2027年全国高考数学一轮复习讲义 4.8 三角形中的中线、角平分线以及取值范围

这是一份2027年全国高考数学一轮复习讲义 4.8 三角形中的中线、角平分线以及取值范围，共4页。

在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2).
知识点2：角平分线定理
在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，D在BC上，
则ABBD=ACCD.进而得到
(1)AD2=AB·AC-BD·CD.
知识点3：张角定理
在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，则sinβAB+sinαAC=sin(α+β)AD.
考点一 三角形中中线的问题
考点二 三角形中角平分线的问题
考点三 三角形中的边长或周长的最值或范围
考点四 三角形面积的最值或范围
考点五 几何图形中的计算
考点六 证明三角形中的恒等式或不等式
考点七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
考点一 三角形中中线的问题
1．（25-26高三上·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且．
(1)求角；
(2)求周长的取值范围；
(3)求边上的中线的取值范围．
2．（25-26高三上·贵州毕节·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求C；
(3)若，边上的中线，求边a，b的长.
3．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求b，c；
(3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围．
4．（25-26高三上·江苏·期中）（多选）在锐角中，角所对的边分别为，则（ ）
A．B．的取值范围是
C．存在，其面积为1D．边上的中线长的取值范围是
5．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)求b的取值范围；
(3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围.
6．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围．
考点二 三角形中角平分线的问题
7．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）中，，，则（ ）
A．B．的角平分线交AB于D，则
C．D．在上的投影向量是
8．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的角平分线的长度.
9．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在中，设角所对的边分别为，已知且.
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线的长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.
10．（25-26高三上·湖南·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若的角平分线交边于点，，，求的周长.
11．（2026·四川成都·三模）已知的面积为，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，的角平分线交于点，求线段的长.
12．（25-26高三上·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（ ）
A．B．C．2D．1
考点三 三角形中的边长或周长的最值或范围
13．（25-26高三上·四川乐山·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值为______.
14．（2026·陕西渭南·三模）已知的内角所对的边分别为,且．
(1)求；
(2)若的外接圆半径为1，求周长的最大值．
15．（25-26高三上·四川泸州·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且，
(1)若，，求；
(2)若，求；
(3)求的取值范围．
16．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，．
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
17．（25-26高三上·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
18．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．
(1)求角B；
(2)若D在边上且，，求的最大值．
考点四 三角形面积的最值或范围
19．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A．9B．18C．D．6
20．（25-26高三上·辽宁·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求C
(2)若c＝6．
（Ⅰ）求△ABC周长的取值范围；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
21．（25-26高三上·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)若，的周长等于6，求a，b．
(2)若为锐角三角形，且的面积满足.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求面积的取值范围．
22．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．
(1)求，
(2)若，且的面积为，求的周长；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．
23．（25-26高三上·山西·阶段检测）在中，内角的对边分别为．
(1)求．
(2)当时．
（i）求周长的取值范围；
（ii）求面积的最大值．
24．（2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，．
(1)判断的形状；
(2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围．
考点五 几何图形中的计算
25．（25-26高三上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．

(1)若，求的长；
(2)若，的面积为，求的值．
26．（2026·河南·模拟预测）如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）.

(1)若，，求的面积；
(2)若，，求的值.
27．（25-26高三上·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，．

(1)若．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的面积；
(2)若，求的取值范围．
28．（25-26高三上·河北邢台·期中）（多选）如图，在圆的内接四边形中，，，，则（ ）
A．B．
C．D．的面积为
29．（2026·河南·三模）在平面四边形中，已知，，.
(1)求；
(2)若，，求.
30．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期中）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点为边上靠近点的三等分点，，．
(1)若，求的面积；
(2)当时，求的长；
(3)要使得取最小值时，请帮设计师计算此时的长．
考点六 证明三角形中的恒等式或不等式
31．（25-26高三上·河南南阳·期中）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点．
(1)若△ABC为正三角形，求；
(2)已知
①求证：；
②若，，求面积的最大值．
32．（25-26高三上·浙江台州·期中）（多选）在中，斜边为中点，的角平分线交于点，与交于点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则为定值
33．（2026·河北保定·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
(1)求的值;
(2)证明: .
34．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且．
(1)若，求的值；
(2)求证：；
(3)求的最小值．
考点七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
35．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围；
(3)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围.
36．（25-26高三上·天津西青·期中）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且.
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的周长；
(3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围.
37．（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数.
(1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心；
(2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积.
38．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C的值.
(2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若，，求的周长；
（ii）求的最大值.
39．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角C；
(2)求的取值范围；
(3)若点为边上的中点，，求线段的最大值．
40．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像.
(1)求在上的值域；
(2)若锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，求的取值范围.
