2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训11导数中的新定义问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训11导数中的新定义问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了解答新定义型创新题的基本思路是，解决导数新定义问题等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc26497" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc26497 \h 2
\l "_Tc31602" 题型一：拐点 PAGEREF _Tc31602 \h 2
\l "_Tc2192" 题型二：曲率问题 PAGEREF _Tc2192 \h 3
\l "_Tc10649" 题型三：拉格朗日中值定理 PAGEREF _Tc10649 \h 4
\l "_Tc17347" 题型四：凹凸函数 PAGEREF _Tc17347 \h 5
\l "_Tc14880" 题型五：泰勒多项式 PAGEREF _Tc14880 \h 6
\l "_Tc4716" 题型六：帕德近似 PAGEREF _Tc4716 \h 8
\l "_Tc31120" 题型七：牛顿迭代法 PAGEREF _Tc31120 \h 9
\l "_Tc19836" 题型九：定义新概念 PAGEREF _Tc19836 \h 12
\l "_Tc26972" 题型十：定义新性质 PAGEREF _Tc26972 \h 13
\l "_Tc29632" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc29632 \h 14
\l "_Tc3005" 巩固过关 PAGEREF _Tc3005 \h 14
\l "_Tc27323" 创新提升 PAGEREF _Tc27323 \h 16
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、解决导数新定义问题
解决导数新定义问题需紧扣“拆解定义—转化考点—规范计算”核心逻辑，步骤如下：
①拆解定义抓本质：优先精读新定义，圈画关键公式、符号规则或操作步骤（如曲率公式中的二阶导数），忽略陌生术语的理论背景，将抽象定义转化为具体可操作的数学表达式。
②衔接高中知识转化：将新定义与高中导数考点挂钩，如“求最值”转化为导数判单调性、“切线问题”关联导数几何意义、“不等式证明”构造函数求导。若定义含极限，按导数定义（差商极限）简化；含高阶导数，分步求一、二阶导数即可。
③分步计算避陷阱：涉及参数范围时，结合定义域、特殊点（如导数不存在处）验证。计算后对照定义反向检查，避免漏用条件。
题型一：拐点
典例1-1．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
典例1-2．给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（ ）
A．B．点在直线上
C．D．点在直线上
变式1-1．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（ ）
A．B．C．D．
变式1-2．设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为.
(1)求实数的值；
(2)求的零点个数.
题型二：曲率问题
典例2-1．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.已知函数，则曲线在点处的曲率为 .
典例2-2．在平面曲线中，曲率（curvature）是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，如图，圆、、在点Q处的弯曲程度依次增大，而直线在点Q处的弯曲程度最小，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，则余弦曲线在处的曲率为 ；正弦曲线曲率K的平方的最大值为 ．

变式2-1．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
若曲线与在处的曲率分别为， ；设正弦曲线曲率为，则的最大值为 ．
变式2-2．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．
(1)已知函数，求曲线在点处的曲率；
(2)已知函数，求曲线的曲率的范围．
题型三：拉格朗日中值定理
典例3-1．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（ ）
A．①④B．①③C．②④D．②③
典例3-2．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下两个条件：（1）其图象在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值.函数在区间上的拉格朗日中值 .
变式3-1．（多选）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间上的“中值点”的个数为，则有（ ）(参考数据：，，，.)
A．B．C．D．
变式3-2．法国数学家拉格朗日1797年在著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数满足条件：
（1）在闭区间是连续不断的；（2）在区间上都有导数.
则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．
函数在区间上的“拉格朗日中值” ．
题型四：凹凸函数
典例4-1．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（ ）
A．B．C．D．
典例4-2．定义1：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间D上也可导，则称函数在区间上存在二阶导数，记作.定义2：若函数在区间上的二阶导数恒为正，即恒成立，则称函数在区间上为凹函数.已知函数在区间上为凹函数，则的取值范围是 .
