2027届高考数学人教A版一轮复习：第31讲 三角形中的高线、中线、角平分线 课时作业

这是一份2027届高考数学人教A版一轮复习：第31讲 三角形中的高线、中线、角平分线 课时作业，共5页。
1.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3b=2asin B.
(1)求A;
(2)若b=c+1,a=7,求边BC上的高AD的长.
解:(1)由正弦定理可得3sin B=2sin Asin B.
因为sin B≠0,所以32=sin A.
又△ABC为锐角三角形,A∈(0,π2),所以A=π3.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A,
可知(7)2=b2+c2-2bccsπ3=b2+c2-bc=(b-c)2+bc.
又b=c+1,即b-c=1,代入上式可得bc=6,
则S△ABC=12bcsin A=12×6×32=332,
则S△ABC=12BC×AD=12×7×AD=332,
解得AD=337=3217.
2.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,3asin C+ccs A=2c.
(1)求A;
(2)若AB=3,BC=7,D为AC的中点,求cs∠DBC.
解:(1)因为3asin C+ccs A=2c,所以由正弦定理得3sin Asin C+sin Ccs A=2sin C.
因为C∈(0,π2),所以sin C≠0,所以3sin A+cs A=2,
整理得2sin(A+π6)=2,即sin(A+π6)=1.
因为A∈(0,π2),所以A+π6∈(π6,2π3),所以A+π6=π2,即A=π3.
(2)在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcsπ3,
即AC2-3AC+2=0,解得AC=2或AC=1.
若AC=1,则cs C=AC2+BC2−AB22AC·BC=1+7−9270.因为AB>BC>AC,根据正弦定理,角C最大,所以△ABC为锐角三角形,符合题意.
因为D为AC的中点,所以AD=DC=1,
所以在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cs A=9+1-2×3×1×12=7,
所以BD=7.
在△BCD中,cs∠DBC=BD2+BC2−DC22BD·BC=7+7−12×7×7=1314.
[B组 能力提升练]
3.(2026·北京模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A的平分线交BC于点D,且asin C=ccsA2.
(1)求A;
(2)若b=2,且△ABC的面积为32,求AD的长.
解:(1)由已知asin C=ccsA2,
又由正弦定理可得sin Asin C=sin CcsA2,
又C∈(0,π),所以sin C≠0,
则sin A=csA2=2sinA2csA2,
又A∈(0,π),A2∈(0,π2),所以csA2≠0,
则sinA2=12,所以A2=π6,A=π3.
(2)由已知S△ABC=12bcsin∠CAB=32c=32,所以c=3.
因为AD为∠CAB的平分线,故∠CAD=∠BAD=π6,
所以S△ABC=S△ACD+S△ABD=12b·AD·sin∠CAD+12c·AD·sin∠BAD,
即32=12AD+34AD=2+34AD,
解得AD=6(2-3).