2027年高考数学一轮复习核心考点 第十章 第53课时 离散型随机变量及其分布列、数字特征课件（含试题及答案）

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1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．2．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．3．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2．
考点一　分布列的性质[典例1]　(1)若离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则a的值为(　　)
(2)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
则下列计算结果正确的是(　　)A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
通性通法：离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”求相关参数．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可根据性质判断所得分布列结果是否正确．
[多维变迁]1．(2025·杭州期末)已知随机变量η，ξ满足η＝3ξ＋1，且P(ξ≥2)＝0.9，则P(η＜7)＝(　　)A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2
C　[根据题意，P(ξ≥2)＝0.9，则P(ξ＜2)＝1－0.9＝0.1，又由η＝3ξ＋1，则P(η＜7)＝P(ξ＜2)＝0.1．故选C．]
考点二　离散型随机变量的分布列及数字特征[典例2]　国庆节某商场为了迎接促销，决定在商场内举办抽奖活动，盒子内有编号为1～5的大小相同、质地均匀的5个小球．小球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖(安慰奖)．规则如下：顾客可以连续抽奖2次，每次抽奖完成后将小球放回盒子，且每次抽奖的结果互不影响．(1)若某顾客第1次未抽到一等奖，求该顾客在第2次抽到一等奖的概率；(2)记某顾客第k次抽到的奖品等级为Xk(k＝1，2)，若用Y＝|X1－X2|表示“两次抽到奖品的等级差”，求Y的分布列与数学期望．
思维建模　“提、定、求、列、套”五步模型法求解分布列与数字特征问题第1步　提：从题干中提取关键信息，分析离散型随机变量的含义，并判断概率类型(如相互独立事件的概率分布、二项分布、超几何分布等)．第2步　定：确定离散型随机变量X的所有可能取值x1，x2，…，xn(需结合题意写全，不要遗漏)．
第4步　列：根据各个取值与对应的概率写出分布列，注意检验概率和是否为1．第5步　套：套用期望公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn计算，若为二项分布，可直接套用E(X)＝np简化计算．
[多维变迁]1．(多选)已知随机变量X的分布列为
2．(2025·武威市期末)一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X．(1)求X的分布列；(2)求X的均值和方差．
易错提醒：随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
[多维变迁](2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
[解]　(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为
E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．因为57.6＞54.4，即E(Y)＞E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
课时作业(五十三)　离散型随机变量及其分布列、数字特征
一、单项选择题 1．在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是(　　)A．8 B．10C．12 D．14
C　[选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12．]
2．(2025·南京期末)若随机变量ξ的分布列如下表：
则P(|ξ|＜2)的值为(　　)A．0.3 B．0.4C．0.55 D．0.85
B　[由离散型随机变量ξ的分布列的性质，得0.2＋0.1＋2m＋0.25＋m＝1，∴3m＝0.45，解得m＝0.15，∴P(|ξ|＜2)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝0.1＋2m＝0.1＋2×0.15＝0.4．故选B．]
3．(2026·大庆模拟)随机变量X的分布列如表，则方差D(X)＝(　　)
4．(2025·惠州期末)已知离散型随机变量X的分布列如表：
二、多项选择题5．(2025·西安市长安区校级月考)下列随机变量中属于离散型随机变量的是(　　)A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数XB．测量一个年级所有学生的体重，在60 kg～70 kg范围内的体重记为XC．测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm范围内的人数记为XD．某电子元件的寿命X
AC　[半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，选项A正确；体重无法一一列举，选项B错误；人数可以列举，选项C正确；某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，选项D错误．故选AC．]
6．(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)A．q＝0.1B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
ACD　[由离散型随机变量X的分布列的性质得：q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2．故选ACD．]
三、填空题7．(人教A版选择性必修第三册P71习题7.3T2)现要发行10 000 张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1 000元的彩票5张．1张彩票中奖金额的均值是________元．
所以E(X)＝0×0.854 5＋2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1 000×0.000 5＝2，即1张彩票中奖金额的均值是2元．]
8．(2026·上海模拟)某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为________．
[解]　若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150．则X1的分布列为