2025高考数学专项讲义第02讲等差数列及其前n项和(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第02讲等差数列及其前n项和(学生版+解析)，共90页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测，整体点评，通性通法等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.理解等差数列的概念
2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题
4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系
5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和。需综合复习
知识讲解
等差数列的定义
从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用表示
数学表达式
通项公式
，，，
等差数列通项公式与函数关系
令，，等差数列为一次函数
等差中项
若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项
等差数列通项公式的性质
（1）若，或
（2）若，为等差数列，则，仍为等差数列
等差数列前n项和
或
等差数列前n项和与函数关系
令，，
等差数列前项和公式是无常数项的二次函数
等差数列前n项和的性质
，，……仍成等差数列
为等差数列
推导过程：（一次函数）为等差数列
证明数列为等差数列的方法
（1）（为常数）为等差数列
（2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数）
（3）若，则，，三个数成等差数列
考点一、等差数列的项、公差及通项公式的求解
1．（2024·安徽池州·模拟预测）在等差数列中，，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
2．（2022·河南南阳·三模）已知数列为等差数列，，，则该数列的公差为 .
3．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列满足，则（ ）
A．3B．C．1D．
4．（2024·山东·二模）已知数列．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和的最大值．
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列满足，且，则首项（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·四川雅安·三模）在等差数列中，若，则（ ）
A．21B．24C．27D．29
3．（2024·陕西安康·模拟预测）在公差为的等差数列中，，则（ ）
A．1或2B．1C．D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知是递增的等差数列，，是方程的根.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
考点二、等差中项的应用
1．（23-24高二下·北京怀柔·期中）若，，成等差数列，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（重庆·高考真题）在等差数列中，若=4，=2，则=
A．-1B．0C．1D．6
1．（23-24高二上·上海宝山·期末）与的等差中项为 ．
2．（24-25高二上·上海·课前预习）等差数列的前三项依次为，，，则x的值为 ．
3．（江西·高考真题）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ ．
考点三、等差数列的性质
1．（江西·高考真题）已知等差数列，若，则 .
2．（北京·高考真题）在等差数列中，已知，那么等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2024·河南郑州·一模）已知数列为等差数列，，则（ ）
A．19B．22C．25D．27
1．（2024·广西柳州·模拟预测）在等差数列中，若，则（ ）．
A．7B．12C．16D．24
2．（2023·广西南宁·模拟预测）在等差数列中，若，则 .
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则 .
考点四、等差数列前项和的求解
1．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
2．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
4．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
5．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在等差数列中，公差，为其前项和，若，则（ ）
A．B．0C．D．
2．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和记为，若，，则（ ）
A．51B．102C．119D．238
3．（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
4．（2024·吉林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值．
5．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．
考点五、等差数列前项和的性质
1．（辽宁·高考真题）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63B．36C．45D．27
2．（全国·高考真题）等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（ ）
A．130B．170C．210D．260
3．（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则 ．
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
1．（陕西·高考真题）等差数列的前项和为，若则等于
A．12B．18C．24D．42
2．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（ ）
A．16B．12C．10D．8
3．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．30B．58C．60D．90
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ．
5．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A．B．C．D．E．均不是
考点六、等差数列通项公式与前项和的关系
1．（全国·高考真题）设等差数列的公差是d，如果它的前n项和，那么（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知各项均为正数的数列的前项和为，且为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和.
1．（2023·四川达州·统考二模）已知是数列前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记，分别为数列的前n项和与前n项积，求．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
3．（湖南·高考真题）已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
考点七、等差数列通项公式与前项和的最值
1．（2024·山东泰安·三模）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（ ）
A．9B．10C．10或11D．11
3．（2024·海南海口·模拟预测）已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．
B．
C．当时，取最大值
D．当时，的最小值为27
4．（2024·黑龙江吉林·二模）已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（上海·高考真题）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
3．（2024·辽宁·二模）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．与均为的最大值D．满足的n的最小值为14
4．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列中，，，若，，则（ ）
A．有最小值，无最小值B．有最小值，无最大值
C．无最小值，有最小值D．无最大值，有最大值
5．（全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
16．
考点八、等差数列中的数学文化
1．（2024·辽宁·三模）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止……，根据这些信息第三个孩子分得（ ）斤棉花？
A．99B．116C．133D．150
2．（2024·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板 块．
3．（2024·内蒙古·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 .
1．（2024·陕西安康·模拟预测）“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密､秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（ ）
A．1157B．1177C．1155D．1122
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）《算学启蒙》是元代著名数学家朱世杰的代表作之一．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，可以利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有143根相同的圆形小木棍，小军模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比它上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．2B．9C．11D．13
3．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .

考点九、等差数列奇偶项的和
1．（21-22高二上·上海徐汇·期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ．
3．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知数列的前项和为，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．为奇数时，
5．（2023·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
1．（22-23高一下·四川·阶段练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
2．（2021·山东济南·二模）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的前40项和为 .
4．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列满足，且当时，有.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令，求数列的前项和.
5．（21-22高三上·湖北·期中）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.
(1)求，；
(2)设，求数列的前8项和.
考点十、等差数列的证明
1．（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
2．（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前n项和.
2．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)数列的每一项均为正数，，数列的前n项和为，当时，求n的最小值．
2024．2024．
一、单选题
1．（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（ ）
A．4B．C．D．
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）在等差数列中，，则（ ）
A．130B．260C．320D．520
二、多选题
3．（2024·云南·二模）记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．存在常数A、B，使数列是等比数列D．对任意常数A、B，数列都是等差数列
三、填空题
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）在等差数列中，，则的前19项和 ．
5．（2024·河南开封·三模）记为等差数列的前n项和，若，，则 ．
四、解答题
6．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求 .
7．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
8．（2024·湖南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)记是数列的前项和，证明: .
9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．
(1)求数列的公差；
(2)若，求数列的前n项和．
10．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
一、单选题
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）等差数列中，其前n项和为，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·浙江·三模）已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．中最小项为
三、填空题
4．（2024·四川内江·模拟预测）数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为 ．
5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ．
四、解答题
6．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
7．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
8．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足；
①求证：数列是等差数列；
②若，设数列的前n项和为，求证：．
9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列满足，且对任意均有．
(1)设，证明为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)已知，求．
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知数列满足：，，其中为数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列（），对任意正整数k，当时，都有成立，求m的最大值．
1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
2．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
3．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
5．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
6．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
7．（2022·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
8．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
10．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
11．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
12．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
2．13．（2020·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则 ．
14．（2020·山东·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
15．（2020·全国·高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
16．（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第19题,17分
等差数列通项公式的基本量计算
数列新定义
2024年新Ⅱ卷，第12题,5分
等差数列通项公式的基本量计算
求等差数列前n项和
无
2024年全国甲卷，第4题,5分
等差数列通项公式的基本量计算
利用等差数列的性质计算
等差数列前n项和的基本量计算
无
2023年新I卷，第7题,5分
由递推关系证明数列是等差数列
等差数列前n项和的性质
充分条件与必要条件的判定
2023年新I卷，第20题,12分
等差数列通项公式的基本量计算利用等差数列的性质计算
等差数列前n项和的基本量计算
无
2023年新Ⅱ卷，第18题,12分
利用定义求等差数列通项公式
等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和
分组 (并项)-奇偶项求和
2022年新I卷，第17题,10分
利用等差数列通项公式求数列中的项
利用与关系求通项或项
累乘法求数列通项
裂项相消法求和
2022年新Ⅱ卷，第3题,5分
等差数列通项公式的基本量计算
数学新文化
已知斜率求参数
2022年新Ⅱ卷，第17题,10分
等差数列通项公式的基本量计算
等比数列通项公式的基本量计算
数列不等式能成立(有解) 问题
2021年新I卷，第17题,10分
利用定义求等差数列通项公式
求等差数列前n项和
由递推数列研究数列的有关性质
分组 (并项)-奇偶项求和
2021年新Ⅱ卷，第17题,10分
等差数列通项公式的基本量计算
求等差数列前n项和
解不含参数的一元二次不等式
2020年新I卷，第14题,5分
求等差数列前n项和
无
2020年新Ⅱ卷，第15题,5分
求等差数列前n项和
无
第02讲 等差数列及其前
（10类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.理解等差数列的概念
2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题
4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系
5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和。需综合复习
知识讲解
等差数列的定义
从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用表示
数学表达式
通项公式
，，，
等差数列通项公式与函数关系
令，，等差数列为一次函数
等差中项
若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项
等差数列通项公式的性质
（1）若，或
（2）若，为等差数列，则，仍为等差数列
等差数列前n项和
或
等差数列前n项和与函数关系
令，，
等差数列前项和公式是无常数项的二次函数
等差数列前n项和的性质
，，……仍成等差数列
为等差数列
推导过程：（一次函数）为等差数列
证明数列为等差数列的方法
（1）（为常数）为等差数列
（2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数）
（3）若，则，，三个数成等差数列
考点一、等差数列的项、公差及通项公式的求解
1．（2024·安徽池州·模拟预测）在等差数列中，，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质计算即可.
【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以，又，
所以公差．
故选：C
2．（2022·河南南阳·三模）已知数列为等差数列，，，则该数列的公差为 .
【答案】3
【分析】由已知，利用等差数列通项公式列方程求公差即可.
【详解】设公差为d，则，又，
则，可得.
