2026年高考数学一轮复第01讲数列的基本知识与概念(专项训练)(全国通用)(学生版+解析)

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题型01数列的周期性
题型02 数列的单调性
题型03 数列最大（小）项
题型04 数列中的规律问题
题型05 数列中的递推关系
\l "_Tc20184" 02 核心突破提升练
\l "_Tc5699" 03 真题溯源通关练
01 数列的周期性
1．已知数列an满足an+1=1+anan+1，a1=2，则此数列前100项的和为（ ）
A．972B．992C．50D．1032
【答案】D
【详解】由an+1=1+anan+1，得an+1=11−an，
所以an+2=11−an+1=11−11−an=1−1an，an+3=11−an+2=11−1−1an=an，
故数列an是以3为周期的周期数列，
又a2=11−a1=−1，a3=11−a2=12，且100=3×33+1，
则此数列前100项的和S100=a1+a2+a3×33+a1=2−1+12×33+2=1032．
故选：D.
2．已知数列{an}中，a1=12，an+1=11−an，则a8=（ ）
A．−1B．12C．32D．2
【答案】D
【详解】a2=11−a1=2，a3=−1,a4=12,a5=2，数列{an}的周期为3，a8=a2=2，
故选：D.
3．在数列{an}中，a1=2，an+1an−1=1（n≥2，n∈N∗），则a2025=（ ）
A．−1B．1C．12D．−12
【答案】A
【详解】因为a1=2，an+1an−1=1（n≥2，n∈N∗），
所以a2=1−1a1=12，a3=1−1a2=−1，a4=1−1a3=2，⋯，
所以{an}是以3为周期的周期数列，则a2025=a3×674+3=a3=−1.
故选：A.
4．若数列an满足a1=a2=−2，an+2=an+1−an，则a2026−a2025= .
【答案】2
【详解】利用an+2=an+1−an，结合a1=a2=−2，依次迭代可得：
数列an的前n项依次为−2,−2,0，2，2，0，2，2，…，
且从第3项起以3为周期，所以a2026−a2025=a4−a3=2.
故答案为：2
5．设3n（n∈N*）的个位数为an，则a1+a2+⋅⋅⋅+a25= ．
【答案】123
【详解】因为3,32,33,34,35,36,37,38的个位数分别为3,9,7,1,3,9,7,1，
所以数列an是周期为4的周期数列，
所以a1+a2+⋅⋅⋅+a25=3+9+7+1×6+3=123，
故答案为：123
02 数列的单调性
6．数列an的通项公式如下，则递增数列是（ ）
A．an=sinnπ2B．an=12nC．an=2n−3D．an=n2−3n
【答案】C
【详解】A，an=sinnπ2可得，a1=1，a2=0，则 a1>a2，故数列an不是递增数列，故A错误；
B，an=12n可得，a1=12，a2=14，则 a1>a2，故数列an不是递增数列，故B错误；
C，an=2n−3，则an+1−an=2n−1−2n−3=2>0，即an+1>an对任意n∈N∗恒成立，故数列an是递增数列，故C正确；
D，an=n2−3n，则a1=−2，a2=−2，则 a1=a2，故数列an不是递增数列，故D错误.
故选：C
7．已知数列n+λ2n是单调递减数列，则λ的取值范围为（ ）
A．0,+∞B．1,+∞C．1,+∞D．0,+∞
【答案】A
【详解】数列n+λ2n是单调递减数列，
故n+λ2n>n+1+λ2n+1，即2n+2λ>n+1+λ, λ>1−n,
且n∈N+，故λ>0.
故选：A
8．（多选）已知an=3,n=12kn−k+1,n≥2，若数列an不是递增数列，则下列数值中k的可能取值为（ ）
A．1B．13C．22D．23
【答案】BD
【详解】若数列an是递增数列，则有an+1>an,n≥1,n∈Z，
而因为an不是递增数列，
所以k≤0或k>03≥2k⋅2−k+1，解得k≤23，故BD正确.
故选：BD
9．已知数列an=kn2−3n−2为严格增数列，则实数k的取值范围为
【答案】1,+∞
【详解】根据题意，可得∀n∈N∗,an+1>an，即kn+12−3n+1−2>kn2−3n−2，
∴k>32n+1，对∀n∈N∗，
又数列32n+1是单调递减数列，则32n+1≤32+1=1，
∴k>1.
故答案为：1,+∞.
10．已知数列an的通项公式是an=n2−3n−28，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的．
【答案】图象见解析；从第二项开始递增．
【详解】列表如下：
作图如下：
如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增．
03 数列的最大（小）项
11．已知数列an满足an+1=an+3n−16，则数列an的最小项是第（ ）项
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【详解】数列an中，由an+1=an+3n−16，得an+1−an=3n−16，由3n−16a2>a3>a4>a5>a60，当2≤n≤7时，an≤0，
所以当n=7时，Sn取得最小值.
故选：B
14．已知数列an的通项公式为an=n23n，则数列an中的最大项为（ ）
A．89B．23C．6481D．125243
【答案】A
【详解】an+1−an=(n+1)23n+1−n23n=2−n3⋅23n，
当n0，即an+1>an；
当n＝2时，an+1−an=0，即an+1=an；
当n>2时，an+1−an…>an ，
所以数列an中的最大项为a2 或a3 ，且a2=a3=2×23=89.
故选：A.
15．已知数列an的通项公式为an=n−22n−7，则an中的项最大为（ ）
A．15B．0C．−1D．2
【答案】D
【详解】an=n−22n−7=12+34n−14,a1=15,a2=0,a3=−1,a4=2.
当n≥4时，函数y=34n−14单调递减，
则当n≥4时，数列an单调递减，
所以an中的项最大为a4=2.
故选：D.
16．已知Sn为数列an的前n项和，2Sn=3n2+n.
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=26−an⋅2n，求bn取得最大值时n的值.
【答案】(1)an=3n−1
(2)n=7或n=8
【详解】（1）当n=1时，2S1=3+1=4，解得a1=S1=2；
当n≥2时，2an=2Sn−2Sn−1=3n2+n−3n−12+n−1=6n−2，即an=3n−1.
因为a1=2也满足an=3n−1，所以an=3n−1.
（2）由（1）得bn=27−3n⋅2n，所以bn+1−bn=[27−3(n+1)]⋅2n+1−27−3n⋅2n=21−3n⋅2n，
所以当n0，即bn+1>bn；
当n=7时，bn+1−bn=0，即b7=b8；
当n>7时，bn+1−bn