2026届高三数学二轮复习专题突破课件：专题四解析几何 微专题13　圆锥曲线的标准方程与性质

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【考情提示】1.圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容,多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题.2.直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容,涉及弦长、面积以及弦中点等问题.
【提醒】两条渐近线的倾斜角互补,斜率互为相反数,且两条渐近线关于x轴、y轴对称.
(3)设OA,OB是抛物线y2=2px(p>0)上的两条弦(O是原点).①若OA,OB互相垂直,则直线AB过定点(2p,0).②若直线AB过定点(2p,0),则OA,OB互相垂直.
5.圆锥曲线中弦长问题的三种求解方法已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0).(1)两点间距离公式:当弦的两端点坐标易求时,可求出两端点坐标,再用两点间距离公式直接求解.
【微提醒】利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形.
(2)(2025·白银模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点M(x0,2)到y轴的距离为1,动点P在C上,动点Q在圆N:(x−2)2+(y−1)2=1上,当|PQ|+|PF|取最小值时,△PFN的面积为_____. 
【解析】由题可知x0=1,所以点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则4=2p,解得p=2,所以抛物线C:y2=4x,F(1,0),准线方程为x=−1,由题知圆N的圆心为N(2,1),半径为1.过点P作准线x=−1的垂线,垂足为A,则|PA|=|PF|,又|PQ|≥|PN|−1,
【方法提炼】1.在“焦点三角形”中,可以将圆锥曲线的定义和三角形中边角关系结合起来,如通过正余弦定理、勾股定理,建立与|PF1|,|PF2|的联系.2.解决与抛物线有关的最值问题的方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”,使问题得以解决.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
易知椭圆上一点P到圆A上任意一点Q的最小距离为|PQ|=|PA|−r=|PA|−1,因此可将|PQ|+|PF|的最小值转化为求|PA|+|PF|−1的最小值,由椭圆定义可得|PA|+|PF|−1=|PA|+2a−|PF'|−1=|PA|−|PF'|+7≥−|AF'|+7=6;当点P在(−4,0)处时,使得|PQ|+|PF|的最小值为6.
【方法提炼】1.处理中点弦问题的常用方法:(1)根与系数的关系;(2)点差法;(3)常用结论.
(2)若直线l与C交于M,N两点,且点Q(2,2)为线段MN的中点.①求直线l的方程;②若O为坐标原点,求△OMN的面积.