故答案为：3
3．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列满足，则（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】B
【分析】设等差数列的公差为，由通项公式写出和，都代入中，化简即可求出.
【详解】设等差数列的公差为，则，，
因为，可得，
所以有，解得，
故选：B.
4．（2024·山东·二模）已知数列．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和的最大值．
【答案】(1)；
(2)28
【分析】（1）根据题目条件得到是以13为首项，为公差的等差数列，求出通项公式；
（2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5项开始小于0，从而得到数列的前4项和最大，利用求和公式求出答案.
【详解】（1）由，可知，
所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大，
最大值为．
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列满足，且，则首项（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，因为，且，
所以，所以.
故选：A
2．（2024·四川雅安·三模）在等差数列中，若，则（ ）
A．21B．24C．27D．29
【答案】A
【分析】由等差中项的性质、以及等差数列基本量的计算得公差，进一步即可得解.
【详解】在等差数列中，若，即
则公差，所以.
故选：A.
3．（2024·陕西安康·模拟预测）在公差为的等差数列中，，则（ ）
A．1或2B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等差数列通项列式求解即得.
【详解】在等差数列中，
则，整理得，
所以.
故选：D
4．（2024高三·全国·专题练习）已知是递增的等差数列，，是方程的根.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列基本量的计算可得公差，进而即可得解；
（2）直接由等比数列求和公式以及错位相减法即可运算求解.
【详解】（1）因为是方程的两个根，且为递增等差数列，
所以，公差，
所以.
（2）由(1)知，
所以，①
，②
①-②得
，
所以，.
考点二、等差中项的应用
1．（23-24高二下·北京怀柔·期中）若，，成等差数列，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用等差中项，即可求出结果.
【详解】因为，，成等差数列，所以，解得，
故选：B.
2．（重庆·高考真题）在等差数列中，若=4，=2，则=
A．-1B．0C．1D．6
【答案】B
【详解】在等差数列中，若，则，解得，故选B.
1．（23-24高二上·上海宝山·期末）与的等差中项为 ．
【答案】3
【分析】根据等差中项的定义求解．
【详解】与的等差中项为．
故答案为：3.
2．（24-25高二上·上海·课前预习）等差数列的前三项依次为，，，则x的值为 ．
【答案】
【分析】根据等差中项知识即可求解.
【详解】等差数列的前三项依次为，，，
，则.
故答案为：.
3．（江西·高考真题）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ ．
【答案】35
【详解】因为{an}，{bn}都是等差数列,所以也成等差数列，根据等差数列的性质，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21, a5＋b5成等差数列，因而a5＋b5＝.
考点三、等差数列的性质
1．（江西·高考真题）已知等差数列，若，则 .
【答案】
【详解】根据等差数列的性质和题设条件，求得，结合，即可求解.
【解答】因为等差数列中，满足，
根据等差数列的性质可得，解得，
又由.
故答案为：.
2．（北京·高考真题）在等差数列中，已知，那么等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】设首项为，公差为，由已知有，所以可得的值．
【详解】解：为等差数列，设首项为，公差为，
由已知有，，
即．
故选：A．
3．（2024·河南郑州·一模）已知数列为等差数列，，则（ ）
A．19B．22C．25D．27
【答案】A
【分析】依题意由等差数列性质计算可得，利用等差中项计算可得，可求出.
【详解】根据等差数列性质，由可得，
所以可得，
又可得，
所以.
故选：A
1．（2024·广西柳州·模拟预测）在等差数列中，若，则（ ）．
A．7B．12C．16D．24
【答案】B
【分析】观察数列下标根据等差数列的性质进行求解．
【详解】在等差数列中，
若，则，
所以，所以．
故选：B
2．（2023·广西南宁·模拟预测）在等差数列中，若，则 .
【答案】24
【分析】
由等差中项的性质即可求解.
【详解】因为在等差数列中，有，所以由，
得，，又，所以.
故答案为：24
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则 .
【答案】
【分析】由等差数列前项和公式可得，再根据等差数列的性质求解即可.
【详解】由，得，
则.
故答案为：.
考点四、等差数列前n项和的求解
1．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
【答案】95
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.
【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则.
故答案为：.
2．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
3．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
4．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
5．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在等差数列中，公差，为其前项和，若，则（ ）
A．B．0C．D．
【答案】B
【分析】根据求出，利用等差数列求和公式和性质得到答案.
【详解】，.
故选：B.
2．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和记为，若，，则（ ）
A．51B．102C．119D．238
【答案】B
【分析】结合等差数列的性质先求出公差，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
【详解】等差数列中，，，即，
所以，
则.
故选：B.
3．（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出的公差为，利用等差数列通项公式和前项和公式求解即可；
（2）由（1）判断出前六项为正，后四项为负，进而利用前项和公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，，，
解得，，
故.
