2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：利用导数研究函数的单调性（一）（含解析）

《利用导数研究函数的单调性》（一）

考查内容：主要涉及用导数判断或证明函数的单调性（不含参数、含参数），求函数的单调区间

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

2．函数的单调减区间为（    ）.

A． B． C． D．

3．函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

4．函数，的单调增区间是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

5．已知函数，则函数的单调递增区间是（   ）

A．和 B．和

C．和 D．

6．若函数的导函数，则函数的单调递减区间（    ）

A． B． C． D．

7．函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，则（     ）

A．当时，在单调递减 

B．当时，在单调递减

C．当时，在单调递增 

D．当时，在单调递增

9．函数在上的增区间为（    ）

A．和 B．和

C．和 D．

10．设函数，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

12．已知函数，，则下列不等式中正确的是（   ）

A． B． C． D．

二．填空题

13．已知函数，，则的单调递增区间为______.

14．函数的单调减区间为_______ ．

15．函数在上的递增区间是________.

16．已知函数，则的单调递减区间为______.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．己知函数，求：

（1）函数的图象在点处的切线方程；

（2）的单调递减区间.

18．已知函数.

(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；

(2)讨论函数的单调性.

19．已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.

20．设函数，.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

21．设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

22．已知，．

1讨论的单调性；

2当时，恒成立，求实数a的取值范围．

《利用导数研究函数的单调性》（一）解析

1.【解析】易得,当时解得.故函数的单调递增区间是.故选：D

2.【解析】因为，所以函数的定义域为，

所，令，解得

故函数的单调递减区间为，故选：B

3.【解析】函数的定义域是，，

令，解得：，故函数在递减，故选：C．

4.【解析】∵，∴，

令且，

当时，，解得，

当时，，解得或，

所以函数的单调增区间是和.故选：A.

5.【解析】函数f(x)＝x2－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，

令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，

故函数f(x)的单调递增区间是，(2，＋∞)．故选C

6.【解析】令，解得，故的单调递减区间为.又为往左平移1 个单位，故的单调递减区间为.故选：D

7.【解析】函数，

，

由，，可得，解得，

所以函数的单调递增区间为.故选：D

8.【解析】，

当，

令，则，

所以在递减，递增，的最小值是，

所以则 在单调递增，选D

9.【解析】由题,因为,所以为偶函数,当时,,

则,令得,所以,

由为偶函数可得当时,单调递减,

则在上单调递增,故选:A

10.【解析】，故为偶函数，当时，，

故在上为增函数.

综上为偶函数，且在上为增函数.

故可得.

即，解得或，故选：B

11.【解析】令，．

则，在上为奇函数．

，函数在上单调递增．

，化为：，

即，化为：，

，即，解得．

实数的取值范围是．故选．

12.【解析】

，函数是奇函数，

设在单调递增，

设恒成立，在上是增函数，

所以函数在上单调递增，是奇函数

在上单调递增，在处连续，

因此在上单调递增，，

，，即.故选：D.

13.【解析】，，

所以，

令，即，所以，

故的单调递增区间为，故答案为：

14.【解析】∵，，则，
由，即，解得 ，
，即函数的单调减区间为，故答案为：.

15.【解析】因为函数，所以，

令，得或，

当时，，

所以函数在上的递增区间是.

16.【解析】由题意，，，

所以，故，，

所以，解得，故，

，即，解得，，

故的单调递减区间为.

17.【解析】（1）由题意得：，

，又，

在处的切线方程为，即.

（2）由（1）知：，

当时，；当时，；

的单调递减区间为，.

18.【解析】（1）因为 ，

所以 ，即切线的斜率，

又切线与直线平行，所以，即 ；

（2）由（1）得 ，的定义域为 ，  

若，则 ，此时函数在上为单调递增函数；

若，则，此时函数在上为单调递增函数；

若，则 当 即 时，，

当即时，，此时函数在上为单调递增函数，在 上为单调递减函数．

综上所述：当时，函数在上为单调递增函数；

当时，函数在上为单调递增函数，在 上为单调递减函数.

19.【解析】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）

又

当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数

当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）

所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数

在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数

（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0

由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，

又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意

当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，

所以：，令（a＞0），

所以：，

在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0

所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，

故：a的取值范围为[1，+∞）

20.【解析】（1）的定义域是

当时，，

当时，，切点为，斜率为－3.

切线方程为，整理得：

∴在处的切线方程为

（2）的定义域为，.

当时，，在上单调递增；

当时，当，，单调递减

当，，单调递增；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

21.【解析】（1）由题意，.

当时，，函数在上单调递减；

当时，令，解得．

∴当时，，当时，．

∴在上单调递减，在上单调递增；

（2）∵恒成立，∴，可得．

由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增，

∴的最小值为.∴，解得.

因此，实数的取值范围为.

22.【解析】1的定义域是，，

当时，，在递增，

当时，在上，，递减，

在上，，递增，

综上，当时，在递增，

时，在递减，在递增；

2恒成立，即恒成立，

设，则，

，的单调性和相同，

当时，在递增，，

故在递增，，

当时，在递减，在递增，

当时，，在递增，

，

故是增函数，故，

当时，在区间上，递减，

故，

故递减，故，不合题意，

综上，a的范围是．