2026年高考数学一轮复重难点培优16圆锥曲线中的光学性质与仿射变换(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

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\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 椭圆的光学性质（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 双曲线的光学性质（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 10
\l "_Tc26803" 题型三 抛物线的光学性质（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 14
\l "_Tc13512" 题型四 仿射变换（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 20
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 24
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 24
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 35
一、圆锥曲线的光学性质
（1）椭圆的光学性质:如图所示,从椭圆的一个焦点发出的光线,被椭圆反射后,必定经过另一个焦点;
如图所示,椭圆在点P处的切线为l,直线交直线于点Q,则PQ平分由角平分线性质定理可得
（2）双曲线的光学性质:如图所示,从双曲线一个焦点发出的光线,被双曲线反射后,反射光线的反向延长线交于另一个焦点,如图所示,双曲线在点处的切线l与直线相交于点Q,则PQ平分,由角平分线性质定理,可得
（3）抛物线的光学性质:如图所示,从抛物线的焦点F发出的光线,被抛物线反射后,得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线;如图所示,设抛物线在P处的切线l交对称轴于点切线l交对称轴于点M,则焦点F是的中点.
二、仿射变换问题
在椭圆中，我们运用坐标变换，则可以得到圆，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来解决，从而使得问题简化，上述变换过程有如下对应关系：
直线的斜率性质：或．
证明：．
图形的面积性质：或，
证明：因为，即证之．
总之，经过仿射变换，绝对量（如坐标、面积、斜率、线段的长等）都发生了变化，相对量（如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等）却没有发生变化.
注意：仿射变换常用于解决面积问题（尤其是一个顶点为原点的三角形面积）、斜率问题、共线线段比例问题等，大题中慎重使用.


题型一 椭圆的光学性质
1．圆锥曲线光学性质（如图1所示）：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点. 如图2，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与的反射，又回到点路线长为；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过两次反射后又回到点路线长为.若与的离心率之比为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为,由椭圆与双曲线的定义求出两个图形中三角形的周长,再出离心率的比值求得，把转化为的关系得答案.
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为,
在图2左边图形中,由椭圆定义可得：①，
由双曲线定义可得：②，
由①②可得：
∴△的周长为.
在图2右图中,光线从椭圆的一个焦点发出，被椭反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线ED经过，则△EDF1的周长为,又椭圆与双曲线焦点相同,离心率之比为，
所以，又两次所用时间分别为m,n,而光线速度相同，
所以.
故选：C
2．（2025·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线均为，求出点到的距离，结合椭圆的定义得到原点到点处切线的距离，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，求出离心率.
【详解】如图，是的平分线，则⊥，
设，则，
根据椭圆的光学性质，点处切线与直线均为，
故点到的距离分别为，
，
∵为的中点，
∴由梯形中位线性质得，原点到点处切线的距离为
，
∴，故，，
又，由余弦定理，可得
，
∴，即，故，
∴ 的离心率为.
故选：C．
【点睛】求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
3．（多选题）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为8c，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据椭圆长轴与短轴以及其定义，可得答案.
【详解】设椭圆的长轴长为.
①若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，得；
②若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时，光走过的路程为2a，所以，得；
③若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时，光走过的路程为6a，所以，得.
故选：BCD.
4．圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点．如图甲，椭圆为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为．由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
（1）椭圆的离心率为 ．
（2）点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影在圆上，则椭圆的方程为 ．
【答案】 /
【分析】（1）利用椭圆的定义，结合已知求出离心率；
（2）根据给定条件，利用光的反射定理结合椭圆定义求出椭圆长半轴长即可求解.
【详解】（1）设椭圆的长轴长为，则由发出的光经椭圆两次反射后回到，
经过的路程为，从而；
（2）如图，延长，交于点，
在中，，由反射角等于入射角，得，
则，且为中点，
在中，，
则，，
所以椭圆方程为．
故答案为： ；
【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：
①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为(A>0，B>0，A≠B)．
5．椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小.
现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为 .
【答案】
【分析】作出图形，延长、交于点，连接，由光线反射可得出，且为的中点，结合中位线的性质和椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出该椭圆的焦距.
【详解】如下图所示：
不妨设椭圆的焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右焦点，连接，
延长、交于点，
由题意可知，点与点关于直线对称，则，且为的中点，
又因为为的中点，则，
所以，点在以圆心为原点，半径为的圆上，故，
由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用光线反射结合椭圆的定义、中位线的性质计算出的值，结合已知条件以及、、的关系求解.
6．在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点．
(1)证明椭圆的光学性质；
(2)如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）．
（i）求面积的最大值；
（ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）当时，面积的最大值为；当时，面积的最大值为；（ii）证明见解析
【分析】（1）设与直线，的夹角分别为，，即证即可；
（2）（i）设，，，结合椭圆方程消元得，由韦达定理得，计算，代入即可求解；
（ii）设两条切线的方程分别为，，消去得：，代入即可求证.
【详解】（1）当时，，，性质成立；
当时，，，，
因为点在椭圆上，所以，，
设与直线，的夹角分别为，，则
．
同理，，，．
该性质成立；
（2）（i）设，，，
所以，消元得，
所以，
所以
．
令，则．
当时，，
当且仅当，即时取等号，得
，
所以的最大值为；
当时，在上单调递增，
时，取最大值，的最大值为．
当时，面积的最大值为；
当时，面积的最大值为．
（ii）设两条切线的方程分别为，，消去得：
，
，，
因为，所以．
点在定直线上．