（2）由（1）知，，
，，，
．
4．（2024·吉林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用等差数列基本量求得和公差，即可写出通项公式；
（2）根据等差数列的前项和公式求得，再解不等式，即可求得结果.
【详解】（1）设的公差为，由题可得：，
解得，故.
（2）根据（1）中所求可得，
由，则可得，即
解得（舍去）或，
故的最小值为.
5．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解；
（2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解．
【详解】（1）设数列 的公差为d，则根据题意可得，
解得，则．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到，
又恒成立，则恒成立，
设，则，
当时，，即；
当时，，则，则；
则，故，
故实数λ的取值范围为．
考点五、等差数列前n项和的性质
1．（辽宁·高考真题）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63B．36C．45D．27
【答案】C
【分析】根据等差数列的前项和的性质，列式求解.
【详解】由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，
即，，成等差数列，所以，所以.
即.
故选：C
2．（全国·高考真题）等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（ ）
A．130B．170C．210D．260
【答案】C
【分析】根据等差数列前项和的性质，结合已知数据，求解即可.
【详解】利用等差数列的性质：成等差数列，
所以，即，解得.
故选：C.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则 ．
【答案】
【分析】由等差数列前项和公式计算的等量关系，代入所求即可求出结果.
【详解】设数列的公差为，
，，
则，
故答案为：.
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列通项公式及求和公式可得结果.
【详解】因为为等差数列的前项和，所以可设，（等差数列前项和的二级结论）
同理因为为等差数列的前项和，所以可设．
又，所以，即，
整理得，解得．
不妨设，则，则，故，
故选：D．
5．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】A
【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为数列均为等差数列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故选：A．
1．（陕西·高考真题）等差数列的前项和为，若则等于
A．12B．18C．24D．42
【答案】C
【分析】数列每2项构成的等差数列的公差为6，计算得到答案.
【详解】第一个2项和为2，第二个2项和为8，则每2项构成的等差数列的公差为6，
第三个2项和为14，则，
故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列和的性质，意在考查学生的计算能力和应用能力.
2．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（ ）
A．16B．12C．10D．8
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式，即可求解.
【详解】由，得①，
因为，，
所以，即②，
①②两式相加，得，即，
所以，所以，解得.
故选：B.
3．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．30B．58C．60D．90
【答案】D
【分析】借助等差数列片断和的性质计算即可得.
【详解】由数列为等差数列，
故、、、、亦为等差数列，
由，，则，
故，，，
即有，，.
故选：D.
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ．
【答案】
【分析】根据设出的二次形式，由此求得，即可化简得到结果.
【详解】因为等差数列和的前n项和分别为和，
故可设，
所以，
所以.
故答案为：.
5．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【答案】C
【分析】运用等差数列的等和性及等差数列前项和公式求解即可.
【详解】由等差数列的等和性可得，
.
故选：C.
考点六、等差数列通项公式与前n项和的关系
1．（全国·高考真题）设等差数列的公差是d，如果它的前n项和，那么（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由与的关系即可求得数列通项，由等差数列的定义可求得公差.
【详解】当时，，
当时，，
符合的情况，
故，所以，
，故公差.
故选：C
2．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知各项均为正数的数列的前项和为，且为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和.
【答案】(1)
(2)2500
【分析】（1）由为等差数列，得到，且，再利用数列通项与前n项和 的关系求解；
（2）根据题意，由，得到，即，从而求解.
【详解】（1）解：为等差数列，
，且，
当时，，可得；
当时，，
则，
由，故，
所以是首项为1，公差均为1的等差数列，
故.
（2）由，即，即，
所以，
所以的前50项和为.
1．（2023·四川达州·统考二模）已知是数列前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记，分别为数列的前n项和与前n项积，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，当时，求出，检验当时成立，即可求出通项公式；
（2）由（1）得出，可知为等比数列，根据等比数列前项和公式求出，再将数列每一项相乘，底数相同指数相加，指数为等差数列，根据等差数列前n项和公式，计算出指数，求出，即可求出．
【详解】（1）∵，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴的通项公式为；
（2）∵，，
∴，
∴，
，
∴．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系，结合累乘法即可求出数列的通项公式；
（2）分和利用等差数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）由，则，
两式相减得：，
整理得：，
即时，，
所以时，，
又时，，得，也满足上式．
故．
（2）由（1）可知：．
记，设数列的前项和．
当时，；
当时，
综上：
3．（湖南·高考真题）已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）;(2)
【详解】试题分析:(1)题目已知之间的关系,令,利用,即可求的的值,令,利用与前n项和之间的关系即可得到,令检验首项即可得到的通项公式.