1．（25-26高三上·江苏镇江·期中）在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
3．（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）在锐角中，角、、所对应的边分别为、、.已知，，则周长的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（25-26高三上·江苏扬州·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若的外接圆半径为，且，则面积的最大值为（ ）
A．B．3C．D．
5．（25-26高三上·山西晋中·期中）在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（25-26高三上·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（ ）
A．B．C．D．
8．（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（ ）
A．2B．C．D．
9．（25-26高三上·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2026·湖南株洲·模拟预测）（多选）设的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，，则（ ）
A．B．
C．的面积可以是D．的周长可以是3
11．（2026·江西南昌·三模）（多选）已知内角所对的边分别为.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形.
B．若，则为等腰三角形
C．在锐角中，不等式恒成立
D．若，则的取值范围为
12．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）（多选）在中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为4
C．面积的最大值为3
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
13．（25-26高三上·浙江·期中）在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________.
14．（2026·山东威海·二模）在中，角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值．
15．（25-26高三上·湖南·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，.
(1)求角B；
(2)若的面积为，求的值；
(3)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
16．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求的值；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
(3)若，当的周长最小时，求的值．
17．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，．
(1)求函数的解析式及最小正周期；
(2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值．
18．（25-26高三上·江苏苏州·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，.
(1)求的大小；
(2)设的角平分线交于点.
①求面积的取值范围
②求线段长的取值范围.4.8 三角形中的中线、角平分线以及取值范围
知识点1：中线定理
在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2).
知识点2：角平分线定理
在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，D在BC上，
则ABBD=ACCD.进而得到
(1)AD2=AB·AC-BD·CD.
知识点3：张角定理
在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，则sinβAB+sinαAC=sin(α+β)AD.
考点一 三角形中中线的问题
考点二 三角形中角平分线的问题
考点三 三角形中的边长或周长的最值或范围
考点四 三角形面积的最值或范围
考点五 几何图形中的计算
考点六 证明三角形中的恒等式或不等式
考点七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
考点一 三角形中中线的问题
1．（25-26高三上·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且．
(1)求角；
(2)求周长的取值范围；
(3)求边上的中线的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解；
（2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果；
（3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
又由余弦定理得，，故．
（2）由正弦定理得 ，
，
又因为是锐角三角形，故，解得，
，
周长的取值范围为 ．
（3）由余弦定理得，，即．
，两边平方得．
由正弦定理可知，，故，
因此
，
又因为是锐角三角形，故，解得，
故，，，
即，则．
2．（25-26高三上·贵州毕节·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求C；
(3)若，边上的中线，求边a，b的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，或，
【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再整理即可证明；
（2）由（1）可得，进而得到即可求解；
（3）根据余弦定理可得，再利用双余弦得到，再解方程组即可．
【详解】（1）证明：由正弦定理得：，
即；
（2）解：因为，
即.
则，
因为，
所以；
（3）解：因为，由余弦定理知：，
即，
，，
即，
，，
故，
解得：，或，.
3．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求b，c；
(3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解；
（2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解；
（3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解.
【详解】（1），
由正弦定理可得，
∴，
即，，
因为，所以，所以，
即，即，
又，∴，则．
（2）由（1）及题设可得，即，
整理得，解得（负值舍去），故．
（3）因为D为BC的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，，
则，解得，
所以，所以，则，
即，
所以，所以中线AD的取值范围是．
4．（25-26高三上·江苏·期中）（多选）在锐角中，角所对的边分别为，则（ ）
A．B．的取值范围是
C．存在，其面积为1D．边上的中线长的取值范围是
【答案】ACD
【分析】对于A，由结合正弦定理及两角和与差的正弦公式化简判断即可；对于B，结合及锐角可得，，再根据正弦定理及二倍角公式可得，进而求解判断即可；对于C，表示出，求出面积的取值范围即可判断；对于D，设的中点为，根据平面向量的数量积可得，结合，，可得，利用换元法求出其范围，进而求解判断即可.
【详解】对于A，由，
根据正弦定理，得，
则 ，
即，
则，
即 ，
在锐角中，，则，
则，即，故A正确；
对于B，由，则，
在锐角中，，即，则，
由正弦定理，得，故B错误；
对于C，由，，，，即，
根据正弦定理，得，则，即，
则
，
因为函数在上单调递减，
且时，，时，，
所以，则，
则存在，其面积为1，故C正确；
对于D，设的中点为，则，
所以
，
又，
而，则，
则，
令，则，
令，则，
因为函数在上单调递增，且时，，时，，
则，即，则，
所以，
即边上的中线长的取值范围是，故D正确.
5．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)求b的取值范围；
(3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦公式进行求解即可；
（2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可；
（3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，即
因为，所以，
则，即，
整理可得，即，
所以，
所以.