变式4-1．（多选）设为函数的导函数，若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．下列结论正确的是（ ）
A．函数为上的凹函数B．函数为上的凸函数
C．函数为上的凸函数D．函数为上的凹函数
变式4-2．已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数．
(1)证明：函数是凸函数．
(2)已知函数，．
①若是上的凹函数，求实数a的取值范围；
②在内有两个不同的零点，，证明：．
题型五：泰勒多项式
典例5-1．计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的. “泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有的某个开区间内可以进行多次求导数运算，则当时，有，其中是的导数，是的导数，是的导数，…. 取，则精确到的近似值为（ ）
A．0.82B．0.84C．0.86D．0.88
典例5-2．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
(2)比较（1）中与的大小.
(3)证明：.
变式5-1．记为函数的阶导函数，且有，若存在，则称阶可导.英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称为次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值，例如：在处的3次泰勒多项式为，则在处的5次泰勒多项式中的系数为 .
变式5-2．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
(1)写出在处的泰勒展开式.
(2)若，恒成立，求a的范围;（参考数据）
(3)估计的近似值（精确到）
题型六：帕德近似
典例6-1．帕德逼近是法国数学家享利帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法.帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，，
注：，，，
已知函数在处的阶帕德逼近为
(1)求的解析式;
(2)比较与的大小;
(3)证明：
变式6-1．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：...已知在处的阶帕德近似为.注：，
(1)求实数的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中，
变式6-2．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数在处的阶帕德近似为，该函数满足．
注：．
设函数在处的阶帕德近似为．
(1)求的解析式；
(2)证明：当时，；
(3)设函数，若是的极大值点，求k的取值范围．
题型七：牛顿迭代法
典例7-1．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（ ）
A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为
B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为
C．
D．
典例7-2．如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．

(1)证明：存在唯一零点，且；
(2)已知，证明：；
(3)经过4次迭代后，判断的近似值与的差值小于．
变式7-1．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为 （精确到0.1）．
变式7-2．牛顿法（Newtn’s methd）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，，…，，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知．
(1)若给定，求的二阶近似值；
(2)函数．
①试写出函数的最小值与的关系式；
②证明：．
题型九：定义新概念
典例8-1．定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题：
已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
典例8-2．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知）
(1)证明：①倍元关系：；②平方关系：
(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：．
变式8-1．设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”.设函数与在上是“密切函数”，则实数m的取值范围是 .
变式8-2．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围.
题型十：定义新性质
典例9-1．设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（ ）
A．B．C．D．
典例9-2．若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”．
(1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由；
(2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围；
(3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：．
变式9-1．对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：；
(3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”.
变式9-2．已知定义在正整数集上的函数，若函数同时具有性质：①对任意，；②存在实数a，使得对任意，，则称函数为“可积函数”，此时a称为的“可积指标”.（e是自然对数的底数）
(1)判断函数，是否“可积函数”，若是，求出的“可积指标”；若不是，请说明理由；
(2)若定义在正整数集上的函数是“可积指标”为a的“可积函数”，求的解析式，及“可积指标”a的最大值.
巩固过关
1．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（ ）
A．B．C．D．2
2．牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，其表述如下：若函数在区间上的导函数为，那么.若，，且，则（ ）
A．B．C．D．2
3．（多选）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有3个零点
C．点是函数的对称中心
D．
4．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为 .(精确到小数点后两位)
5．在18世纪，法国著名数学家拉格朗日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f（x）区间[a，b]上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），则x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x的f（x）＝ex+mx在区间[﹣1，1]上的中值点x0的值为 .
6．探索新定义 定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域内每一个点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，则 ．
7．记函数的导函数为，函数的导函数为，若，则称点为函数的广义反曲点.
(1)若，求的广义反曲点；
(2)已知函数有且仅有三个广义反曲点，证明函数的三个广义反曲点共线，并求出直线方程.
8．已知函数，设是的导数，．
(1)求的值；
(2)求证：对于任意，等式都成立．
创新提升
1．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求.
2．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数.
(1)设可导函数，证明：，；
(2)若在上的最小值为，求a的取值范围.
