍数。根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；要想同时是3、5的倍数，先根据能被5整除的数的特征，能判断出个位数是0或者5，进而根据能被3整除的数的特征，各位上的数的和是3的倍数；据此解答即可。
【详解】7＋0＋1
＝7＋1
＝8
8不是3和5的倍数；
7＋0＋5
＝7＋5
＝12
12÷3＝4
10÷5＝2
12既是3的倍数又是5的倍数，符合题意。
淘气家的门牌号是705。
8．（倍数的特征）要使三位数40同时是2，3，5的倍数，“”可以填的数字有( )个。
【答案】3
【分析】同时是2、3、5的倍数的数的特征：个位上是0；各数位上的数字的和是3的倍数。据此解答。
【详解】40的个位上是0；百位和个位的数字之和是4＋0＝4，而4＋2＝6，4＋5＝9，4＋8＝12，6、9、12是3的倍数，则“”可以填的数字有2、5、8，一共有3个。
9．（奇数与偶数）一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，到这串数的第1000个数为止，共有( )个偶数。
【答案】333
【分析】首先分析这串数的组成规律和奇、偶情况。1＋1＝2，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，……，这串数的规律是：从第三项起，每一个数等于前两个数的和。这串数的奇偶性是：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……容易看出，这串数是按“奇，奇，偶”每三个数为一组周期变化的；用1000÷3，取整数部分即可求出这串数中偶数的个数。
【详解】由分析可得：
1000÷3＝333……1，
这串数的前1000个数有333组又1个数，每组的三个数中有1个偶数，并且是第3个数，所以这串数到第1000个数时，共有333个偶数。
10．（奇数与偶数的运算性质）两个质数的和是31，这两个质数的乘积是( )。
【答案】58
【分析】因为奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。而题中已知这两个质数的和是31，31是奇数，所以这两个质数中一定有一个质数是偶数，偶数中只有2是质数，由此即可求出另外一个质数，进而求得它们的乘积。
【详解】31＝2＋29
2×29＝58
即这两个质数的乘积是58。
【点睛】此题根据和的奇偶性先确定其中一个质数是解题的关键。
11．（最大公因数与最小公倍数）m÷10＝n（m和n为非0自然数，n＞10），那么m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 n m
【分析】如果两个数是倍数关系，最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；如果两个数是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积。
【详解】因m÷10＝n
所以m÷n＝10，由此可以断定m是n的倍数，n是m的因数。
因为m、n是不为0的自然数，
所以m和n的最大公因数是（n），最小公倍数是（m）。
【点睛】此题主要考查最大公因数和最小公倍数的理解与求取方法。
12．（最大公因数与最小公倍数）已知A＋1＝B（A、B都是非零的自然数），那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 1 AB
【分析】
已知A＋1＝B，即A、B是两个相邻的非零自然数，它们是互质数；根据两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；据此解答。
【详解】已知A＋1＝B（A、B都是非零的自然数），那么A和B的最大公因数是1，最小公倍数是AB。
二、选择题。
13．（因数与倍数）a、b是两个不为0的自然数，若a＝10b，则a是b的( )。
A．因数B．倍数C．合数
【答案】B
【分析】
a＝10b，所以a÷b＝10，那么a和b是倍数关系，a是b的倍数，b是a的因数；据此解答。
【详解】若a＝10b，则a÷b＝10，a是b的倍数。
故答案为：B
14．（因数和倍数综合）小数学迷设计了一个游戏过关密码，它由ABCDEF六个非0自然数组成：A是最小的合数，B是最小的质数，C是最小的奇数，D是8的最大因数，E是5的最小倍数，F是9和12的最大公因数，这个密码是( )。
A．421853B．234059C．431456D．431453
【答案】A
【分析】
除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
【详解】最小的合数是4，A是4，最小的质数是2，B是2，最小的奇数是1，C是1，8的最大因数是8，D是8，5的最小倍数是5，E是5，9＝3×3，12＝2×2×3，9和12的最大公因数是3，F是3，这个密码是421853。
故答案为：A