（2）由正弦定理得，
因为锐角，所以，
所以，所以；
（3）由余弦定理可得，
又，
则
，
由正弦定理可得，
所以，
所以
由（2）知，则，
所以，
则，
则，
故中线的长度的取值范围为.
6．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先用正弦定理把边的关系转化为角的关系，再利用三角形内角和与辅助角公式，结合角的范围即可求得结果；
（2）先通过余弦定理得到与的关系，再用向量表示出，结合正弦定理转化为角的三角函数，最后根据锐角三角形角的范围即可求出取值范围.
【详解】（1）根据题意可知，，
由正弦定理得：，
即，
所以，
即．
又，则，
故，即，所以 ．
又，所以 ，
即，故．
（2）根据余弦定理得：，
即．
又因为，两边平方得．
根据正弦定理可知，，故，，
所以
．
又由于是锐角三角形，因此可得，解得．
因此，所以，即，
所以，则．
考点二 三角形中角平分线的问题
7．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）中，，，则（ ）
A．B．的角平分线交AB于D，则
C．D．在上的投影向量是
【答案】ACD
【详解】由余弦定理，得，故，A正确；
因为，所以是等腰三角形，平分，
所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确；
由，，所以，
因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确；
向量在上的投影向量为 ，
，故投影向量为，所以D正确.
8．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的角平分线的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据正弦定理将已知等式的角化为边，再结合余弦定理求出角；
（2）先根据三角形面积公式求出 的值，再利用角平分线的性质和三角形面积公式求出角平分线的长度.
【详解】（1）由正弦定理可得：，即 ，化简可得，
由余弦定理 .
因为 ，所以 .
（2）根据三角形面积公式 ，可得：，
即 ，化简可得 ，解得 .
因为 是角平分线，所以 .
由 得：.
，
解得 .
9．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在中，设角所对的边分别为，已知且.
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线的长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解；
（2）先利用余弦定理求出，再利用等面积法，即可求解；
（3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
又由余弦定理得，，
故.
（2）
由余弦定理可知，，代入，
可得，解得.
设，
，即，
解得，因此.
（3）由余弦定理得，，
即.
，两边平方得.
由正弦定理可知，，故，
因此
，
又因为是锐角三角形，故，解得，
故，，，
即，则.
10．（25-26高三上·湖南·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若的角平分线交边于点，，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得；
（2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得.
【详解】（1）由及正弦定理，得，
，，
，，，，或.
，，，即.
（2）如图：
，
，①，
又在中，由余弦定理可得，即②，
将①代入②得，或（舍）, .
的周长为.
11．（2026·四川成都·三模）已知的面积为，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，的角平分线交于点，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式对已知条件进行转化，进而求出角.
（2）先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理求出b，最后利用三角形面积公式求出线段的长.
【详解】（1）因为，，
所以 ，
即，所以.
又，所以.
（2）因为，所以，
所以
.
由正弦定理可得，，，
又，
所以，解得.
所以线段的长为.
12．（25-26高三上·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】A
【分析】在中，由余弦定理求得，根据是的平分线，得，所以，在中应用余弦定理求得b，即可求得.
【详解】在中，，
即，，
因为是的平分线，所以即，所以
在中，
即即，解得.
在中，，
所以
故选：A.
考点三 三角形中的边长或周长的最值或范围
13．（25-26高三上·四川乐山·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值为______.
【答案】14
【分析】将已知等式利用正弦定理边化角，化简后求得，由余弦定理结合基本不等式，即可求得最大值.
【详解】因为，所以由正弦定理得，
因为，所以，所以，
因为，所以，
由余弦定理得，即，
因，当且仅当时取等号，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
则b+c的最大值为14.
14．（2026·陕西渭南·三模）已知的内角所对的边分别为,且．
(1)求；
(2)若的外接圆半径为1，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理角化边，利用余弦定理求出角；
（2）首先根据正弦定理求出，利用余弦定理列方程，结合均值不等式得，求出最值.
【详解】（1）因为，则，
即，
，
，.
（2）由，得，
由余弦定理得，
化简为，即，
因为，
则，，
当且仅当时等号成立，故三角形周长最大值为.
15．（25-26高三上·四川泸州·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且，
(1)若，，求；
(2)若，求；
(3)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）方法一：根据向量的模的公式和向量的数量积公式计算即可；方法二：过点D作的平行线交于点H，在中，运用余弦定理计算即可；方法三：在中，运用余弦定理求出，结合勾股定理求出；方法四：利用等面积法计算即可.
（2）方法一：根据与相似计算即可；方法二：在中以及在中，运用正弦定理计算即可；
（3）根据向量的模公式得到，方法一：根据基本不等式的性质计算即可；方法二：令，则方程有正根，然后分情况讨论进而计算结果.
【详解】（1）法一：，
则
．
法二：过点D作的平行线交于点H，
在中，，，
由余弦定理：
法三：在中，由余弦定理：
又，则，
则.