题型二 双曲线的光学性质
1．圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，当入射光线和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），，则该双曲线的离心率为（ ）

A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义表示出，利用勾股定理表示出，根据双曲线的定义得到，即得离心率.
【详解】设双曲线C的焦距为，因为，，
所以，，
所以，故该双曲线的离心率为．
故选：B
2．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率.
【详解】由题意知延长 则必过点 ，
，
设，
则，，
由双曲线的定义可得
，，
由可得，
在中，由余弦定理
可得，
在中，由余弦定理
可得
解得：，
则，
故选：D
3．（2025·广东佛山·三模）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为 ．
【答案】8
【分析】由双曲线的性质即可求解.
【详解】设光线与双曲线的交点为，双曲线的左焦点为．由题意知，共线，
故路径长．
故答案为：8.
4．圆锥曲线因其特殊的形状而存在着特殊的光学性质.我们知道，抛物线的光学性质是平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点；双曲线的光学性质是从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.卡式望远镜就是应用这些性质设计的.下图为卡式望远镜的中心截面示意图，其主要由两块反射镜组成，主镜是中央开孔的凹抛物面镜，副镜是双曲线左支的旋转面型凸双曲面镜，主镜对应抛物线的顶点与副镜对应双曲线的中心重合，当平行光线投射到主镜上时，经过主镜反射，将汇聚到主镜的焦点处，但光线尚未汇聚时，又受到以为焦点的凸双曲面镜的反射，穿过主镜中心的开孔后汇聚于另一个焦点处.以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系.若米，凹抛物面镜的口径为米，凸双曲面镜的口径为1米，要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜的中央孔洞，则孔洞直径最小为 米.
【答案】
【分析】根据抛物线C的焦点坐标为，求得其方程；根据，求得的坐标，由，求得的纵坐标，再根据，求得其横坐标，再利用得到答案.
【详解】因为曲线C的焦点坐标为，
所以，则抛物线C的方程为，
因为，
所以，则，解得,
，
设，又，所以，
易知，则
则，解得，
根据题意，从点反射，与轴的交点，此时孔洞半径最小，即.
易知，则,
即，解得,直径为.
所以要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜的中央孔洞，则孔洞直径最小为.
故答案为：.

题型三 抛物线的光学性质
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为，平行于x轴的光线从点射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】由题意求出A点坐标，根据光线反射的性质求出反射光线的方程，即可求出B点坐标，利用两点间距离公式，即可求得答案.
【详解】由抛物线C的方程为，可得其焦点为，
由于，故点纵坐标为4，代入中，即，
即，由题意知反射光线经过点，
则的方程为，联立，得，即得，
故，
故选：C
2．（25-26高三上·上海·月考）探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（ ）

A．19B．20C．21D．22
【答案】B
【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果.
【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点，
分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示：

由抛物线方程可知准线方程为，
再由抛物线定义可得，
因此光线从点到点经过的总路程为.
故选：B.
3．（25-26高三上·山西长治·月考）（多选题）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴；一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的反射集中于它的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上的另一点反射后沿直线射出，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是一个直角三角形
C．若延长交直线于点，则点在直线上
D．抛物线在点处的切线分别与直线、所成的角相等
【答案】ACD
【分析】根据题目条件，依次求得，，的坐标，进而求出，，，可判断选项和；求出直线方程进而求出的坐标，可判断选项；通过导数求出切线方程，并根据平面几何知识，三角形的等边对等角及平行线同位角相等，可判断选项
【详解】