3．设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是．
(1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围；
(2)在锐角三角形中，求最大值；
(3)已知正实数满足，求的最小值．
4．对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．
(1)若的极小值小于，求的取值范围；
(2)当时，求函数的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零．
重难点专训11导数中的新定义问题
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc9369" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc9369 \h 1
\l "_Tc26497" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc26497 \h 2
\l "_Tc31602" 题型一：拐点 PAGEREF _Tc31602 \h 2
\l "_Tc2192" 题型二：曲率问题 PAGEREF _Tc2192 \h 4
\l "_Tc10649" 题型三：拉格朗日中值定理 PAGEREF _Tc10649 \h 7
\l "_Tc17347" 题型四：凹凸函数 PAGEREF _Tc17347 \h 10
\l "_Tc14880" 题型五：泰勒多项式 PAGEREF _Tc14880 \h 14
\l "_Tc4716" 题型六：帕德近似 PAGEREF _Tc4716 \h 19
\l "_Tc31120" 题型七：牛顿迭代法 PAGEREF _Tc31120 \h 25
\l "_Tc19836" 题型九：定义新概念 PAGEREF _Tc19836 \h 30
\l "_Tc26972" 题型十：定义新性质 PAGEREF _Tc26972 \h 34
\l "_Tc29632" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc29632 \h 41
\l "_Tc3005" 巩固过关 PAGEREF _Tc3005 \h 41
\l "_Tc27323" 创新提升 PAGEREF _Tc27323 \h 47
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、解决导数新定义问题
解决导数新定义问题需紧扣“拆解定义—转化考点—规范计算”核心逻辑，步骤如下：
①拆解定义抓本质：优先精读新定义，圈画关键公式、符号规则或操作步骤（如曲率公式中的二阶导数），忽略陌生术语的理论背景，将抽象定义转化为具体可操作的数学表达式。
②衔接高中知识转化：将新定义与高中导数考点挂钩，如“求最值”转化为导数判单调性、“切线问题”关联导数几何意义、“不等式证明”构造函数求导。若定义含极限，按导数定义（差商极限）简化；含高阶导数，分步求一、二阶导数即可。
③分步计算避陷阱：涉及参数范围时，结合定义域、特殊点（如导数不存在处）验证。计算后对照定义反向检查，避免漏用条件。
题型一：拐点
典例1-1．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得，进而，
令，故，
所以，故对称中心为
故选：B
典例1-2．给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（ ）
A．B．点在直线上
C．D．点在直线上
【答案】B
【详解】因为，则，，
依题意可得，则，故A错误；
，故C错误；
又，所以点在直线上，故B正确，D错误；
故选：B
变式1-1．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，，
令解得，
又，
所以的图象的对称中心为，即，
所以
，
故选：B
变式1-2．设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为.
(1)求实数的值；
(2)求的零点个数.
【答案】(1)，
(2)个
【详解】（1）因为，
所以，所以，
又因为的图象的对称中心为，
所以，解得；
（2）由（1）知，，
∴，
令，得或，
所以当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
所以，，且当时，；当时，，
所以有个零点.
题型二：曲率问题
典例2-1．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.已知函数，则曲线在点处的曲率为 .
【答案】/
【详解】因为，故，，
故，
故，即曲线在点处的曲率为，
故答案为：
典例2-2．在平面曲线中，曲率（curvature）是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，如图，圆、、在点Q处的弯曲程度依次增大，而直线在点Q处的弯曲程度最小，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，则余弦曲线在处的曲率为 ；正弦曲线曲率K的平方的最大值为 ．

【答案】
【详解】由，，则，
所以在处的曲率为，
由，，则
所以，令，则，
令，则，即递增，
所以，即的最大值为1.
故答案为：1；1
变式2-1．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
若曲线与在处的曲率分别为， ；设正弦曲线曲率为，则的最大值为 ．
【答案】 1
【详解】，，
，，
所以.
，.
令，，
所以在上递增，当即时，有最大值.
故答案为：；
变式2-2．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．
(1)已知函数，求曲线在点处的曲率；
(2)已知函数，求曲线的曲率的范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
，故，，
由曲率公式得.
（2）因为，所以，
，由曲率公式得，
故，
则，
令，令，函数化为，
令，则，函数化为，
对进行变形，得到，
令，函数化为，
此时，我们研究的范围即可，而，
当时，恒成立，故在上单调递增，
而，，
故，即，故.