法四：因为，则平分角C，
由，
即.
（2）法一：因为，则与相似，
则，即，所以，
则，，则．
法二：设，因为，则
在中，由正弦定理知①
在中，由正弦定理知②
，，则有
又，．
（3），平方得．
即，又
令，则，.
法一：
令，则，
，
．
的取值范围为
法二：令，则方程有正根．
，
①若，方程没有正根，不符合题意；
②若，且，得：或（此时方程只有一个负根，故舍去）
③若，且，得：，
ⅰ 若方程有一个根为0，此时，方程有正根，符合题意；
ⅱ 若方程有两个正根，则，得或，
ⅲ 若方程有1个正根，一个负根，，得，
综上：，
的取值范围为.
16．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，．
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换化简，求出角；已知角、边和，利用余弦定理建立关于的方程，求出的值，代入三角形面积公式计算面积；
（2）利用正弦定理将其转化为关于角，的三角函数表达式，结合三角形内角和关系将表达式统一为角的三角函数，根据角的取值范围，利用三角函数的性质确定取值范围.
【详解】（1），；
由正弦定理得.
，；
；
.
，;
，即；
，.
，，；
由余弦定理得，即，解得；
.
（2）由（1）得，，即.
由正弦定理得
；
，；
，，即.
17．（25-26高三上·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得，根据的范围求值；
（2）由正弦定理得，，由，利用向量运算结合三角恒等变换可得，求出的范围结合三角函数性质得解.
【详解】（1）由，得，
又，所以，
所以，.
（2）由，且可得，
又，为外接圆半径）
所以，又，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，.
由的中点为M，得，
所以
.
因为为锐角三角形，所以，得，
则，所以，，
则，
故的取值范围是.
18．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．
(1)求角B；
(2)若D在边上且，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理可得，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，
根据正弦定理得：，
且，
可得，
即，又因为，则，
可得，整理可得，
又，则，可得，解得.
（2）由得，又，，
则由余弦定理得，即，
即，
由基本不等式得，
所以，所以，
当且仅当时取等，所以的最大值为.
考点四 三角形面积的最值或范围
19．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A．9B．18C．D．6
【答案】A
【分析】根据正弦定理和三角形内角和关系，确定是直角三角形，由勾股定理及基本不等式求得面积最大值.
【详解】由题设 及正弦定理可得 ，
又，
故，化简得，
因为，所以，即 ，
是直角三角形，直角在 ，
由勾股定理，直角在 ，故 ，
的面积 ，根据基本不等式 ，得： ，
因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 .
20．（25-26高三上·辽宁·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求C
(2)若c＝6．
（Ⅰ）求△ABC周长的取值范围；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）（12，18]；（Ⅱ）．
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，化简可求得，从而求得.
（2）（Ⅰ）由正弦定理将的周长表示为的函数，利用正弦型函数的取值范围，可得周长的取值范围；（Ⅱ）根据余弦定理及基本不等式可得的最大值，从而求得面积的最大值．
【详解】（1）因为，，
所以由正弦定理得，
，
则，由，得，所以，则．
（2）（Ⅰ）由正弦定理得，，
所以，.
△ABC的周长，
由，得.
则，
所以的周长的取值范围为．
（Ⅱ）由余弦定理得，
所以，当且仅当时等号成立.
所以，
所以面积的最大值为．
21．（25-26高三上·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)若，的周长等于6，求a，b．
(2)若为锐角三角形，且的面积满足.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
【分析】（1）应用周长结合余弦定理及之间的关系计算求解边长.（2）（ⅰ）利用三角形面积公式以及余弦定理求解出的值，由此可求的值；（ⅱ）先根据三角形面积公式表示出，然后利用正弦定理表示出，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系.
【详解】（1）因为，且的周长等于6，所以，
因为，由余弦定理得，
将代入上式解得，所以，
则.
（2）（ⅰ）因为，所以，所以，
又是锐角三角形，所以，所以，
所以，又，所以；
（ⅱ）因为，所以，
又，所以，
所以.
由，解得，所以，
所以，
所以面积的取值范围是.
22．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．
(1)求，
(2)若，且的面积为，求的周长；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解；
（2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案；
（3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解.
【详解】（1）由和正弦定理，可得，
其中，故．∴，即，
因为，所以.
（2）因为，所以，
由余弦定理可得
即，所以，
所以的周长为.
（3）因为是锐角三角形，，
所以，解得，
由正弦定理，，则，
所以，
，
由得，所以，
所以，
即面积的取值范围为.