由抛物线的方程可知，其焦点的坐标为.
由题目可知，轴，，故点的纵坐标亦为.设点坐标
又因为点在抛物线上，故，解得，故.
由题意可知，平行于轴的光线经抛物线反射后会集中于焦点，因此直线经过点.
直线斜率为，因此直线的方程为.
直线与抛物线交于，两点，联立方程，解得，.
因此，.故选项正确.
，.故.
，，所以.
因此，不是直角三角形.故选项错误.
由，两点坐标可知，直线的方程为.
直线与直线相交于，，解得.
又因为光线经抛物线的焦点，故经过点反射后，直线平行于轴.因此.
故点在直线上.故选项正确.

当，抛物线的方程可表示为.
求导得，故过作抛物线的切线斜率为.故该切线方程为.
设该切线在点上方有一点，且与轴相交于.易知.
故，.因此.
所以.
又因为轴，所以.
故.即点处的切线分别与直线、所成的角相等.故选线正确.
故选：
4．抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若．则 ， ．

【答案】 /
【分析】根据题意，由抛物线的光学性质即可得到，再结合抛物线的性质即可得到，从而得到结果.
【详解】由抛物线的光学性质知平分，又，所以，所以，
由得，
设准线交轴于点，则，且，且，所以
，所以．
故答案为：；.
5．（2025·河南安阳·一模）设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点.
(1)若且，求直线的方程；
(2)设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点；
(3)若的焦点为，点，在的准线上的射影分别为点，，证明：点是的外心.附：抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）作图，由对称性得到两条切线斜率，然后由导数求得切点即坐标，然后得到直线的方程；
（2）设直线方程和点坐标，由导数得出直线方程，然后得到点坐标，同理求出点坐标.联立直线方程和抛物线方程，得到一元二次方程，由韦达定理得到坐标的参数的关系.联立直线的方程求得点坐标.由三点坐标求得三角形外接圆圆心和半径，从而得到三角形外接圆的方程，然后得到定点；
（3）作图，由抛物线的光学性质得到角相等，再由抛物线的性质得到三角形全等，从而证明点到三个点距离相等，从而得证.
【详解】（1）根据对称性可知在，两点处的切线斜率为
由得，从而，
令，得，所以，
所以直线的方程为.
（2）由题意可设直线，点，.
因为，所以直线，即，
令，得，所以.
同理，直线，令，得，所以
联立直线与的方程，得，消去整理得，
则，.
由解得所以
因为，，故的外接圆圆心落在直线上，
由，知线段的中点为，，
所以线段的垂直平分线方程为，
令，得，即圆心的坐标为.
设的外接圆半径为，
则，
所以圆的方程为，
即.
令得所以的外接圆过定点.
（3）如图所示，将和视为从焦点射出的光线，直线和分别为，对应的反射光线，则与恰好是反射光线的反向延长线.
由抛物线的光学性质可得，
而，，故，
故，
同理可得，即，即点是的外心.
【点睛】方法点睛，本题考查了抛物线的综合运用.本题中的抛物线是函数关系，所以可以利用导数和切点坐标来求抛物线的切线方程，从而得到三个点的坐标，然后利用直线与抛物线方程得到这三个点坐标的关系，从而找到三个点外接圆的方程，即可求得圆的定点.

