第三章 第2节 导数几何意义的应用-2027年高考数学一轮总复习课件（含解析版试题）

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1.会利用导数的几何意义求切点坐标或参数. 2.理解公切线的意义，会解决曲线的公切线问题.
考点聚焦突破
例1 (1)(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝　　　　. 
(2)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　. 
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.
角度1　共切点的公切线问题
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.
训练2 (1)若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝x3＋nx－52与曲线y＝x2－3ln x的公切线，则m－n等于(　　)A.－30B.－25C.26D.28
(2)已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为　　　　. 
2.曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　)A.－2B.－1C.1D.2
因为曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，所以曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线的斜率为2，因为f'(x)＝ex＋a，所以f'(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1.
4.已知直线y＝x是曲线f(x)＝ln x＋a的切线，则a＝(　　)A.－1B.1C.－2D.2
由函数y＝ex－2＋1，可得y'＝ex－2，设切点坐标为(t，et－2＋1)，可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)，把原点(0，0)代入方程，可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，即(t－1)et－2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.
由于y'＝(n＋1)xn，所以kn＝n＋1，切线方程为y＝(n＋1)x－n，
对于A，若P与原点重合，则a＝b＝0，所以t＝0，k＝0，l即x轴，方程为y＝0，故A正确;对于B，若l与直线x－6y＝0垂直，则k＝－6t2＝－6，t＝±1，当t＝1时，4－6a－b＝0，6a＋b＝4，当t＝－1时，－4－6a－b＝0，6a＋b＝－4，故B错误;对于C，当点P在f(x)的图象上时b＝－2a3，4t3－6at2＋2a3＝0，所以(t－a)2(2t＋a)＝0，
10.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)，则点A的坐标是　　　　. 
11.已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m＝　　　　. 
13.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值;
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
14.已知f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，求直线l的方程.