2026年高考数学一轮复第03讲等比数列及其前n项和(专项训练)(全国通用)(学生版+解析)

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题型01 等比数列基本量计算
题型02 等比数列角标和性质
题型03 等比数列片段和性质
题型04 等比数列奇数项与偶数项和问题
\l "_Tc20184" 02 核心突破提升练
\l "_Tc5699" 03 真题溯源通关练
01 等比数列基本量计算
1．设数列an为等比数列，a1=1，a2a3=33，则a5+a6a1+a2=（ ）
A．3B．3C．6D．9
【答案】D
【详解】设等比数列an的公比为q，由a2a3=a12q3=q3=33，解得q=3，
则a5+a6a1+a2=(a1+a2)q4a1+a2=q4=9.
故选：D.
2．已知数列an为等比数列，a1为a2，a3的等差中项，则an的公比为（ ）
A．1或−2B．−2C．2或−1D．1
【答案】A
【详解】因为a1为a2，a3的等差中项，所以a2+a3=2a1，
又因为数列an为等比数列，设公比为q，则有a1q+a1q2=2a1⇒q2+q−2=0⇒q+2q−1=0，
解得q=−2,q=1，
故选：A.
3．在等比数列an中，a3a5a7=−27，又a2=89，则a4=（ ）
A．3B．－3C．2D．－2
【答案】C
【详解】设数列an的公比为q，由a3a5a7=−27，可得a53=−27，故a5=−3，
又a2=89，所以q3=a5a2=−278，故q=−32，所以a4=a5q=2．
故选：C.
4．记Sn为等比数列an的前n项和.若a4−a2=6，a5−a3=12，则Snan=（ ）
A．2n−1B．2−21−nC．2−2n−1D．21−n−1
【答案】B
【详解】设等比数列an的公比为q，
因为a4−a2=6a5−a3=12，则a1qq2−1=6a1q2q2−1=12，解得a1=1q=2，
所以Snan=1−2n1−22n−1=2n−12n−1=2−21−n.
故选：B.
5．各项为正的等比数列an的前n项和为Sn，若S3=7,a3=4，则a5+a3a3+a1=（ ）
A．4B．9C．4或49D．2或23
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为q,q>0，
由S3=7,a3=4，
则a1+a1q+a1q2=7a1q2=4，解得a1=1q=2或a1=9q=−23（舍去），
故a5+a3a3+a1=a3+a1q2a3+a1=q2=4.
故选：A
6．已知等比数列an的前n项和为Sn，若a1=5,4S3=15，则an的公比为（ ）
A．−14B．−34C．−12D．−2
【答案】C
【详解】设等比数列an的公比为q，
因为a1=5且4S3=15，可得a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=5+5q+5q2=154，
即4q2+4q+1=0，解得q=−12．
故选：C．
7．记Sn为等比数列an的前n项和，且an的公比为2，若3a3+4=a5，则S6a3= ．
【答案】634/1534
【详解】由3a3+4=a5可得3a1×22+4=a1×24，解得a1=1，
所以S6=1×1−261−2=63，a3=1×23−1=4，故S6a3=634．
故答案为：634．
8．等比数列an的前n项和为Sn,S10+31S5=0,S3=3，则a4+a2= ．
【答案】−10
【详解】设等比数列an的公比为q；
若q=1，则S10+31S5=0,S3=3即为10a1+31×5a1=0，解得a1=0，不满足题意；
故q≠1，则S10+31S5=0,S3=3即为a1(1−q10)1−q+31×a1(1−q5)1−q=0，整理得：q10+31q5−32=0，
即q5+32q5−1=0，解得q5=−32或q5=1（舍），故q=−2；
又S3=3，即a1(1−q3)1−q=3，则a1=3×1−q1−q3=3×39=1；
故a4+a2= a1q3+a1q=−8−2=−10.
故答案为：−10.
02 等比数列角标和性质
9．已知数列an满足a2=1且2an+an+1=0，则a1a2a3a4a5的值为（ ）
A．32B．16C．−132D．−32
【答案】D
【详解】根据题意，数列an满足2an+an+1=0，a2=1≠0，
则an+1an=−2，即数列an是公比为−2的等比数列，
又由a2=1，则a3=a2q=−2，
则a1a2a3a4a5=a35=−25=−32.
故选：D.
10．在正项等比数列an中，若a2,a10为方程x2−7x+9=0的两个实根，则lg3a1+lg3a2+⋅⋅⋅+lg3a11=（ ）
A．10B．11C．12D．22
【答案】B
【详解】由a2,a10为方程x2−7x+9=0的两个实根，得a2a10=9，
在正项等比数列an中，a62=a2a10=9，a6=3，
所以lg3a1+lg3a2+⋅⋅⋅+lg3a11=lg3(a1a2⋯a10a11)=lg3a611=11lg33=11.