(2)把(1)得到的通项公式代入可以得到是由等比数列,数列之和,才用分组求和法,首先利用等比数列前n项和公式求的等比数列的前n项和,再利用
对数列进行分组
即可求的数列的前n项和
(1)当时,;
当时,
检验首项符合,所以数列的通项公式为.
(2)由(1)可得,记数列的前项和为,
则
故数列的前项和为
考点：数列前项和 等差数列 等比数列 分组求和法
考点七、等差数列通项公式与前n项和的最值
1．（2024·山东泰安·三模）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案.
【详解】设的公差为，因为，，
可得 ，解得，所以，
可得，
所以当时，取得最小值.
故选：D.
2．（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（ ）
A．9B．10C．10或11D．11
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质求解即可.
【详解】由等差数列的性质知， 即．
又，故，则，，则，
则当取最小值时，.
故选：B．
3．（2024·海南海口·模拟预测）已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．
B．
C．当时，取最大值
D．当时，的最小值为27
【答案】ABD
【分析】由等差中项的性质判断AB；由A和等差数列的前n项和判断C；由等差数列的前n项和和等差中项判断D.
【详解】A：首项为正数的等差数列的前项和为，
所以，
若，则一定大于零，不符合题意，
所以，，故A正确；
B：由A可知，
，故B正确；
C：由A可知，因为，，可知，故，取最大值，故C错误；
D：，，故D正确.
故选：ABD.
4．（2024·黑龙江吉林·二模）已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由题意可得，从而可求出，即可判断A；再结合等差数列的性质及前项和公式即可判断BCD.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
因为，
所以当时，，当时，，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法：
（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）；
（2）借助二次函数的图象及性质求解.
5．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根据条件，可得数列为递减数列，且，，可判断得解.
【详解】在等差数列中，，由，可得，
，，且数列为递减数列，
所以使得前n项的和最大的n值为8.
故选：B.
2．（上海·高考真题）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
【答案】C
【分析】由可判断B；由，分析可判断A；由可判断C；由，可判断D.
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A正确；
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的.
∵，，∴与均为的最大值，故D正确；
故选：C
3．（2024·辽宁·二模）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．与均为的最大值D．满足的n的最小值为14
【答案】BCD
【分析】由可判断A错误；由A可得B正确；由，可得C正确；由等差中项和前项和的性质可得D正确.
【详解】A：因为，所以，
所以，故A错误；
B：由A的解析可得B正确；
C：因为，，所以与均为的最大值，故C正确；
D：因为，由，，
故D正确；
故选：BCD.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列中，，，若，，则（ ）
A．有最小值，无最小值B．有最小值，无最大值
C．无最小值，有最小值D．无最大值，有最大值
【答案】AD
【分析】
先利用等差数列的通项公式求得基本量，从而得到，利用它们的表达式进行分析即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，
依题意，得，解得，
，
，
当时，有最小值无最大值，
而，
易得，，且，
当时，，
当时，有最大值，无最小值.
故选：AD.
5．（全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）；（2），最小值为–16．
【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；
（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.
【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法
设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．
[方法二]：函数+待定系数法
设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．
（2）[方法1]：邻项变号法
由可得．当，即，解得，所以的最小值为，
所以的最小值为．
[方法2]：函数法
由题意知，即，
所以的最小值为，所以的最小值为．
【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；
（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；
方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．
考点八、等差数列中的数学文化
1．（2024·辽宁·三模）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止……，根据这些信息第三个孩子分得（ ）斤棉花？
A．99B．116C．133D．150
【答案】A
【分析】先将问题情境转化为等差数列模型解决，其中996为其前项的和，为其公差，再由等差数列的通项公式及其前项和公式求解即可.
【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，
设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，
则由题意得：，
解得：，
所以．
故选：A
2．（2024·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板 块．
【答案】
【分析】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是等差数列，且公差为，，设每层有环，则，，根据等差数列前项和公式求出，再求出即可.
【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是等差数列，且公差，，
设每层有环，则，，
所以，即，
即，解得或（舍去），
所以，则，
即上层有扇形石板块.
故答案为：．
3．（2024·内蒙古·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 .
【答案】/131072
【分析】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，，由等比数列的性质求出的通项公式，再证得是与首相和公差均为的等差数列，即可求出的通项公式，进而求出答案.
【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，
则，.
又，，所以，，
则，所以，
所以是首项和公差均为的等差数列，
所以，
所以，所以.
故答案为：.
1．（2024·陕西安康·模拟预测）“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密､秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（ ）
A．1157B．1177C．1155D．1122
【答案】A
【分析】由题意可知，求出，即可求解.
【详解】由题可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，得，，
所以的末位数依次为，故加密编号为1157.