题型三：拉格朗日中值定理
典例3-1．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（ ）
A．①④B．①③C．②④D．②③
【答案】A
【详解】由题意知，即存在一点，
使得此点处的切线斜率等于点与点连线的斜率，即方程解的个数就是中值点个数.
①由得，而，显然成立，故有无数个“中值点”，符合题意．
②由得，而，
故有且仅有一个“中值点”，不符合题意．
③由得，而，
故有且仅有一个“中值点”，不符合题意．
④由得，而，
故有两个“中值点”，符合题意．
故选：A.
典例3-2．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下两个条件：（1）其图象在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值.函数在区间上的拉格朗日中值 .
【答案】
【解析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得，进而求得的值即可.
【详解】，则
由拉格朗日中值的定义可知，函数在区间上的拉格朗日中值满足，
所以
所以，即，则
故答案为：
变式3-1．（多选）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间上的“中值点”的个数为，则有（ ）(参考数据：，，，.)
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】设函数在区间上的“中值点”为
由，
则由拉格朗日中值定理可得：
又
即
所以，
作出函数和的图象,如图1.
由图可知，函数和的图象在上有两个交点.
所以方程在上有两个解，即函数在区间上有2个“中值点”.
所以
又，函数在区间上的“中值点”为 ，
则由拉格朗日中值定理可得：
即，
作出函数与的图象，如图2
, 当时，
由图可知，函数与的图象在区间上有1个交点.
即方程在区间上有1个解.
所以函数在区间上有1个“中值点”，即
故选：BC
【点睛】本题考查函数导数中的新定义问题，考查方程是实数根的个数的判断，解答本题的关键是将问题转化为方程在区间上的实数根的个数和方程在区间上的实数根的个数问题，数形结合即可，属于中档题.
变式3-2．法国数学家拉格朗日1797年在著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数满足条件：
（1）在闭区间是连续不断的；（2）在区间上都有导数.
则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．
函数在区间上的“拉格朗日中值” ．
【答案】
【详解】因为，所以,
结合“拉格朗日中值”定义可得,
所以，又因为，所以,
故答案为:
题型四：凹凸函数
典例4-1．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】记函数，首先证明其凹凸性：
，
在上为“凹函数”.
由琴生不等式，得，
即.
所以，
即当时，取最小值，所以.
故选：B.
典例4-2．定义1：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间D上也可导，则称函数在区间上存在二阶导数，记作.定义2：若函数在区间上的二阶导数恒为正，即恒成立，则称函数在区间上为凹函数.已知函数在区间上为凹函数，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为，因为，，
令，解得，故的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查导数的新定义问题，理解题意为解题的关键，属于简单题.
变式4-1．（多选）设为函数的导函数，若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．下列结论正确的是（ ）
A．函数为上的凹函数B．函数为上的凸函数
C．函数为上的凸函数D．函数为上的凹函数
【答案】ABD
【详解】对于选项A：因为为上的增函数，
所以为上的凹函数，故A正确；
对于选项B：因为，设，
则，
当时，，可知为上的减函数，
即为上的减函数，所以为上的凸函数，故B正确；
对于选项C：因为，设，
则，注意到，
可知在内不是单调递减函数，即在内不是单调递减函数，
所以函数在上不为凸函数，故C错误；
对于选项D：因为，令，
则，
设，则，
当时，，当时，，
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即在上恒成立，
可知为上的单调递增，所以为上的凹函数，故D正确．
故选：ABD.
变式4-2．已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数．
(1)证明：函数是凸函数．
(2)已知函数，．
①若是上的凹函数，求实数a的取值范围；
②在内有两个不同的零点，，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）因为，
所以，
所以是上的凸函数．
（2）①因为，
所以．
因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即．
令，则．
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减．
，所以，解得，
所以实数的取值范围是．
②由①知，因为在内有两个不同的零点，
所以方程在内有两个根，即．
因为在上单调递增，在上单调递减，所以．
欲证，即证
因为且在上单调递减，
所以只需证明，即证．
欲证，即证，即，
只需证，即证，而该式显然成立．
欲证，即证．因为，所以只需证，
即证即需证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以则原不等式得证．
故．
题型五：泰勒多项式
典例5-1．计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的. “泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有的某个开区间内可以进行多次求导数运算，则当时，有，其中是的导数，是的导数，是的导数，…. 取，则精确到的近似值为（ ）
A．0.82B．0.84C．0.86D．0.88
【答案】B
【详解】根据题意，，
取时，可得，
则
，
令，代入上式可得，
所以．
故选：B
典例5-2．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
(2)比较（1）中与的大小.