23．（25-26高三上·山西·阶段检测）在中，内角的对边分别为．
(1)求．
(2)当时．
（i）求周长的取值范围；
（ii）求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）由正弦定理与和角公式化简计算即得；
（2）（i）由正弦定理即三角恒等变换可得，再利用正弦函数性质计算求解；（ii）由余弦定理，基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）由正弦定理得
而右式为，
故得，因为，故．
故，则．
（2）（i）由正弦定理得的周长
，
易得，则，故，
所以的取值范围是；
（ii）由余弦定理得，
当且仅当时等号成立，
所以的面积，
故面积的最大值为．
24．（2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，．
(1)判断的形状；
(2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)是等边三角形
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理和三角形的面积公式求出，再根据即可得出结论；
（2）先利用余弦定理求出，再根据四边形的面积结合三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由余弦定理、三角形面积公式及，
得：，
所以，即.
又因为，所以，
因为，所以或，
因为，所以，所以舍去，
所以有，即，
所以是等边三角形；
（2）如图，在中，由余弦定理得，
记四边形的面积为，
则
，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围是，
即四边形的面积的取值范围是．
考点五 几何图形中的计算
25．（25-26高三上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．

(1)若，求的长；
(2)若，的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度；
（2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
即，
因为，则，故，则为锐角，
所以，
因为，则，
在中，由正弦定理得，
所以，解得．
（2），则
由，得，.
由余弦定理可得：
.
在中，由正弦定理可得，
故，
在中，由正弦定理可得，
故，
因为，
所以．
26．（2026·河南·模拟预测）如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）.

(1)若，，求的面积；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解；
（2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得的值，再根据正切的诱导公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以在中，.
又 ，即 ，所以.
因为，所以，即，解得.
因为平分，所以，
解得，
所以
所以.
（2）设，
则，
即，
整理得，
又，
故，即，解得.
27．（25-26高三上·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，．

(1)若．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的面积；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)（i）；（ⅱ）
(2)
【详解】（1）（ⅰ）在中，，，，
由余弦定理得：，即，
所以是等腰三角形，即．
所以，即；
（ⅱ），即是等腰三角形，所以，
所以；
（2）因为，即，即．
设，则，则，
所以，
又因为，因为，
所以，即，
又因为，令，则，
所以，，因为函数在上单调递增，
所以．
28．（25-26高三上·河北邢台·期中）（多选）如图，在圆的内接四边形中，，，，则（ ）
A．B．
C．D．的面积为
【答案】ACD
【分析】根据余弦定理以及三角形面积公式依次判断即可.
【详解】对于AB，由于，，，
在中，，即，
在中，，即，
联立两式解得，由于，所以，，故A正确，B错误．
对于C，，故C正确．
对于D，的面积，故D正确．
29．（2026·河南·三模）在平面四边形中，已知，，.
(1)求；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） 在中，由余弦定理得：，
因为，所以．
（2） 因为，，所以，
在四边形中，，
设，在中，，
在中，，
因为，所以。
即
整理得，解得
在中，．
30．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期中）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点为边上靠近点的三等分点，，．
(1)若，求的面积；
(2)当时，求的长；
(3)要使得取最小值时，请帮设计师计算此时的长．
【答案】(1)
(2)2
(3).
【分析】（1）由正弦定理求得的长，即可得的长，由三角形面积公式即可求得答案.
（2）利用余弦定理即可求解；
（3）设，利用余弦定理表示出，即可得的表达式，结合基本不等式确定其最小值，即可求得答案.
【详解】（1）在中，，，
故，，
由正弦定理得，即，
而，
故，故，
故三角形手巾的面积为
；
（2）设，则，
则在中，，
在中，
易知，整理可得，
解得或（舍）;
所以.
（3）设，则，
则在中，，
在中，，
故，
由于，
当且仅当，即时取等号，
故，
即取到最小值时，，
即此时.
考点六 证明三角形中的恒等式或不等式
31．（25-26高三上·河南南阳·期中）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点．
(1)若△ABC为正三角形，求；
(2)已知
①求证：；
②若，，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）在等边三角形中，利用正弦定理在两个小三角形中建立边与角的关系，由边相等推出角相等，解方程得到布洛卡角；
（2）①通过正弦定理分别表示出两段线段，利用已知比例关系，结合正弦定理和边长关系，推导出边长平方的等式；
②将已知比例代入，利用余弦定理将余弦值表示为两边乘积的函数，进而得到面积平方关于该乘积的二次函数，结合三角形存在条件确定取值范围，由二次函数最值得出面积最大值.
【详解】（1）为等边三角形．
因为，所以，
所以，
在中，
由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为为等边三角形，，所以，
又，所以，故．
（2）①证明：因为,所以，所以,
，即；
因为,所以，所以
在中，，即．
所以，由正弦定理得：．
因为，所以，即．
②由可得．在中，由余弦定理得，.
因为，所以，所以．
由三角形的面积公式可得：，
所以．
令，则，是关于x的方程的两个根，
所以且，解得．
因为且，所以，解得
又因为，所以．
，
对称轴，所以当时，，
所以．故最大值为.