故选：B
11．等比数列an的各项均为正数，且a3a8=3，则lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10=（ ）
A．5B．10C．4D．2+lg35
【答案】A
【详解】由题有a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=a1a10=3，则
lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10=lg3a2a9a3a8a4a7a5a6a1a10=lg335=5.
故选：A.
12．已知在等比数列an中，a1a3a11=8，则a2a8= ．
【答案】4
【详解】设等比数列an的公比为q，则an=a1qn−1，
则a1a3a11=a1⋅a1q2⋅a1q10=8，即a13q12=8，所以a1q4=2，即a5=2.
所以a2a8=a1q⋅a1q7=a12q8=a1q42=a52=4．
故答案为：4.
13．等比数列an的各项为正数，若lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a12=12，则a6a7= .
【答案】9
【详解】因为lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a12=12，
所以lg3a1⋅a2⋯a12=12，又a1a12=a2a11=a3a10=⋯=a6a7，
所以lg3a6a76=12，则lg3a6a7=2，所以a6a7=32=9.
故答案为：9
14．已知等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10= .
【答案】10
【详解】因为数列an为正项等比数列，则a5a6+a4a7=2a5a6=18，即a5a6=9，
所以lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10=lg3a1a2⋅⋅⋅a10=lg3a5a65=5lg39=10.
故答案为：10.
03 等比数列片段和性质
15．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【详解】设Sn为该等比数列的前n项和，由等比数列的性质得S10,S20−S10,S30−S20成等比数列，
∴S20−S102=S10⋅S30−S20，即21−S102=S1049−21，解得S10=7或63.
又当S10=63时，q10=S20−S10S10=21−6363=−23，不符合题意，舍去，故S10=7.
故选：B.
16．已知等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6=14，则S6S12=（ ）
A．14B．110C．113D．116
【答案】B
【详解】设S3=mm≠0，则S6=4m，
因为an是等比数列，所以S3,S6−S3,S9−S6,S12−S9也成等比数列，且公比为S6−S3S3=3，
所以S9−S6=9m,S12−S9=27m，即S9=13m,S12=40m，
所以S6S12=4m40m=110.
故选：B.
17．记等比数列an的前n项和为Sn，若S3=9,S6=12，则S9=（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】A
【详解】因为an为等比数列，所以S3，S6−S3，S9−S6（显然三个数均不为0）也是等比数列.
且S3=9，S6−S3=12−9=3，所以S9−S6=3×39=1.
所以S9=S6+1=12+1=13.
故选：A
18．设Sn是等比数列an的前n项和，若S3=4,a4+a5+a6=8，则S12S6=（ ）
A．2B．73C．157D．5
【答案】D
【详解】由题意得S6−S3=8，S6=S3+8=4+8=12，
因为S3,S6−S3,S9−S6,S12−S9,成等比数列，故S6−S3S3=S9−S6S6−S3=S12−S9S9−S6，
即82=4S9−12，解得S9=28，则S9−S6=28−12=16，
所以162=8S12−28,S12=60.
故S12S6=6012=5.
故选：D
19．已知等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6=14，则S12S3+S6= .
【答案】8
【详解】因为S3S6=14,所以S6=4S3，则S6−S3=3S3，
由等比数列an的前n项和Sn的性质可知，
数列S3,S6−S3,S9−S6,S12−S9是以S3为首项，3为公比的等比数列，
所以S9−S6=32S3=9S3，即S9=9S3+S6=13S3，
S12−S9=33S3=27S3，即S12=27S3+S9=40S3，
所以S12S3+S6= 40S3S3+4S3=8.
故答案为：8.
20．设Sn是等比数列an的前n项和，若S3=4,S6−S3=8，则S12= .
【答案】60
【详解】由题意S3=4,S6−S3=8≠0，
因为S3,S6−S3,S9−S6,S12−S9成等比数列，
故S6−S3S3 =S9−S6S6−S3=S12−S9S9−S6，
即82=4S9−S6，解得S9−S6=16，
则S9−S62=S6−S3S12−S9，
所以162=8S12−S9，S12−S9=32.
所以S12=S3+S6−S3+S9−S6+S12−S9=4+8+16+32=60.
故答案为：60.
