2027届高三数学一轮复习试题规范练19利用导数研究函数的单调性（Word版附解析）

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(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2025·山东潍坊模拟)下列函数中,在区间(1,+∞)上单调递增的是( )
A.f(x)=sin 2xB.f(x)=xex
C.f(x)=x-x3D.f(x)=-x+ln x
2.(2025·云南曲靖模拟)已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图所示,则下列选项正确的是( )
(第2题图)
A.g'(-1)ln 2D.f(ln 3)c>aB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b
11.(多选题)(2025·天壹名校联盟联考)已知函数f(x)的定义域为R,其导数f'(x)满足f'(x)-2f(x)>0,则下列选项正确的有( )
A.f(2)>e2f(1)B.f(-1)>e-4f(1)
C.4f(1)>e2f(ln 2)D.e4f(0)>f(2)
12.(2024·河北石家庄模拟)函数f(x)=sin2x+x2的单调递增区间是 .
13.(15分)(2025·北京,20)已知函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f(0)=0,f'(x)=ln(1+x)1+x,直线l1是曲线y=f(x)在点A(a,f(a))处的切线.
(1)求导函数f'(x)的最大值;
(2)当a∈(-1,0)时,求证:除点A以外,y=f(x)在l1的上方;
(3)当a∈(0,+∞)时,过点A作与l1垂直的直线l2,l1,l2分别与x轴交于点x1,x2,求2a-x2-x1x2-x1的取值范围.
参考答案
课时规范练19 利用导数研究函数的单调性
1.B 解析 对于A,f'(x)=2cs 2x,2x∈(2,+∞),所以f'(x)=2cs 2x≥0不恒成立,故A错误;对于B,f'(x)=(x+1)·ex≥0在区间(1,+∞)上恒成立,函数单调递增,故B正确;对于C,f'(x)=1-3x20,f'(-1)>0.在区间[-1,3]上,g(x)的图象比f(x)的图象更陡峭,所以00,x>0或f'(x)0,则g(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
又g(1)=e11-b=e-b0时,需x2-3x+a≥0,g(x)0,且有b=ex1x1=ex2x2,则ln a+2ln b=ln(ab2)=ln(x1x2·ex1x1·ex2x2)=ln ex1+x2=x1+x2=3.
故选C.
6.AB 解析 设g(x)=ex·f(x),对于A,g(x)=ex·2-x=(e2)x在定义域R上是增函数,故A正确;对于B,g(x)=(x2+2)ex,g'(x)=(x2+2x+2)ex=[(x+1)2+1]ex>0,所以g(x)在定义域R上是增函数,故B正确;对于C,g(x)=ex·3-x=(e3)x在定义域R上是减函数,故C错误;对于D,g(x)=ex·cs x,则g'(x)=2excs(x+π4),所以g'(x)>0在定义域R上不恒成立,故D错误.故选AB.
7.AC 解析 因为当x>0时,f'(x)+1x2>0,令g(x)=f(x)-1x,可得g'(x)=f'(x)+1x2>0,所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=1,可得g(1)=f(1)-1=0,对于A,g(13)lg3e,故D错误.故选AC.
8.b0,因此f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.又因为2>ln 2>lne=12,所以f(12)0,故函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
(方法1)构造函数h(x)=ln(x+1)lnx(x>1),h'(x)=lnxx+1-ln(x+1)x(lnx)2.
因为x>1,所以00,所以g(x)在R上单调递增,所以g(2)>g(1),所以e-4f(2)>e-2f(1),即f(2)>e2f(1),故A正确;根据单调性有g(1)>g(-1),所以e-2f(1)>e2f(-1),即f(-1)ln 2,所以g(1)>g(ln 2),则有e-2f(1)>e-2ln 2f(ln 2),即4f(1)>e2f(ln 2),故C正确;根据单调性有g(2)>g(0),e-4f(2)>e0f(0),即e4f(0)0,故函数在区间(0,+∞)上单调递增.
13.(1)解 令g(x)=f'(x)=ln(1+x)1+x,x∈(-1,+∞),则g'(x)=1+x1+x-ln(1+x)(1+x)2=1-ln(1+x)(1+x)2.
∵若g'(x)>0,则-10对x∈(-1,a)∪(a,+∞)恒成立.
令h(x)=f(x)-f'(a)x+f'(a)a-f(a),则h'(x)=f'(x)-f'(a).显然f'(a)0,当x∈[e-1,+∞)时,h'(x)>0显然成立.
即当x∈(a,+∞)时,h'(x)>0.
∴当x∈(-1,a)时,h(x)单调递减,h(x)>h(a)=0.
当x∈(a,+∞)时,h(x)单调递增,h(x)>h(a)=0.
综上,原命题得证.
(3)解 令y=f'(a)(x-a)+f(a)=0,
又f'(a)≠0,∴x1=-f(a)f'(a)+a,同理x2=-f(a)-1f'(a)+a=f'(a)f(a)+a.
∴2a-x2-x1x2-x1=f(a)f'(a)-f'(a)f(a)f'(a)f(a)+f(a)f'(a)=f(a)-[f'(a)]2f(a)[f'(a)]2f(a)+f(a)=1-[f'(a)]2[f'(a)]2+1,
下面求t=f'(a)的取值范围.
由(1)知,当a>0时,t=f'(a)∈(0,1e],即t2∈(0,1e2],
∴2a-x2-x1x2-x1=-1+2t2+1∈[21e2+1-1,1),即2a-x2-x1x2-x1∈[e2-1e2+1,1).