32．（25-26高三上·浙江台州·期中）（多选）在中，斜边为中点，的角平分线交于点，与交于点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则为定值
【答案】ABD
【分析】对A由角平分线可得，再结合直角三角形中的边角关系可得；对B先在中解直角三角形得，再由角平分线的性质可得；对C分别在和分别使用等面积法并化简可得；对D由BC选项解析可得，进而计算可得结果.
【详解】设，则，
A选项，根据为角平分线且可得
，
化简得，
而在中，，所以，
将代入得，解得，故A正确．
B选项，根据角平分线的性质：三角形内角平分线分对边所得的两条线段的比等于夹这个角两边的比.
因为为角平分线，则在中，为的角平分线，则有，
根据得，所以，
根据，解得，故B正确．
C选项，在和分别使用等面积法可得
，且，
化简得，两式相除可得，
，即，将代入得，故C错误．
D选项，根据C选项可得，
根据B选项可得，而，
所以，得证，故D正确．
33．（2026·河北保定·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
(1)求的值;
(2)证明: .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知等式，结合正弦型函数的性质进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合二倍角的正余弦公式，利用换元法、构造函数法、导数的性质进行求解证明即可.
【详解】（1）
，
因为，所以，
所以由，或，
由，
由，显然不成立，
所以；
（2）由（1）可知：，
所以，因为，
所以，
，
由，设，，
设，
则，令，
因为，所以解得，
当时，函数，所以函数在上单调递增，
当时，函数，所以函数在上单调递减，
因为，所以函数在时，值域为，
即当时，，
于是当时，.
34．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且．
(1)若，求的值；
(2)求证：；
(3)求的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由，结合向量数量积运算律即可求解；
（2）由正弦定理可得，，利用三角恒等变换化简即可证明：
（3）由（2）可知，根据基本不等式“1”的妙用计算即可求解.
【详解】（1）因为，由题意可知，
所以
；
（2）设，在中，
由正弦定理可得，即，
在中，，即，
所以等式左边，
等式右边
因为，
所以，
即成立；
（3）由（2）可知，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
考点七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
35．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围；
(3)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换及三角形内角和定理求解即可；
（2）求得，利用正弦定理求得，最后利用面积公式求解即可；
（3）设，则，，，在、中，利用正弦定理可得出，利用换元法、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
又因为 所以，所以，
所以
（2）因为，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
所以，所以，
，所以.
（3）设，则，，，
所以，
在中，
在中，，
作商得，
设，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以
所以.
36．（25-26高三上·天津西青·期中）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且.
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的周长；
(3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据向量共线的坐标关系，结合正余弦定理边角互化即可求解，
（2）由余弦定理以及面积公式即可求解得解，
（3）根据正弦定理得，进而根据面积公式可得，由三角恒等变换，化简可得，即可根据三角函数的性质求解.
【详解】（1）若，则,
由正弦定理可得，故，
因此,
.
（2）由（1）可得，又,故，
因此，故，
因此周长为
（3）由于，故，
由正弦定理可得，
故，
因为，所以，
所以，
故,
由于三角形为锐角三角形，故,解得，
因此，故，则，
因此.
37．（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数.
(1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心；
(2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积.
【答案】(1)函数的单调递增区间为，图象的对称中心为
(2)
【分析】（1）结合平面向量的运算法则与三角恒等变换公式，化简可得，再由正弦函数的单调性与对称性，即可得解；
（2）根据正弦函数取值可得，再利用余弦定理求出b的值，随后进行分类讨论，最后由三角形的面积公式，即可得解．
【详解】（1），
.
所以.
由 ，得.
即 .
由 ，
得 ，即.
所以函数 的单调递增区间为 .
令 ，得 ，
此时 ，所以函数 的图象的对称中心为 .
综上所述，函数的单调递增区间为，图象的对称中心为
（2）由（1）知 ，由 得 ，
因为 为锐角，所以，则 ，
所以，解得 .
由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 或 .
当 时，，，此时 ，由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，所以 或 ，
若 ，则 ，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾;
若 ，则 ，此时三角形为钝角三角形，符合题意，
三角形面积 .
当 时，，，由余弦定理得 ，
所以，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾，舍去.
综上所述，三角形 的面积为 .
38．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C的值.
(2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若，，求的周长；
（ii）求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）30（ii）
【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果；
（2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值.
【详解】（1）因为，即，
整理可得，即，
因为，则，，
则或或，
即或（舍去）或（舍去），
且，解得.
（2）（ⅰ）由题意可知：，
则，可得，
又因为，则，
由余弦定理可知，
整理可得，
可得，解得或（舍去），
所以的周长；
（ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即，
则，
可得
，
且，则，可得，
则，所以的最大值为.