04 奇数项与偶数项和问题
21．已知等比数列an共有32项，其公比q=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列an的所有项之和是（ ）
A．30B．60C．90D．120
【答案】D
【详解】设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2,
则S1=a1+a3+a5+⋯+a31，S2=a2+a4+a6+⋯+a32=qa1+a3+a5+⋯+a31=3S1
又S1+60=S2，则S1+60=3S1，解得S1=30,S2=90，
故数列{an}的所有项之和是30+90=120.
故选：D
22．已知等比数列an的公比q=2，前100项和为S100=90，则其偶数项a2+a4+⋯+a100为（ ）
A．15B．30
C．45D．60
【答案】D
【详解】设S=a1+a3+⋯+a99，则a2+a4+⋯+a100=a1+a3+⋯+a99q=2S，
又因为S100=a1+a2+⋯+a100=90，所以3S=90,S=30，
所以a2+a4+⋯+a100=2S=60.
故选: D
【点睛】若等比数列有偶数项，则S偶=qS奇,用整体的思想处理问题，方便简捷.
23．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为（ ）
A．8B．2C．4D．2
【答案】D
【详解】设公比为q，项数为2n，
S奇= 1−q2n1−q2=85,
S偶= a21−q2n1−q2=170
S偶S奇=a2a1=q=2，故选D.
【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
24．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为 .
【答案】2
【详解】解：设公比是q，项数为n（n为偶数）
由题意得a1+a3+…+an−1=85，
a2+a4+…+an=170，
a1q+a3q+…+an−1q=170，
∴(a1+a3+…+an−1)q=170，
解得q=2，
故答案为：2
1．（2025·江西九江·三模）九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（42.195公里）后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是（ ）
A．736公里B．724公里C．692公里D．660公里
【答案】C
【详解】记第一周跑步量为a1=2，则S4=2+4+8+16=30，所以前4周的跑步量为等比数列，
所以a5=30+2=32,则a10=32+5×2=42，a11=42+2=44，故第5周到第10周的跑步量为等差数列，则(32+42)×62=222，
第11周到第20周每周44公里，总和为440公里，所以小宝同学跑步的总量是30+222+440=692公里.
故选：C.
2．（2025·天津·一模）已知数列an和bn的通项公式分别为an=3n,bn=n，在bm与bm+1之间插入数列an的前m项，构成新数列cn，即b1,a1,b2,a1,a2,b3,a1,a2,a3,b4,a1,a2,a3,a4,b5，…．记数列bn的前n项和为Sn，则i=1Sici=（ ）
A．30B．4944C．9876D．14748
【答案】B
【详解】因为数列bn的通项公式为bn=n，所以数列bn为等差数列，
所以数列bn的前n项和为Tn=n1+n2，
数列an的通项公式为an=3n，所以数列an为等比数列，
所以数列an的前n项和为Sn=3(1−3n)1−3=3n+1−32，
所以i=1Snci=S1+S2+⋯+Sn−1+b1+b2+⋯+bn
=32−32+33−32+⋯+3n−32+n(n+1)2，
=12·32(1−3n−1)2−3×(n−1)2+n(n+1)2=3n+14+n22−n−34，
当n=8时，i=1S8ci=4944.
故选：B.
3．（2025·广东·模拟预测）正项等比数列an及其前项和Sn满足：S4=10S2，S3=a12，则S4的值为（ ）
A．416B．468C．520D．607
【答案】C
【详解】设等比数列an的公比为q，由S4=10S2，可得S4−S2=9S2，
所以a3+a4=9a1+a2即q2+q3=91+q，即q2=9，
由an>0，所以q=3，由S3=13a1=a12得a1=13，
即S4=40a1=520.
故选：C.
4．（2025·上海青浦·三模）已知数列an的前n项和为Sn，若S2025=a2025，则an不可能是（ ）
A．公差大于0的等差数列B．公差小于0的等差数列
C．公比大于0的等比数列D．公比小于0的等比数列
【答案】C
【详解】∵S2025=a2025，∴S2024+a2025=a2025，∴S2024=0，
若数列an是等差数列，设其公差为d，
∴S2024=2024a1+a20242=0，∴a1+a2024=0，即2a1+2023d=0，
∴d=−2a12023，∵a1可正可负，∴d可正可负；
若数列an是等比数列，设其公比为q，
若an=−1n，则an是公比为q=−10时，若q=1，则S2024=2024a1=0，∴a1=0，不成立，
若q>0且q≠1，则S2024=a11−q20241−q=0，∴a1=0，不成立.
∴an不可能是公比大于0的等比数列.
故选：C.
5．（2025·云南昆明·模拟预测）在数列an中，若n∈2k−1,2k，则an=2k，k∈N∗，设数列an的前n项和为Sn，则使Sn