(3)证明：.
【答案】(1), ；
(2)答案见解析；
(3)证明过程见解析.
【详解】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，
，，
在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（3）令，则，
，在上单调递增，
又，在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，当且仅当时取等号，
①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；
②当时，设，，
，，
当，由（2）可知，所以，
，即有；
当时，，
所以，时，单调递减，从而，即．
综上所述：.
【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.
变式5-1．记为函数的阶导函数，且有，若存在，则称阶可导.英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称为次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值，例如：在处的3次泰勒多项式为，则在处的5次泰勒多项式中的系数为 .
【答案】15
【详解】，
因为，
所以，，
又，，.
所以，
故的系数为.
故答案为：15
变式5-2．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
(1)写出在处的泰勒展开式.
(2)若，恒成立，求a的范围;（参考数据）
(3)估计的近似值（精确到）
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1），，，，
其中，
在处的泰勒展开式为：，
（2）因为，
由在处的泰勒展开式，先证，
令，
，易知，所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
再令，，易得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而，所以恒成立，
当时， ，所以成立，
当时，令，，易求得，
所以必存在一个区间，使得在上单调递减，
所以时，，不符合题意.
综上所述，.
（3）因为转化研究的结构，
，
，
两式相减得 ，
取得，
所以估计的近似值为（精确到）.
【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
，，
，
，
，
题型六：帕德近似
典例6-1．帕德逼近是法国数学家享利帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法.帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，，
注：，，，
已知函数在处的阶帕德逼近为
(1)求的解析式;
(2)比较与的大小;
(3)证明：
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知，，，，
由，，，
得，解得，所以
（2）设，，
则，且等号不恒成立，
所以在上单调递增，
又，所以当时，
当时，当时，
即当时，
当时，当时，
（3）由（2）知当时，，取，得，
即，
分别取，2，3，，8，
得，，，，，
，，，
叠加得，
即
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
变式6-1．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：...已知在处的阶帕德近似为.注：，
(1)求实数的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中，
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）∵ ∴
∵，则，
由题意得：
∴解得：；
（2）由（1）知，即证
令，则且
即证时，记
则
∴在上单调递增，在和上单调递增
当时，，即，即成立，
当时，，即，即成立，
综上所述，时，
∴成立，即成立.
（3）由题意得：欲使得不等式成立，则至少有，即或
首先考虑，该不等式等价于，即，
又由（2）知成立，
∴使得成立的的取值范围是
再考虑，该不等式等价于，
记，则，
∴当时，时，
∴在上单调递增，在上单调递减
∴，即，
∴，
当时由，可知成立；
当时由，可知不成立；
所以使得成立的的取值范围是
综上可得：不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：本题第1问的关键是理解题意，利用待定系数法求解；第2问的关键是换元后构造函数，第3问的关键是由不等式构造函数，利用导数解不等式.
变式6-2．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数在处的阶帕德近似为，该函数满足．
注：．
设函数在处的阶帕德近似为．
(1)求的解析式；
(2)证明：当时，；
(3)设函数，若是的极大值点，求k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题意，可设，且，则，
而，，且，则，
所以.
（2）当时，恒有，
令，且，则，
当时，，即在上递增；
当时，，即在上递减；
所以，故，得证.
（3）令在处的阶帕德近似为，
由，则，故，
由，，而，则，
所以，故，
由，而，则，
综上，，且，
令，则恒成立，
所以在R上递增，即，
故时，时，
所以时，时，
此时，时不是极值点；
以为界，讨论如下：
由连续函数，
当，则，而，
在上，递减，在上，递增，则，
所以，在两侧恒成立，是极小值点；
当，则，而，
在上，递增，在上，递减，则，
所以，在两侧恒成立，为极大值点；
当，有，
在上，递增，在上，递减，则，
所以，在两侧恒成立，为极大值点；
当，则，而，
在上，递增，在上，递减，则，
所以，在两侧恒成立，为极大值点；
综上，.