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）《算学启蒙》是元代著名数学家朱世杰的代表作之一．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，可以利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有143根相同的圆形小木棍，小军模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比它上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．2B．9C．11D．13
【答案】ACD
【分析】设该“等腰梯形垛”最上面一层有根木棍，共有层，由等差数列的前项和可得，分类讨论，或，解方程即可得出答案.
【详解】设该“等腰梯形垛”最上面一层有根木棍，共有层，则，
即．因为，
所以或或，
解得或或.
故选：ACD．
3．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .

【答案】
【分析】根据题意分析可得：每段圆弧的圆心角为，半径满足，结合等差数列的通项公式和求和公式分析运算.
【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为，
设第段圆弧的半径为，则可得，
故数列是以首项，公差的等差数列，
则，
则“蚊香”的长度为
.
故答案为：.
考点九、等差数列奇偶项的和
1．（21-22高二上·上海徐汇·期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.
【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，
奇数项之和为，
偶数项之和为，
所以奇数项之和与偶数项之和的比为，
故选：D
2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ．
【答案】10
【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.
【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为，
故，解得.
故答案为：10
3．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，首项为，
则，所以，
因为，即，则，
等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，
所以.
故选：B
4．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知数列的前项和为，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．为奇数时，
【答案】ABD
【分析】由题设有，讨论的奇偶性，结合等差数列定义、前n项和公式判断各项正误.
【详解】由，则，两式作差，得，
，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即；
，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即；
所以，A对，
，B对；
，C错；
为奇数时，
，D对.
故选：ABD
5．（2023·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)当为偶数时, ; 当为奇数时, ;
【分析】（1）根据的关系可得，进而根据等差数列的性质即可求解，
(2)数列的前项的和分奇偶求和,先求，
又，，，是首项为2，公差为2的等差数列，再求奇数项和即可.
【详解】（1）由得时，
两式相减得,整理得
因为，所以,所以数列是以为公差的等差数列
在中令解得
所以.
（2）当时
，
又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，
故．所以
当时
，
又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，
故．所以
当为偶数时, ; 当为奇数时, ;
1．（22-23高一下·四川·阶段练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
【答案】B
【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可
【详解】奇数项共有项，其和为，
∴．
偶数项共有n项，其和为，
∴．
故选：B．
2．（2021·山东济南·二模）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题可设等差数列共有项，然后通过即可得出结果.
【详解】设等差数列共有项，
则，，中间项为，
故
，
，
故选：B.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的前40项和为 .
【答案】
【分析】根据题中递推式可求得，，即的奇数项为首项为1公差为5的等差数列，偶数项是首项为3公差为5的等差数列，再利用分组并项求和从而可求解.
【详解】因为，，又，所以，
即，所以数列的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列；
同理，由知，数列的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列．
所以前40项和为．
故答案为：.
4．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列满足，且当时，有.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由题可知，从而数列为等差数列；
（2）根据的奇偶性可得，从而可得.
【详解】（1）证明：由题易知数列的各项都不为0，
当时，，
∴.
∴数列是首项，公差的等差数列.
（2）由（1）得，
∴.
，
，
…
，其中.
∴当为偶数时，；
当为奇数时，为偶数，
∴.
5．（21-22高三上·湖北·期中）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.
(1)求，；
(2)设，求数列的前8项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，将原式化简得，当时，求得，当时，由和的关系得出，由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列，最后根据等差数列的通项公式和前项和公式求出，；
（2）根据题意，化简得，从而得出，代入计算即可得出结果.
【详解】（1）解：由原式可得：，
当时，；
当时，，
两式作差可得：，
所以，
又因为，则，所以，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，，
∴，；
（2）解：，
即，
所以
，
即数列的前8项和.
考点十、等差数列的证明
1．（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【答案】证明见解析.
【分析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.
【详解】∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
【点睛】在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况.
2．（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用等差数列的定义即可证明；
（2）根据（1）问，求出数列的通项公式，从而求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式，最后利用裂项相消求和法求得
【详解】（1）证明：令，又，则有
，
又，所以
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）知，，
又，所以，
所以，
所以
2．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)数列的每一项均为正数，，数列的前n项和为，当时，求n的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)2024．
【分析】（1）由与等差数列的定义，可证结论成立.
（2）先利用裂项求和法求，再解不等式可得n的最小值.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以，所以（常数），
故数列是以为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知，，得
所以
，
当时，即，所以n的最小值为2024．
一、单选题
1．（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】利用下标和性质计算可得.
【详解】因为，则，又，则，
解得，
所以.
故选：C
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）在等差数列中，，则（ ）
A．130B．260C．320D．520
【答案】B
【分析】根据等差数列前n项和公式计算即可.
【详解】根据等差数列求和.
故选：B.