39．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角C；
(2)求的取值范围；
(3)若点为边上的中点，，求线段的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理，结合正弦定理角化边求解得即可得答案；
（2）由正弦定理边化角，结合内角和定理，三角恒等变换得，再结合的范围求解即可；
（3）根据得，再结合余弦定理与基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）解：因为，
所以，由正弦定理可得，整理得，
所以，由余弦定理可得，
又因为，所以．
（2）解：由正弦定理，可得，
因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，，，
所以，
所以的取值范围是．
（3）解：因为点为边上的中点，所以，
所以，
因为，，
所以，由余弦定理得，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以，
所以，即线段的最大值为．
40．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像.
(1)求在上的值域；
(2)若锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简函数，由范围，求出范围，然后得到函数在区间上的最值，即求出函数在该区间上的值域；
（2）由求得，由正弦定理求得，根据题意列关于的不等式，基于的取值范围，从而得到的取值范围.
【详解】（1）由题意可得.
由题意可得.
因为，所以.
当，即时，取得最小值，最小值为；
当，即时，取得最大值，最大值为.
故在上的值域为.
（2）因为，所以，所以.
因为是锐角三角形，所以，所以，
则，则.
因为，所以，则，，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，所以，
即的取值范围是.
1．（25-26高三上·江苏镇江·期中）在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，求解即可.
【详解】
如图所示，在中，内角，作于，
要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，其中，
即，因此边长的取值范围为，故A正确.
2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】先将目标式化简为，结合已知代入余弦定理，再通过三角恒等变换和辅助角公式求解目标式的最大值.
【详解】由余弦定理，将代入得.
进而.
的最小值为，因此的最大值为.
令，.
， 当时，，
根据对勾函数的性质可得，
故的最大值为，
即的最大值为.
3．（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）在锐角中，角、、所对应的边分别为、、.已知，，则周长的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理，结合已知的边a和角A、B的关系，用角A表示边b和边c的长度,因为三角形是锐角三角形，所以确定角A的取值范围；将转化为关于角A的三角函数表达式，利用三角恒等变换化简为单一三角函数形式，再结合角A的取值范围求值域，即可求得答案.
【详解】由正弦定理可得，得，，又，，，
所以
，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，其中，
所以，所以的周长.
4．（25-26高三上·江苏扬州·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若的外接圆半径为，且，则面积的最大值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】由余弦定理求解，由正弦定理求解边长，再由化简，再由基本不等式求解即可.
【详解】因为，
则由余弦定理得，
因为，则，
设的外接圆半径为，则，
由正弦定理得，，
则即为，
因为，则，
当且仅当时，等号成立，
则，
则面积的最大值为.
5．（25-26高三上·山西晋中·期中）在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助余弦定理计算可得，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得，再利用基本不等式与三角形面积公式计算即可得面积的最大值.
【详解】由余弦定理可得，
由点为边的中点，则，
故，
即，即，
则，即，
当且仅当时，等号成立，
故，
即面积的最大值为.
6．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，，由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，求得，取的中点，连接，得到，设的外接圆的半径为，求得，设，得到，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
整理得到，即，
由于余弦定理，得，
又因为，可得，
如图所示，取的中点，连接，可得，所以，
设的外接圆的半径为，可得，
由正弦定理可得，
所以且，
设，则
则
，
因为，可得，所以，
可得，所以，
所以的取值范围是.
故选：C.
7．（25-26高三上·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可.
【详解】在中，，
由余弦定理得
∴
整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）.
∵ ，∴ ，
∴ .
在中，，，，
由正弦定理得
∴ .
8．（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理，结合建立等量关系，联立方程求解即可.
【详解】如图，设，则，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
又，则，代入化简得①，
在中，由余弦定理可得，
化简整理得②，联立①②，解得.
9．（25-26高三上·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换、正弦定理等知识判断出是直角三角形，利用基本不等式求得周长的最小值.
【详解】由，得，即.
而，
所以，即.
由于为锐角，所以，，
所以与异号或，
若，即，
又，，则，，
所以，即，此不等式组无解，所以不成立.
同理可得不成立.
所以，
即，所以，，即为直角三角形.
由题意知，，即，所以.
所以的周长，
当且仅当时，等号成立.
所以周长的最小值为.
10．（2026·湖南株洲·模拟预测）（多选）设的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，，则（ ）
A．B．
C．的面积可以是D．的周长可以是3
【答案】BCD
【分析】利用正弦定理，将式子中的边化为角的正弦值，根据正弦的两角和公式化简，得到角C的值，即可判断A，B；利用基本不等式计算面积的范围，即可判断C选项，利用余弦定理，综合基本不等式的变式，得到边c的范围，即可计算周长的范围．
【详解】由正弦定理可知：，（为外接圆的半径），
则；
因为，代入可得：
，
则，
由两角和的正弦公式可得：，
因为，故，化简可得：，
故，因为，故，故B正确；
通过题给条件无法判断A,故A错误；
因为，由基本不等式可知：，
故；
故，
当且仅当时，“=”成立，故C正确；
由余弦定理可知：；
因为，故，解得；
因此周长：，因为，
因此周长可以为3，故D正确．
11．（2026·江西南昌·三模）（多选）已知内角所对的边分别为.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形.