【点睛】关键点点睛：第三问，利用帕德近似及导数知识确定为界点，再讨论参数并利用导数研究单调性，及与1的大小关系为关键.
题型七：牛顿迭代法
典例7-1．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（ ）
A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为
B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为
C．
D．
【答案】D
【详解】构造函数，则.取初始近似值，则，
，故选项A正确；
取初始近似值，则，
，故选项B正确；
根据题意，可知，，，，
上述四式相加，得，故选项C正确，选项D不正确.
故选：D.
典例7-2．如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．

(1)证明：存在唯一零点，且；
(2)已知，证明：；
(3)经过4次迭代后，判断的近似值与的差值小于．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)经过4次迭代后，的近似值与的差值小于
【详解】（1），所以单调递增，
因为，，
所以存在唯一零点，且．
（2）在点处的切线方程为，
令，解得，
，
易知，所以，
要证，只需证，
即，
因为，所以．
（3）由（2）可知，，
所以，
所以，
所以，
所以经过4次迭代后，的近似值与的差值小于．
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
变式7-1．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为 （精确到0.1）．
【答案】3.3
【详解】由，得．
当时，，，
则过点的切线方程为，
令，得．
又，，
则过点的切线方程为，
令，得，此时与近似值相等，故近似解r约为3.3．
故答案为：3.3
变式7-2．牛顿法（Newtn’s methd）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，，…，，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知．
(1)若给定，求的二阶近似值；
(2)函数．
①试写出函数的最小值与的关系式；
②证明：．
【答案】(1)
(2)①，②证明见解析
【详解】（1）函数，求导得，
依题意，，当时，，
同理，而，所以；
（2）①因为，
所以，令，
求导得，所以在上单调递增，
函数单调递增，，
由，得，且，则，，
所以，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值，
即.
②由①知，，
令，求导得，
令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
而，
则当时，恒成立，即函数在上单调递增，
而，因此，所以.
题型九：定义新概念
典例8-1．定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题：
已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由可得：，
令，所以
由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立，
因为，，所以，，
所以令，
，，
令可得：或，
令可得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
当趋于正无穷时，趋近，
所以，所以实数的取值范围为.
故选：A.
典例8-2．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知）
(1)证明：①倍元关系：；②平方关系：
(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）证明：①；
②.
（2）构造函数
①当时，因为，当且仅当即时等号成立，
所以，故单调递增，
此时，故对任意恒成立，符合题意；
②当时，令，
则恒成立，故单调递增，
由与，
可知存在唯一，使得，
当时，，则在内单调递减，
故对任意，即，不合题意，舍去；
综上所述，实数a的取值范围为.
（3）由（2）知：当时，，令，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，
所以，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，令，
所以
.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查数列与导数新定义结合，解题的关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可.
变式8-1．设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”.设函数与在上是“密切函数”，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意在上恒成立，，
设，则，当时，，递增，当时，，递减，所以，又，，所以，所以，解得．
故答案为：
【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，把新定义问题转化为不等式恒成立问题，再变形后转化为求函数的最值．
变式8-2．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
【详解】（1）当时，（），
则
当时，，当，，
所以在和上严格递增，在上严格递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，所以是极值差比函数.
（2）的定义域为，，
假设存在使的极值差比系数为，
则，是方程的两个不相等的正实数根，
则，解得，不妨设，则，
因为
，
所以，从而，得（*）
令（），，
所以在上是严格增函数，所以，
因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为；
（3）由（2）知极值差比系数为，即，
不妨设，令，，极值差比系数可化为，
，又，解得，
令（），，
设（），，
所以在上单调递减，当时，，
从而，所以在上单调递增，所以，
即，
所以的极值差比系数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究.
题型十：定义新性质
典例9-1．设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】将变形为：，
令，则在上至少有2个不等实数使得，
所以在上不单调，即可满足“性质”；
对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”；
对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”；
对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”；
对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”；
故选：B
典例9-2．若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”．
(1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由；
(2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围；
(3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：．
【答案】(1)和具有性质“”，理由见解析；
(2)；
(3)答案见解析.