二、多选题
3．（2024·云南·二模）记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．存在常数A、B，使数列是等比数列D．对任意常数A、B，数列都是等差数列
【答案】ABC
【分析】根据与的关系求得可判断A；由可判断B；取可得是公比为1的等比数列，可判断C；当时，根据等差数列定义验证，可判断D.
【详解】对于A，若，则，A正确；
对于B，若，则，B正确；
对于C，由得，
当时，，
所以，当时，数列是公比为1的等比数列，C正确；
对于D，由上知，当时，若，则，
此时，数列不是等差数列，D错误.
故选：ABC
三、填空题
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）在等差数列中，，则的前19项和 ．
【答案】76
【分析】根据等差数列通项公式，化简表达式可得，再由等差数列的求和公式求得．
【详解】设的公差为d，则，即．
故．
故答案为：76.
5．（2024·河南开封·三模）记为等差数列的前n项和，若，，则 ．
【答案】20
【分析】利用等差数列的性质可得，再利用等差数列前n项和公式即可求解.
【详解】由，
，
故答案为：20
四、解答题
6．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1）由题意 (1)

由(1)(2)可得
所以
（2），，
，故为等差数列，
.
7．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以，解得或，
因为，所以，则；
（2）由（1）可得，
所以
.
8．（2024·湖南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)记是数列的前项和，证明: .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，再用已知条件列出两个方程并解出其中的参数；
（2）直接求出，再用裂项法即可.
【详解】（1）设，则由已知有，.
将第一个等式展开化简可得，故由知.
再代入第二个等式可得，解得，从而.
故的通项公式是.
（2）由于，
故
.
9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．
(1)求数列的公差；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，根据为等差，得到，求出公差；
（2）得到，裂项相消法求和，得到答案.
【详解】（1）设数列的公差为d，则．
因为是等差数列，所以为常数．
，
所以，解得
（2）因为，所以．
，
故．
10．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
【答案】(1)数列的通项公式为；
(2)数列的前20项和为.
【分析】（1）根据等差中项求出，再根据求出公差，最后根据等差数列的通项公式，求出的通项公式；
（2）先写出，对为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出.
【详解】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5，
所以，解得，
因为，
所以，解得，
因为，所以，
所以，
故数列的通项公式为；
（2）由题知，
即
所以
，
故数列的前20项和为.
一、单选题
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）等差数列中，其前n项和为，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，化简条件，确定的正负，由此判断数列的单调性， 判断充分性，再由数列的单调性推出，由此判断的大小关系，判断必要性，由此可得结论.
【详解】设等差数列的公差为，
由，可得，
所以，即，
所以为递减数列，
所以“”是“为递减数列”的充分条件，
若为递减数列，则，
所以，
所以，
所以“”是“为递减数列”的必要条件，
所以“”是“为递减数列”的充分必要条件，
故选：C.
2．（2024·浙江·三模）已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，分和两种情况讨论，结合等差数列的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.
【详解】当时，，得；
当时，，得，
所以“”是“”的充要条件，
故选：C．
二、多选题
3．（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．中最小项为
【答案】BD
【分析】根据题意，结合条件即可得到，即可判断AC，结合等差数列的求和公式即可判断B，再由，或时，；时，即可判断D,
【详解】根据题意：，即，
两式相加，解得：，当时，最大，故A错误
由，可得到，所以，
，
所以，故C错误；
由以上可得：，
，而，
当时，；当时，；
所以使得成立的最小自然数，故B正确.
当，或时，；当时，；
由，
所以中最小项为，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
4．（2024·四川内江·模拟预测）数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得，令，通过裂项相消求得，然后代入即可求解.
【详解】数列满足①，
当时，，即，
当时，②，
由②①得，
数列的所有奇数项，，
数列的所有偶数项，，
综上，数列的通项公式为.
记，
所以数列的前项和为：
，
由得，即，
因为,随着的增大而增大，
故当时，刚好满足，
所以,的最小值为.
故答案为：.
5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得到关于、的二元一次方程组，解方程组，求出、，即可求出数列的通项公式，，由此可得数列的通项公式，分组求和即可求解.
【详解】设等差数列的公差为．由，得①，
由得②，
联立①②，，解得，
所以．
则，
所以
．
故答案为：
四、解答题
6．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由是与的等差中项,可得，化简得，可得，作差可得，则可得的通项公式；
（2）由（1）得，，分组求，可得，可得，即可得证.
【详解】（1）由题意，得，
即，即①，
所以②，
①-②，得，
即.
又，所以.
由是与的等差中项，得当时，
，解得，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
故.
（2）由（1）得，则
，
所以
，
所以，
所以.
7．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列通的项公式；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，即，
所以，即，
当时，，
当时，，满足上式，所以.
（2）由（1）知
则
所以数列的前项和为.