题型四 仿射变换
1．已知椭圆的左右顶点为A、B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则直线、的斜率之积为_______.
【答案】
【解析】本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为，其推导方法是设点P的坐标，运用点P的坐标满足椭圆的方程来化简、的斜率之积，得出斜率之积为定值，
其实也可以用仿射变换来证明这一结果，作变换，则椭圆C变换成圆，
如图，在圆中，显然是直径，所以，从而，
又，，所以，故.
2．设直线与椭圆相交于A、B两点，则的面积的最大值为_______.
【答案】
【解析】解法1：当直线的斜率不存在时，设其方程为
联立解得：，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以
当直线l斜率存在时，设其方程为，设，，
联立消去y整理得：，
判别式①，
所以，原点O到直线l的距离，
从而
当且仅当时取等号，此时，
代入①知，故，
综上所述，的面积的最大值为.
解法2：作变换，则椭圆C变成圆，如图，
因为，
所以当时，取得最大值，
因为，所以，从而的最大值为.
3．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，直线与椭圆C交于M、N两点，则四边形的面积的最大值是_______.
【答案】
【解析】解法1：如图1，，，所以A、B两点到直线的距离分别为，，将代入化简得：，解得：，所以，从而四边形的面积
，
当日仅当，即时取等号，所以四边形的面积的最大值是.
解法2：作变换，则椭圆C变成圆，如图2，显然，
由图可知和到直线的距离之和在时取得最大值，且最大值为，所以四边形的面积的最大值为
因为，所以四边形的面积的最大值是.
4．已知椭圆的A、B两点满足直线、的斜率之积为，其中O为原点，点P在射线上，且，若与椭圆交于另一点Q，则_______.
【答案】52
【解析】作变换，则椭圆C变成圆，如图，则，，由题意，所以，从而，显然，，，所以，作于G，则，，因为，所以G为的中点，从而，故，所以在变换前的图形中，.
5．已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时四点分别变换为四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点，当为多少时，能使得过的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大．
【解析】作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆，点坐标分别为，过作两条平行的弦分别与圆交于四点．由平行四边形性质易知，三角形的面积为四点所形成的平行四边形面积的，故只需令三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到即可．由文[2]中的结论，易得当时，三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到．故此题离心率的取值范围为．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ）
A．9cmB．10cmC．14cmD．18cm
【答案】A
【分析】设椭圆的方程为，进而根据题意得，故，再根据椭圆的定义求解即可.
【详解】解：设椭圆的方程为，
因为此椭圆的离心率为，且，
所以，所以，
所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为cm.
故选：A
2．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（ ）

A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长.
【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即．
延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH，
则OH是的中位线，于是，
而点在圆上，则的周长等于．

故选：D.
3．（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论．
【详解】设，，，由题意知，，，
所以，，，所以，
又，所以，解得，
所以.
故选：B.
4．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出椭圆方程和双曲线方程，由椭圆定义和双曲线定义得到相关方程，求出的周长和的周长，进而根据题意得到方程，求出，得到答案.
【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，
由图①可得，
其中，故上面两式相减得，
由图②可得，
故，
由题意得，即，
即，解得，
故的长轴长与的实轴长之比为.
故选：C
5．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.
【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合.
根据双曲线的定义有
所以
根据椭圆的定义由
所以路程
故选：B.
6．（2025·山西吕梁·一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A．B．C．13D．15
【答案】D
【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解.
【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得，
由抛物线的光学性质，得点共线，设，则，
解得，点，于是，，，
所以的周长为.
故选：D
7．（2025·四川乐山·三模）（多选题）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．若直线倾斜角为，则
C．D．与之间的距离为3
【答案】AC
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再逐项分析判断.