【详解】（1）函数和在上具有性质“”.
理由如下：
因为和在上均为偶函数，且在上单调递增，
所以只需考虑的情况，
令，则，
所以在区间上单调递增，且，所以恒成立，
则，即，
则，再根据函数是偶函数，
即，，
所以函数和在上具有性质“”.
（2），在区间单调递增，在上单调递增，
设，若函数和具有性质“”，
则，整理为
设，由以上可知，在区间上单调递增，
即，
当时，恒成立，
令，，，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以；
（3）由题意可知，存在，，
，又，
则，即，
，，设，，
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
设，，不妨设，，，且，
设，
，
所以在区间上单调递减，且，即，
即，即，则，
即，则，得，即证.
变式9-1．对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：；
(3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”.
【答案】(1)具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）令，，
所以，所以在上单调递增，
不妨设，所以，即，
即，
所以，
所以函数，与“具有性质”.
（2）证明：由函数在上有两个零点，，得，
又函数与“具有性质”，
则，
即，即，
令，，即.
记，即，又，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
要证，即证，不妨设，
即证，只需证，即证.
设，即，
所以，
所以函数在上单调递减，且，
又，则，即，则得证，
故.
（3）证明：不妨设，所以，所以，
所以，令，，
所以，所以在上单调递减，
又，所以，即，
所以；
当时，，
令，，所以，
令，所以，
令，解得，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，所以在上单调递增，
又，所以，即，
所以，
综上，，即，
即函数与“具有性质”.
变式9-2．已知定义在正整数集上的函数，若函数同时具有性质：①对任意，；②存在实数a，使得对任意，，则称函数为“可积函数”，此时a称为的“可积指标”.（e是自然对数的底数）
(1)判断函数，是否“可积函数”，若是，求出的“可积指标”；若不是，请说明理由；
(2)若定义在正整数集上的函数是“可积指标”为a的“可积函数”，求的解析式，及“可积指标”a的最大值.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)；
【详解】（1）函数，不是“可积函数”，理由如下：
当时，函数是单调递减，
所以有，符合性质①；
假设存在实数a，使得对任意，，
即，则，
所以，两边取对数得，
得，令，
设，，
则，
由，，
则，
故在单调递减，且，
因此给定一个值，对应的值不同，即值不同，
所以对于对任意，因此不存在实数a，使，
因此不符合性质②，
故函数，不是“可积函数”；
（2）当，有成立，
当时，有，
两式相除，得，显然当时，也成立，
综上，；
因为函数是“可积指标”为a的“可积函数”，
所以有，可变形为.
令，则，
设，，
则
令，其中，
则，
令，其中，
则，则在单调递减，
所以，即，故在单调递减；
所以，即，故在单调递减；
当时，，即，
且当时，，
故要使恒成立，则.
故，且“可积指标”a的最大值为.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于运算，利用整体换元法，进而简化函数运算探求函数性质.
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1．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】令，则，．
因为，，
所以曲线在点处的曲率为．
故选：B
2．牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，其表述如下：若函数在区间上的导函数为，那么.若，，且，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】因为，取，则，
所以，，
因为，则，故，
故选：B.
3．（多选）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有3个零点
C．点是函数的对称中心
D．
【答案】BCD
【详解】A选项，由函数，可得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极大值，极大值为，所以极大值点为，故A错误；
选项，由知，当时，取得极小值，
极小值，且当时，，
当时，，，所以函数有3个零点，故正确；
选项，由，可得，
令，可得，又由，
所以点是函数的对称中心，故C正确；
D选项，因为是函数的对称中心，所以，
令，
可得，
所以，
所以，即，所以D正确.
故选：BCD.
4．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为 .(精确到小数点后两位)
【答案】0.84
【详解】令，
则，，，，
故，
由麦克劳林公式得，，
所以.
故答案为：0.84.
5．在18世纪，法国著名数学家拉格朗日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f（x）区间[a，b]上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），则x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x的f（x）＝ex+mx在区间[﹣1，1]上的中值点x0的值为 .