8．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足；
①求证：数列是等差数列；
②若，设数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)①证明见解析 ；②证明见解析
【分析】（1）变形得到，结合，故，从而得到；
（2）①化简得到，利用得到，同理可得，证明出是等差数列；
②求出，结合，得到公差，得到通项公式，所以，裂项相消法求和证明出结论.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以n=1时，，
所以数列是各项为0的常数列，即，
所以．
（2）①由得
所以①
所以②
②-①得：③
所以④
④-③得，所以
即
所以数列是等差数列．
②当时，由得，所以，
又，故的公差为1，所以，
所以，
即
．
【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型：
分式型：，，等；
指数型：，等，
根式型：等，
对数型：，且；
9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列满足，且对任意均有．
(1)设，证明为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)已知，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）令，变形递推关系，结合等差数列定义即可得出证明；
（2）由等差数列通项公式得出，再由累加法得出，结合赋值可得，即可得出通项公式；
（3）分组求和得出，再由裂项相消法求出的前n项和.
【详解】（1）因为，，令，
所以当时，，即，
所以，
所以为等差数列.
（2）由（1）知，，
所以，
即，
所以
，，
所以，，
再由，令，可得，
即，解得，
所以，，
当时，，满足上式.
所以数列的通项公式为.
（3）因为，
所以，
设，
则，
，
所以，，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用等差数列通项公式及累加法求出后，表达式中的求值，首先对所求的式子中赋值得出，.其次要对原式恰当赋值，联立方程求出，具有很强的技巧性.
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知数列满足：，，其中为数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列（），对任意正整数k，当时，都有成立，求m的最大值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由题意利用递推关系式讨论可得数列是等差数列，据此即可确定其通项公式；
（2）求出，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得的最大值．
【详解】（1）因为，所以，
由，得，则，，
由，得，
当时，由，得，
故
整理得，
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，
所以；
（2）由（1）知，,
因为数列为首项为1且公比为正数的等比数列，设公比为q，所以，，
因为，所以，其中，2，3，…，m．
当时，有；
当，3，，m时，有．
设（），则，
令，得，列表如下：
因为，所以．
所以，故，故，
令（），则，
令，则，
当时，，即，
∴在上单调递减，
即时，，则，
下面求解不等式，
化简得，
令，则，
由得，，∴在上单调递减，
又由于，，
∴存在使得，所以，
∴m的最大值为5．
【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：
（1）定义法：（常数）数列为等差数列；
（2）等差中项法：数列为等差数列；
（3）通项公式法：（、为常数，）数列为等差数列.
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则.
故选：D
2．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
3．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
4．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
【答案】(1)，；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，
取，当时，，取，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.
【详解】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
则数列的公比满足，
当时，，所以，
所以，即，
当时，，所以，
所以数列的通项公式为，
其前项和为：.
【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.
5．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
6．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
7．（2022·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【答案】2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
8．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
9．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
10．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
11．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
12．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
13．（2020·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则 ．
【答案】
【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
14．（2020·山东·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
【答案】
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
15．（2020·全国·高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
16．（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第19题,17分
等差数列通项公式的基本量计算
数列新定义
2024年新Ⅱ卷，第12题,5分
等差数列通项公式的基本量计算
求等差数列前n项和
无
2024年全国甲卷，第4题,5分
等差数列通项公式的基本量计算
利用等差数列的性质计算
等差数列前n项和的基本量计算
无
2023年新I卷，第7题,5分
由递推关系证明数列是等差数列
等差数列前n项和的性质
充分条件与必要条件的判定
2023年新I卷，第20题,12分
等差数列通项公式的基本量计算利用等差数列的性质计算
等差数列前n项和的基本量计算
无
2023年新Ⅱ卷，第18题,12分
利用定义求等差数列通项公式
等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和
分组 (并项)-奇偶项求和
2022年新I卷，第17题,10分
利用等差数列通项公式求数列中的项
利用与关系求通项或项
累乘法求数列通项
裂项相消法求和
2022年新Ⅱ卷，第3题,5分
等差数列通项公式的基本量计算
数学新文化
已知斜率求参数
2022年新Ⅱ卷，第17题,10分
等差数列通项公式的基本量计算
等比数列通项公式的基本量计算
数列不等式能成立(有解) 问题
2021年新I卷，第17题,10分
利用定义求等差数列通项公式
求等差数列前n项和
由递推数列研究数列的有关性质
分组 (并项)-奇偶项求和
2021年新Ⅱ卷，第17题,10分
等差数列通项公式的基本量计算
求等差数列前n项和
解不含参数的一元二次不等式
2020年新I卷，第14题,5分
求等差数列前n项和
无
2020年新Ⅱ卷，第15题,5分
求等差数列前n项和
无
x
单调递增
极大值
单调递减