15．（倍数的特征）下面是四个用字母表示的五位数，其中a、b各代表一个数字，且，。那么一定既是3的倍数又是5的倍数的是( )。
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数；若这个数是5的倍数，则这个五位数的个位数字一定是a，且5位数相加的和是3的倍数，即3b。据此解答即可。
【详解】A．的个位数字是b，不符合题意；
B．的个位数字是b，不符合题意；
C．的个位数字是a，且有3个b，符合题意；
D．的个位数字是a，但只有2个b，不符合题意。
故答案为：C
16．（因数和倍数综合）奇思的日记本有密码锁，密码是一个五位数。第一个数字是最小的质数，第二个数字既是偶数又是3的倍数，第三个数字是7，第四个数字是最小的合数，第五个数字是质数中最大的一位数，这个密码是( )。
A．16729B．26747C．16749D．26729
【答案】B
【分析】第一个数字是最小的质数，最小的质数是2，所以第一个数是2，第二个数字既是偶数又是3的倍数，因为一个位上只有一个数字，所以第二个数是6，第三个数字是7，第四个数字是最小的合数，最小的合数是4，所以第四个数是4，第五个数字是质数中最大的一位数，一位数中最大的质数是7，所以这个数是26747。
【详解】密码是一个五位数。第一个数字是最小的质数2，第二个数字既是偶数又是3的倍数6，第三个数字是7，第四个数字是最小的合数4，第五个数字是质数中最大的一位数7，这个密码是26747。
故答案为：B
17．（奇数与偶数）明明和奇思下棋，通过掷骰子决定谁先走（骰子的6个面分别标有1～6）。公平的游戏规则是( )。
A．大于3，明明先走；小于3，奇思先走
B．奇数，明明先走；偶数，奇思先走
C．是3的倍数，明明先走；不是3的倍数，奇思先走
D．质数，明明先走；合数，奇思先走
【答案】B
【分析】游戏规则的公平性就是指对游戏的双方来说，机会是均等的，也就是双方获胜的可能性的大小相等。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】A．大于3的有：4、5、6；共3个；
小于3的有：1、2；共2个；
3＞2，明明先走的可能性大，所以游戏规则不公平；
B．奇数有：1、3、5；共3个；
偶数有：2、4、6；共3个；
3＝3，明明、奇思先走的可能性一样大，所以游戏规则公平；
C．3的倍数有：3、6；共2个；
不是3的倍数有：1、2、4、5；共4个；
2＜4，奇思先走的可能性大，所以游戏规则不公平；
D．质数有：2、3、5；共3个；
合数有：4、6；共2个；
3＞2，明明先走的可能性大，所以游戏规则不公平。
故答案为：B
18．（奇数与偶数的运算性质）在非0自然数中，〇表示一个奇数，□表示一个偶数，下列算式( )的结果一定是合数。
A．〇＋□B．〇－□C．〇×□D．□×□
【答案】D
【分析】不能被2整除的数为奇数，因此任何奇数都可表示为2n＋1的形式；能被2整除的数为偶数，因此任何偶数都可表示为2n的形式，则可以设偶数为□＝2k，奇数为〇＝2k＋1（k为整数），将它们相加、相减、相乘、相除可得出结果。
【详解】偶数为□＝2k，奇数为○＝2k＋1（k为整数），
〇＋□＝2k＋2k＋1＝4k＋1，4k是偶数，4k＋1一定是奇数，不一定是合数；
〇－□＝2k＋1－2k＝1，1是既不是质数，也不是合数；
〇×□＝2k×（2k＋1）＝2[k（2k＋1）]，是偶数，不一定是合数；
□×□＝2k×2k＝4k2，4是合数，所以4k2一定是合数；
故答案为：D
【点睛】本题考查了奇数和偶数、质数与合数，掌握相关概念是解题的关键。
19．（分解质因数）把30分解质因数是( )。
A．30＝5×6B．30＝1×2×3×5C．30＝2×3×5D．2×3×5＝30
【答案】C
【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
【详解】A．30＝5×6，6可以继续分解成2×3，所以分解质因数错误；
B．30＝1×2×3×5，其中1既不是质数，也不是合数，所以分解质因数错误；
C．30＝2×3×5，分解质因数正确；
D．2×3×5＝30，此题是求几个数的积的运算，不是合数分解质因数，所以错误。
故答案为：C
20．（最大公因数与最小公倍数）用若干个长5厘米、宽3厘米的长方形拼成一个正方形，这个正方形的边长至少是( )厘米，面积是( )平方厘米。
A．8，64B．15，225C．30，900
【答案】B
【分析】根据题意，拼成的正方形的边长至少是5和3的最小公倍数。再根据“正方形面积＝边长×边长”求出它的面积即可。
【详解】5×3＝15（厘米）
15×15＝225（平方厘米）
所以，这个正方形的边长至少是15厘米，面积是225平方厘米。
故答案为：B
【点睛】本题考查了最小公倍数和正方形的面积，掌握最小公倍数的求法、正方形的面积公式是解题的关键。
三、解答题。
21．（因数与倍数）光明小学三年级组织了一次交通安全知识检测，一班共50人全部参加，其中90分以上的超过了40人，已知一班超过90分以上的人数同时是2、3、4的倍数，请问一班90分以上的同学有多少人？
