初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）26.4 实际问题与二次函数第1课时教案及反思

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）26.4 实际问题与二次函数第1课时教案及反思，共3页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
教师备课 素材示例
●情景导入 如图，用10.8 m长的木料，做一个有一条横档的矩形窗框，为了使窗户透进的光线最多，窗框的竖边、横边长应各是多少？
【教学与建议】教学：通过对周长一定的矩形面积最大值的实际问题的导入，引入学生研究二次函数与图形面积问题的一般方法．建议：可以针对以上问题让学生填空：设横边长为x m，面积为S m2.根据题意并结合图形可得S＝__x(5.4－ eq \f(3,2)x)__＝__－ eq \f(3,2)x2＋5.4x__．∵－ eq \f(3,2)__＜__0，∴S有最__大__值，当x＝__－ eq \f(5.4,2×(－\f(3,2)))＝1.8__时，S最__大__值，此时5.4－ eq \f(3,2)x＝__2.7__，即当窗框的竖边长为__2.7_m__，横边长为__1.8_m__时，窗户透进的光线最多．
●悬念激趣 (1)(做一做)请你画一个周长为18 cm的矩形，算一算它的面积是多少．再和周围同学所画的矩形比一比，你发现了什么？谁画的矩形的面积最大？
(2)(练一练)已知一个矩形的周长为18 m，它的一边长为x m，那么矩形面积S(m2)与x(m)之间有怎样的关系？自变量的取值范围是什么？
(3)(试一试)若想设计一个周长为18 m的矩形广告牌，假如你是设计师，你知道怎么设计才能使广告牌的面积最大吗？
【教学与建议】教学：逐渐增加问题难度，能有效地提高学生的数学建模能力．建议：教师要讲解时关注学生能否将实际问题转化为数学问题．
命题角度1 利用二次函数的性质解决运动中的最大高度问题
运动中的最大高度往往是抛物线顶点的坐标，而落地时，函数值一般为0(根据实际情况分析)．
【例1】如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的高度h(单位：m)与运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝24t－6t2.解答以下问题：
(1)小球从被击出到落地要用多少时间？
(2)小球运动过程中的最大高度是多少？此时运动了多少时间？
解：(1)当h＝0时，24t－6t2＝0，
解得t＝4或t＝0.
4－0＝4(s).
答：小球从被击出到落地要用4 s．

(2)h＝24t－6t2＝－6(t－2)2＋24，
∵－60，∴y随x的增大而增大，∴当x＝0时，y最小值＝860.∴最低总运费是860元．
引入：正如一次函数能解决实际问题一样，二次函数的实际应用也十分广泛，让我们一起去看看二次函数的实际应用吧．
◆活动2 探究新知
1．教材P51 例1.
提出问题：
(1)请将二次函数h＝－4.9t2＋2.8t＋11化成顶点式，并指出其对称轴和顶点坐标；
(2)请解释该顶点横、纵坐标的含义？
学生完成并交流展示．
2．教材P51 例2.
提出问题：
(1)矩形的面积公式是什么？
(2)如何用x表示另一边？面积S关于x的函数解析式是什么？
(3)由函数解析式S＝－2x2＋20x(0＜x＜10)可知抛物线的开口方向如何？所以面积S在何时取得最大值？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最__低__(__高__)点，也就是说，当x＝__－ eq \f(b,2a)____时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值__ eq \f( 4ac－b2,4a)____.
◆活动4 例题与练习
例1 某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 000元，设矩形的一边长为x m，面积为S m2.
(1)写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．
解：(1)∵矩形的一边长为x m，周长为12 m，
∴另一边长为(6－x)m，
∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x，其中0＜x＜6.
(2)∵S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
∴当x＝3，即矩形的一边长为3 m时，矩形面积最大，为9 m2，这时设计费最多，为9×1 000＝9 000(元).
例2 如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为x m，面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数解析式．
(2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值．
解：(1)y＝x(30－3x)＝－3x2＋30x( eq \f(20,3)≤x＜10).
(2)y有最大值．∵－ eq \f(b,2a)＝－ eq \f(30,－6)＝5，
∴当 eq \f(20,3)≤x＜10时，y随x的增大而减小，
∴当x＝ eq \f(20,3)时，y最大＝ eq \f(200,3).
练习
1．教材P52 练习第1，2题．
2．用长12 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( C )
A．9 m2 B．2 m2 C．6 m2 D．8 m2
◆活动5 课堂小结
利用二次函数解决最大高度和最大面积问题．
1．作业布置
(1)教材P55 习题26.4第3，4题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思