【答案】
【详解】解：当x∈[﹣1，1]时，由拉格朗日中值定理可得＝，
∵f'（x）＝ex+m，
∴+m，即，
∴.
故答案为：.
6．探索新定义 定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域内每一个点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，则 ．
【答案】
【详解】依题意，
，同理可求得，
所以．
故答案为：
7．记函数的导函数为，函数的导函数为，若，则称点为函数的广义反曲点.
(1)若，求的广义反曲点；
(2)已知函数有且仅有三个广义反曲点，证明函数的三个广义反曲点共线，并求出直线方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析，直线方程为
【详解】（1）
记，则，所以.
又，所以的广义反曲点是.
（2）函数，则，
记，则.
记，
设的广义反曲点的横坐标分别为，，，则，，是的全部零点.
证明的三个广义反曲点共线等价于证明，使得，.
即证，使得，，是方程的根，
即方程有且仅有三个不相同的根，，.
由，
所以，
即，由，解得，
代入成立，所以满足条件.
即的三个广义反曲点共直线.
8．已知函数，设是的导数，．
(1)求的值；
(2)求证：对于任意，等式都成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），，
则两边求导，得，
为的导数，，，
两边再同时求导得，，
将代入上式得，；
（2）证明：由（1）得，恒成立，
两边再同时求导得，，
再对上式两边同时求导得，，
同理可得，两边再同时求导得，，
猜想得，对任意恒成立，
下面用数学归纳法进行证明等式成立：
①当时，成立，则上式成立；
②假设（且）时等式成立，
即，
，
又，
那么（且）时，
等式也成立，
由①②得，对任意恒成立．
令代入上式得，，
所以，对于任意，等式都成立．
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1．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求.
【答案】(1)极小值0，无极大值．
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）函数，，
当时，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故有极小值，无极大值.
（2）由（1）可知：当时，，在单调递减；
当时，令，得，，
所以，且为增函数，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
综上，
当时，的单调递减区间为，无递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）当时，函数是“函数”，
求导得，
设曲线与直线切点，
则，故，即，
所以且，
设，，易知，且是增函数，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以是方程的根，且唯一，
所以．
2．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数.
(1)设可导函数，证明：，；
(2)若在上的最小值为，求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）因为，且在上连续，在内可导，
所以，由罗尔中值定理得，.
（2）设，则.
当，即时，，
当，得，则在上单调递减，
当，得，则在上单调递增，
从而，故符合题意.
当时，即时，令，得或.
当，即时，
当或，得，则在和上单调递增，
当，得，则在上单调递减.
因为在上的最小值为，且，则，得；
当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意；
当，即时，
当或，得，则在和上单调递增，
当，得，则在上单调递减，
从而，故，不合题意；
综上，a的取值范围为.
3．设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是．
(1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围；
(2)在锐角三角形中，求最大值；
(3)已知正实数满足，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）解：因为是上的下凸函数，
所以在 上恒成立，
即在 上恒成立，
所以在 上恒成立，
又因为在 上单调递减，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）解：令，
则，
所以在上是下凸函数，
又因为，
所以，
即，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为；
（3）解：因为正实数满足，
所以，
令，
则，
因为，所以
所以，
即
所以在上是下凸函数，
所以，
即，
即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是从两个角度理解下凸函数的定义及第（3）问中构造函数.
4．对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．
(1)若的极小值小于，求的取值范围；
(2)当时，求函数的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零．
【答案】(1)
(2)函数有两个不动点，证明见解析
【详解】（1），
当时，，当时，，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
故极小值为．
由，解得．
故的取值范围为；
（2）当时，，依题意方程，
即的解就是函数的不动点．
令，
，
令，则，
当时，，当时，，
所以，在上递减，在上递增，
又，，且当时，．
所以，存在唯一，，使．
当时，，即，当时，，即，
所以，在上递减，在上递增．
所以，．
因为，即，也即
所以．
又．
根据零点存在定理，在，内各仅有一个零点，
所以，有且仅有两个零点．即函数有两个不动点．
设是的零点，则，
又，
所以也是的零点．
故所有零点之和等于零．即函数所有不动点之和等于零．