【答案】48人
【分析】同时是2、3、4的倍数有：12、24、36、48、60…，再根据一班共50人全部参加，其中90分以上的超过了40人可知这个数要大于40且小于等于50。据此解答即可。
【详解】同时是2、3、4的倍数有：12、24、36、48、60…
因为班级一共50人，且90分以上的超过了40人，说明这个数要大于40且小于等于50，即这个数是48。
答：一班90分以上的同学有48人。
22．（探究）“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。”请你试举几例证明这一猜想，并把例子写在下面。
【答案】4＝2＋2；8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一）
【分析】能被2整除的数是偶数，大于2的偶数有4，6，8，10……；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，比如2，3，5，7，11，13，17，19……。据此举例解答。
【详解】4＝2＋2；8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一）
通过示例能够证明“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”这一猜想。
23．（最大公因数与最小公倍数）王老师每3天去一次图书馆，张老师每4天去一次图书馆。12月3日，他们在图书馆相遇，12月份他们还会在哪几日相遇？
【答案】12月15日和12月27日
【分析】
两数互质，最小公倍数是两数的积。求出两人间隔时间的最小公倍数是两人同时去图书馆的间隔时间，12月份有31天，根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出12月份同时去图书馆的日期即可。
【详解】3×4＝12（天）
3＋12＝15（日）
15＋12＝27（日）
答：12月份他们还会在12月15日和12月27日相遇。
24．（最大公因数与最小公倍数）五年级一班的学生进行队列表演，每行16人或12人都正好是整行。已知这个班的学生人数不超过50人，你能算出这个班有多少人参加队列表演吗？
【答案】48人
【分析】求这个班有多少人参加队列表演，就是求16和12的公倍数，且小于50；根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数的连乘积，就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
【详解】16＝2×2×2×2
12＝2×2×3
16和12的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48，这个班有48人参加队列表演。
答：这个班有48人参加队列表演
25．（最大公因数与最小公倍数）为了丰富学生的课余生活，学校开展了“第二课堂活动”，手工班采购了彩笔157盒，剪纸123张，剪刀165把。平均分给各小组后，彩笔剩下7盒，剪纸剩下3张，剪刀剩下5把，那么手工班一共最多有多少个小组？
【答案】10个
【分析】彩笔盒数－剩下的盒数＝分下去的盒数，剪纸张数－剩下的张数＝分下去的张数，剪刀把数－剩下的把数＝分下去的把数，求出分下去的彩笔、剪纸和剪刀数量的最大公因数就是最多有多少个小组，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
【详解】157－7＝150（盒）
123－3＝120（张）
165－5＝160（把）
150＝2×3×5×5
120＝2×2×2×3×5
160＝2×2×2×2×2×5
2×5＝10（个）
150、120、160的最大公因数是10。
答：手工班一共最多有10个小组。
26．（最大公因数与最小公倍数）如图，把一个长48厘米，宽42厘米的长方形纸截成同样大小的正方形纸块，且没有剩余，能截成的正方形纸块的边长最大是多少厘米？最少能截出多少块正方形？
【答案】6厘米；56块
【分析】把一张长方形纸截成同样大小的正方形纸块，且没有剩余，说明正方形的边长是长、宽的公因数，求正方形最大的边长，就是求长、宽的最大公因数；用分解质因数的方法求出长、宽的最大公因数，再分别求出长、宽各可以截几个，最后相乘就是至少截出正方形的块数。
【详解】48＝2×2×2×2×3
42＝2×3×7
48和42的最大公因数是：2×3＝6
即正方形的边长最大是6厘米。
（48÷6）×（42÷6）
＝8×7
＝56（块）
答：能截成的正方形纸块的边长最大是6厘米，最少能截出56块正方形。杭州奥体中心体育场，又名“大莲花”，总建筑面积21.6( )，占地面积430亩。10月8日，第19届亚运会闭幕式在“大莲花”举行，中国队获得了201枚金牌、111枚银牌和71枚铜牌，位居奖牌总数第1名。本次亚运会中国代表团成员共1329名，其中运动员886名，630人为首次参加亚运会。福建队可牛了，在只有39人参赛的情况下拿到了25金。