B．若，则为等腰三角形
C．在锐角中，不等式恒成立
D．若，则的取值范围为
【答案】AD
【分析】利用余弦定理边化角判断A；由题设，结合三角形内角性质判断B；利用正弦函数单调性推理判断C；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断D.
【详解】对于A，由及余弦定理，得，为钝角，故为钝角三角形，A正确；
对于B，由中，则，故或，
所以或，均不能说明为等腰三角形，B错误；
对于C，在锐角中，则，
所以，即，C错误；
对于D，由，，得，，，
由正弦定理得，D正确.
12．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）（多选）在中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为4
C．面积的最大值为3
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
【答案】AB
【详解】A选项，由余弦定理：，即，故A正确.
B选项，由正弦定理，所以.
所以，故B正确.
C选项，面积，由，得，当且仅当时等号成立，所以，故C错误.
D选项，锐角三角形：，，得，，故D错误.
13．（25-26高三上·浙江·期中）在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________.
【答案】
【分析】应用正余弦定理求得、外接圆的半径，再由四边形的面积最大，只需的面积最大，结合即可求.
【详解】由题设，即（负数舍去），
又外接圆的半径，
要使四边形的面积最大，只需的面积最大，
由到的距离，则中边上的最大高为，
所以最大.
14．（2026·山东威海·二模）在中，角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)14
【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角差的正弦公式可得的值，进而可得结果；
（2）设，通过余弦定理用表示，将四边形的面积表示为关于的函数，求出函数的最大值即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
可得，
因为，所以，
因为，所以．
（2）设，平面四边形ABCD的面积为S，
在中，由余弦定理得，
所以
，
因为，所以，
当，即时，平面四边形ABCD面积的最大值为14．
15．（25-26高三上·湖南·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，.
(1)求角B；
(2)若的面积为，求的值；
(3)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理把边化角求解；
（2）由余弦定理和三角形面积公式求解；
（3）把三角形的面积转化为角A表示的函数，再三角函数的值域.
【详解】（1）由正弦定理得，
由及，得，
即，
因为，
所以，
所以，因为,，
所以，所以，
因为，所以；
（2）由余弦定理得，即，所以.
又的面积为，所以.
所以，所以；
（3）由（1）知，，则，
所以，，所以
由，得，
所以，所以，所以，
所以面积的取值范围是.
16．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求的值；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
(3)若，当的周长最小时，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解；
（2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解；
（3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解.
【详解】（1），由正弦定理可得，
因为，
所以代入可得，
即，
因为，所以，
化简可得，即，
解得，因为，所以，
因此，即.
（2）由正弦定理可得，即，
所以，
，
因为，所以，
代入可得，
因为为锐角三角形，，
所以，即，解得，
所以，即，
所以，
即的面积的取值范围为．
（3）由余弦定理可得，
因为，代入可得，化简可得，
因此
，
当且仅当，即时等号成立，
因此当的周长最小时，的值为．
17．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，．
(1)求函数的解析式及最小正周期；
(2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值．
【答案】(1)解析式为；最小正周期为
(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标形式，二倍角公式，及辅助角公式即可得到的解析式，进而得到最小正周期；
（2）结合（1）及题意得到的值，再根据余弦定理，均值不等式得到取值范围，进而得到周长的最大值．
【详解】（1）由，，
则，
所以的最小正周期为．
（2）由，即，即，
又B为的内角，则，则，
所以，解得，
又，由余弦定理有，得，即，
由均值不等式有，则，
即，即，解得，
当且仅当时取等号，此时为等边三角形，
所以周长的最大值为．
18．（25-26高三上·江苏苏州·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，.
(1)求的大小；
(2)设的角平分线交于点.
①求面积的取值范围
②求线段长的取值范围.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）借助数量积公式可得，再利用正弦定理将边化为角后结合两角和的正弦公式计算即可得解；
（2）①借助正弦定理可边化为角，再利用面积公式结合三角形内角和关系，可用表示出面积，利用的范围即可得解；②借助等面积法计算可用表示出，再借助①中所得即可得解.
【详解】（1），则，
由正弦定理将边化为角可得，
又，
故，
即，又，则，
故，又，则；
（2）①由正弦定理，可得，
则
，
由，则，故，
则，故；
②由，则，
即，则，
即，由（2）①知，
故，则，故，
故.