【详解】抛物线的焦点为，由轴，，得，
直线斜率，直线方程为，由，得，
对于A，，，A正确；
对于B，，由，，得，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，与之间的距离为，D错误.
故选：AC
8．（多选题）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，则（ ）
A．双曲线的焦点到渐近线的距离为
B．若，则
C．当n过点时，光线由所经过的路程为8
D．反射光线n所在直线的斜率为k，则
【答案】ABD
【分析】对于A，求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式即可判断；对于B，判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于C，利用双曲线的定义直接求得；对于D，先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；
【详解】对于A，由双曲线C的方程为知双曲线的渐近线方程为：，
焦点到直线的距离为：，故A正确；
对于B，若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：
二者联立解得：.故B正确；
对于C，光由所经过的路程为，
故C不正确；
对于D，双曲线的渐近线方程为.
设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.
故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
9．（多选题）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A．B．平分
C．D．延长交直线于点，则三点共线
【答案】BD
【分析】对于A，求出直线的方程并与抛物线方程联立，由韦达定理即可验证；对于BC，先将点坐标求出，由两点间距离公式求出即可验证C，再求出，即可得到，进一步由平面几何知识即可验证B，直接联立两直线方程，验证是否满足即可.
【详解】
对于A，由题意点，即点，抛物线焦点，
所以直线的方程为，即，
将其代入可得，由韦达定理可得到，故A错误；
对于BC，由题意知，，由B选项分析知，即，
从而证得，
所以，
由题意，所以，
所以，即 平分，故B正确，C错误；
对于D，因为，所以在直线方程中令，得，由B选项分析可知，所以由题意得，即的纵坐标相同得三点共线，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是把坐标求出来即可验证AC选项，验证B选项只需验证即可，当然也可以由点到直线的距离公式结合角平分线的定义判定即可，将D选项转换为验证即可顺利得解.
10．如图，作斜率为的直线与椭圆交于 两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
【答案】
【分析】作仿射变换，则椭圆变成圆，则可得，由垂径定理可得的方程，从而可求得的方程
【详解】如图，作仿射变换：，椭圆变为，直线的斜率变为直线的斜率，变为
，
由垂径定理平分，其方程为，
平分，
△内切圆的圆心所在的定直线方程为．
故答案为：
11．已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求 .
【答案】1
【分析】设，由以及解出，代入椭圆方程求出；同理可得；进而求出的值．
【详解】解法1：可得点，设，则，
由可得，即有，
，，两边同乘以，可得，解得，将代入椭圆方程可得，由可得，可得；
故答案为：．
解法2：作变换之后椭圆变为圆，方程为，
，
设，则，
，
∴，
，
∴.
故答案为：．
12．人教A版选择性必修第一册108页例题2涉及到的圆的压缩与拉伸其实是一种仿射变换，又称仿射映射.同理，椭圆经过，变换后可变为平面内的单位圆此时椭圆内接四边形面积S与仿射后的面积的关系为.已知椭圆的右端点与上顶点分别为A和B，过原点的直线与椭圆交于C，D两点，则四边形ACBD面积最大值为 .
【答案】
【分析】解法一：由题意，进行仿射变换，将问题转化为在圆中处理，即可求解.
解法二：设，，联立方程组求出，，求得直线AB方程，进而求得到直线AB的距离，进而可得四边形的面积为，计算可求最大值.
【详解】解法一：令，，则椭圆变为
直线方程变为，,
则，，设的夹角为，
所以四边形的面积，
当且仅当时，等号成立，
所以.
解法二：设，，
联立和消去y得，
所以若，则，
又，，所以直线AB方程：，
点C，D到AB的距离分别为，，
，，
所以，而，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键在于利用斜率表示四边形的面积，再根据解析式，利用基本不等式求得面积的最大值.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·广西·模拟预测）（多选题）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A．面积的最大值为
B．的最大值为7
C．若，则
D．若，垂足为，则
【答案】ABC
【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解.
【详解】由椭圆方程可知：.
对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确；
对于B：因为，则，
可得，当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大，所以的最大值为7，故B正确；
对于C：由椭圆的光学性质，得点 P与l垂直的直线为角的角平分线，
则，
设，则，
可得，
则，
即,
整理可得，解得或，
当时，，M与O重合，不合题意，
所以，即，故C正确；
对于D：如图，延长交于点，
则在中，，
则且为中点，连，
在中，，
则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D错误.
故选：ABC.
2．（多选题）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）

