2022版新高考数学一轮总复习课后集训：33+平面向量基本定理及坐标表示+Word版含解析

课后限时集训(三十三)　

平面向量基本定理及坐标表示

建议用时：25分钟

一、选择题

1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b等于(　　)

A．(6,3)   B．(－2，－6)

C．(2,1)   D．(7,2)

B　[2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．]

2．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)   B．(2，＋∞)

C．(－∞，＋∞)   D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

D　[由题意可知a与b不共线，即3m－2≠2m，∴m≠2.故选D.]

3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)

A．   B．

C．(3,2)   D．(1,3)

A　[设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，

又＝2，∴∴故选A.]

4．(2020·厦门模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ＝(　　)

A．－2   B．－1

C．1   D．2

D　[如图，建立平面直角坐标系xOy，设正方形网格的边长为1，则a＝(1,1)，b＝(0，－1)，c＝(2,1)，∴λa＋b＝(λ，λ－1)．∵λa＋b与c共线，∴λ＝2(λ－1)，解得λ＝2，故选D.]

5.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)

A．a－b   B.a－b

C．a＋b  D.a＋b

D　[连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，

所以＝＋＝b＋a.]

6．(多选)(2020·广东佛山月考)已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若平面α内的点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则下列命题正确的是(　　)

A．线段AB的中点的广义坐标为

B．A，B两点间的距离为

C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1

D．向量垂直于向量的充要条件是x1y2＋x2y1＝0

AC　[设线段AB的中点为M，则＝(＋)＝(x1＋x2)e1＋(y1＋y2)e2，所以点M的广义坐标为，知A正确；由于该坐标系不一定是平面直角坐标系，因此B错误；由向量平行得＝λ，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)，所以x1y2＝x2y1，得C正确；与垂直，即·＝0，所以x1x2e＋(x1y2＋x2y1)e1·e2＋y1y2e＝0，即x1y2＋x2y1＝0不是与垂直的充要条件，因此D不正确．故选AC.]

7．(2020·济南模拟)已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)

A.   B. 

C.   D.

C　[∵m∥n，∴sin A(sin A＋cos A)＝，

∴2sin2A＋sin 2A＝3.

∴sin＝1.

又A∈(0，π)，∴2A－∈.

由2A－＝得A＝.故选C.]

8．(多选)(2020·山东日照期末)如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值可能是(　　)

图1　　　图2

A．－6　　　　B．1　　　　C．5　　　　D．9

BC　[设＝a，＝b，求x＋y的最大值，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：

(1)若P在A点，∵＝a，∴(x，y)＝(1,0)；

(2)若P在B点，∵＝b，∴(x，y)＝(0,1)；

(3)若P在C点，∵＝＋＝a＋2b，∴(x，y)＝(1,2)；

(4)若P在D点，∵＝＋＋＝a＋b＋(a＋2b)＝2a＋3b，∴(x，y)＝(2,3)；

(5)若P在E点，∵＝＋＝a＋b，∴(x，y)＝(1,1)；

(6)若P在F点，∵＝＋＝a＋3b，∴(x，y)＝(1,3)．

∴x＋y的最大值为2＋3＝5.

根据对称性，可知x＋y的最小值为－5.

故x＋y的取值范围是[－5,5]．故选BC.]

二、填空题

9．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为________．

(－3，－5)　[∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，

∴＝－＝－＝(－3，－5)．]

10．已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O为坐标原点，且＝(＋－)，则||＝________.

2　[由＝(＋－)＝(＋)知，点D是线段AC的中点，故D(2,2)，所以＝(－2,2)．

故||＝＝2.]

11．(2019·浙江高考)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．

0　2　[以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最大值＝2.]

12．(2020·广东六校联考)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若P为BN的中点，＝m＋n，则m＋n＝________；若＝t＋，则实数t＝________.

　　[方法一：因为＝，所以＝.因为P为BN的中点，所以＝(＋)＝＋，所以m＋n＝.设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，得解得t＝λ＝.

方法二：因为＝，所以＝.因为P为BN的中点，所以＝(＋)＝＋，所以m＋n＝.因为＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋.因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝.]

1．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

D　[方法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是，故选D.

方法二：∵＝x＋－x，∴－＝x(－)，即＝x＝－3x，∵O在线段CD(不含C，D两点)上，∴0＜－3x＜1，

∴－＜x＜0.]

2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．

2　[方法一：以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B.

设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α)．

由＝x＋y，得

所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，

所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin.

又α∈，

所以当α＝时，x＋y取得最大值2.

方法二：(等和线法)如图，连接AB交OC于点P，∵＝x＋y，

∴当点C与A、(B)重合时，x＋y＝1.

当点C为与AB平行且与圆弧相切的切点时，

＝2，设＝λ＋μ，则λ＋μ＝1，

∴＝2＝2λ＋2μ＝x＋y，

∴x＋y＝2λ＋2μ＝2(λ＋μ)＝2.

所以x＋y的最大值为2.]