2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练15 利用导数研究函数的单调性（Word版附解析）

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1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2)B.(0,3)
C.(1,4)D.(2,+∞)
答案:D
解析:函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.
2.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且函数f(x)的图象如图所示,则函数y=xf'(x)的图象可能是( )
答案:C
解析:由题图可知函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,
则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)0,
当x∈(-1,0)时,xf'(x)0时,f'(x)=4x3>0,f(x)单调递增;当x-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x0).
(1)若f(x)的单调递减区间是(0,4),则实数k的值为 ;
(2)若f(x)在区间(0,4)内单调递减,则实数k的取值范围是 .
答案:(1)13 (2)(0,13]
解析:(1)f'(x)=3kx2+6(k-1)x(k>0),
由题意知f'(4)=0,解得k=13.
(2)f'(x)=3kx2+6(k-1)x(k>0),
由题意知f'(4)≤0,解得k≤13.
又k>0,故01,则当x∈(1,a)时,f'(x)x2时,g(x)0时,二次函数的图象开口向上,当m=0时,函数为y=4x-1,在区间[13,+∞)上为增函数,
即当m≥0时,mx2+4x-1≥0在区间[13,+∞)内有解恒成立;
当m0,即16+4m>0,得-40,
所以当x≥0时,g(x)单调递增,g(x)≥g(0)=2>0,所以f'(x)>0,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
因为f(x)是奇函数,所以f(x)在x∈R上是增函数.
由f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,得f(1+a)>-f(-a2+a+2)=f(a2-a-2),
所以1+a>a2-a-2,
解得-10时,令g'(x)=0,得x=1或x=12a,若12a12,则由g'(x)>0,解得x>1或00,解得x>12a或00,函数F(x)单调递增,故A满足;
f'-12=14-32e-12140,F'(x)=ex(x-2)x3>0,故D满足.
15.定义在区间(0,+∞)内的函数f(x)满足f(x)>0,且当x∈(0,+∞)时,2f(x)