A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13
D．若点坐标为，直线与相切，则
【答案】ABD
【分析】A选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断；B选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得；C选项，由双曲线定义可判断；D选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得.
【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，
选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；
选项B，由双曲线的定义知，，
若，则，
因为，
所以，
解得，即B正确；
选项C：，即C错误；
选项D，因为平分，由角分线定理知，，
所以，
又，
所以，解得，即D正确.
故选：ABD.
3．Р是椭圆上任意一点，O为坐标原点，，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且，则面积为 ．
【答案】
【分析】通过伸压变换将椭圆变成圆再还原回去.
【详解】作变换之后椭圆变为圆，方程为，
是的重心，又O是的外心
′是等边三角形，
∴．
故答案为：
4．椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 .动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据椭圆定义可得出，可得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，可求出的值，进而可得出，根据椭圆的光学性质可得出点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的几何性质可求得的取值范围.
【详解】根据椭圆定义得，
所以，，
当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，
因为的最大值为，且，则，解得，
则.
设切椭圆于点，
由椭圆的光学性质可得、、三点共线，，
则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以，到直线的距离为，
由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
5．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【分析】结合双曲线的光学性质可知，为双曲线的左焦点，进而结合正弦定理可设，，，，再根据双曲线的定义可得，进而得到，再结合勾股定理可得，进而求解即可.
【详解】由双曲线的光学性质可知，直线，的交点为双曲线的左焦点，
在中，由正弦定理得，
则，设，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
两式作商得，
设，，
由双曲线的定义可知，，
，
解得，则，，，，
所以，则，即，
在中，，
则，则，即，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
6．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛物线的焦点为F，直线，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得，则满足条件的所有的值为 ．
【答案】或
【分析】设，易知抛物线焦点为，为直线上的动点，设，根据结合距离公式，可得，根据方程有唯一解列方程求解即可.
【详解】设，易知抛物线焦点为，
为直线上的动点，设，
由
，
，即代入，
，
（1）当时，，
由得，
此时方程只有一个解，满足题意，
（2）当时，，
解得，代入可得
求得，可得
的值为或
故答案为：或.
7．已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出T点，利用斜率之积为列出方程化简即可；（2）当M为椭圆顶点时结论显然成立，当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立，只需证明法线平分．
【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设，直线的斜率分别为，，由题意知，，由得，整理得，故椭圆C的方程为．
（2）
当M为椭圆顶点时结论显然成立，当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立，
只需证明法线平分．
设M点坐标为，则．
设与椭圆切于M点的切线方程为，
与椭圆方程联立得消去y得：，，
得．
所以切线斜率为，所以法线斜率为，法线方程为，
令，可得法线与x轴交点N的横坐标为，
易知，，所以，，，
所以，，
所以，
则或（舍去），
所以法线MN平分，所以原结论成立．
8．（2025·江西·二模）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题的一类特殊而又巧妙的方法，它充分利用了椭圆与圆的关系，具体的解题方法为：对于椭圆，可由仿射变换，则椭圆的方程变为，直线的斜率与原斜率的关系为，图形的面积与原面积的关系为.现已知椭圆方程为，离心率为，为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线的斜率分别为，两直线的夹角为，试写出与之间的关系式（不必证明）；
(3)过点作交椭圆于点，试利用仿射变换的方法求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)当；当.
(3)
【分析】（1）根据离心率可求出的关系式，根据的面积可求出的关系式，结合椭圆的性质即可求出的值，从而求出椭圆的方程.
（2）根据两直线夹角的范围分别写出以及时，它与两直线斜率的关系式.
（3）首先根据题意设出直线的方程，然后利用仿射变换，得到椭圆的方程、直线的方程、三角形面积的表达式，然后通过判断单调性求出面积的最大值.
【详解】（1）由题意可知为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，即有，即，
又，得，
所以，
从而椭圆的标准方程为.
（2）因为两直线的夹角的取值范围为，
当时，情况1：如图所示，假设直线的斜率分别为，
则.
而，
所以.
情况2：如图所示，
假设直线的斜率分别为，
则.
而，
所以.
当，两直线垂直，.
综上，与之间的关系式为：
当时，；当，.
（3）根据题意画出图像为：
设直线的方程为，直线的方程为，
对椭圆作仿射变换，则椭圆的方程变为圆的方程：，
点对应变为，则，直线的方程为，
直线的方程为，即，
设，则，当且仅当时取等，
，
令，知在上单调递减，
所以.
即，所以，
故的面积的最大值为.
9．仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将由仿射变换得：，，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于两点且，过椭圆外一点作椭圆的两条切线，且，切点分别为．
(1)求证：点的轨迹方程为；
(2)若原点到，的距离分别为，，延长表示距离，的两条直线，与椭圆交于两点，过作交于，试求：点所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．
【答案】(1)证明见解析
(2)是定值，定值为
【分析】（1）利用仿射变换将椭圆方程变为圆的方程，设原斜率分别为，，，则变换后斜率，设变换后坐标系动点，过点的直线为，将圆的方程和直线方程联立，利用直线和圆相切结合韦达定理求解即可；
（2）由图中的垂直关系，利用等面积法和，结合椭圆的性质求解即可.
【详解】（1）由仿射变换得：，，则椭圆变为
设原斜率存在分别为，，，变换后为，，所以，
设变换后的坐标系动点，过点的直线为
到原点距离为，
即，
由韦达定理得：，化简得：
由于原坐标系中，，
所以在原坐标系中轨迹方程为：，
由解得，所以点的轨迹方程为，
当切线斜率不存在时，由椭圆方程易得点在上.
（2）如图所示延长交于，延长交于，
由题意可知，所以四边形为矩形，，
所以，且，
分子分母同乘得，
因为，当直线斜率存在时，设，，
由解得，，所以，
由解得，，所以，
所以，
当斜率不存在时仍成立，
所以，，
所以所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是定值.
项目
变换前
变换后
点的坐标
直线的斜率
图形的面积
点与点的位置关系
中点为M
中点为
线与线的位置关系
直线m和直线n相交
直线和直线相交
直线m和直线n平行
直线和直线平行
点与线的位置关系
点A在直线l上
点在直线上
点A不在直线l上
点不在直线上
等倾斜程度线段长的关系