2026年高考数学一轮复第01讲直线的方程(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复第01讲直线的方程(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共2页。学案主要包含了方法技巧，变式训练1-1，变式训练1-2，变式训练2-1，变式训练3-1，变式训练3-2，变式训练4-1，变式训练5-1等内容，欢迎下载使用。
01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 2
\l "_Tc199181715" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc199181715 \h 3
\l "_Tc199181716" 03核心突破·靶向攻坚4
\l "_Tc199181717" 知能解码4
\l "_知识点1 直线的倾斜角与斜率" 知识点1 直线的倾斜角与斜率4
\l "_知识点2 直线的点斜式方程" 知识点2 直线的点斜式方程 PAGEREF _Tc199181718 \h 5
\l "_知识点3 直线的斜截式方程" 知识点3 直线的斜截式方程 PAGEREF _Tc199181719 \h 5
\l "_知识点3 直线的斜截式方程" 知识点4 直线的两点式方程 PAGEREF _Tc199181720 \h 5
\l "_知识点5 直线的截距式方程" 知识点5 直线的截距式方程 PAGEREF _Tc199181721 \h 6
\l "_知识点6 直线的一般式方程" 知识点6 直线的一般式方程6
\l "_Tc199181722" 题型破译 \l "_Tc199181721" PAGEREF _Tc199181721 \h 7
\l "_题型1 直线的倾斜角与斜率" 题型1 直线的倾斜角与斜率 PAGEREF _Tc199181723 \h 7
【方法技巧】倾斜角与斜率的函数关系
\l "_题型2 直线的点斜式方程" 题型2 直线的点斜式方程 PAGEREF _Tc199181724 \h 7
【方法技巧】注意斜率不存在的情况
\l "_题型3 直线的斜截式方程" 题型3 直线的斜截式方程 PAGEREF _Tc199181725 \h 8
\l "_题型4 直线的两点式方程" 题型4 直线的两点式方程 PAGEREF _Tc199181726 \h 8
\l "_题型5 直线的截距式方程" 题型5 直线的截距式方程 PAGEREF _Tc199181727 \h 9
\l "_题型6 直线的一般方程" 题型6 直线的一般方程 PAGEREF _Tc199181728 \h 10
\l "_题型7 动直线过定点问题" 题型7 动直线过定点问题 PAGEREF _Tc199181729 \h 11
\l "_题型8 直线方程的综合应用" 题型8 直线方程的综合应用 PAGEREF _Tc199181730 \h 11
\l "__x0001__5" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc199181733 \h 12
\l "__x0001__6" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc199181734 \h 13
\l "_Tc25045" 知识点1 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为 .
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即 .
(2)斜率与倾斜角的对应关系
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 .
3．直线的方向向量
我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为.
当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则.
自主检测设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
\l "_Tc25045" 知识点2 直线的点斜式方程
我们把方程 称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．
方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的 ，简称点斜式．
注意点：
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
自主检测直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
\l "_Tc25045" 知识点3 直线的斜截式方程
1．直线l与y轴的交点(0，b)的 叫做直线l在y轴上的截距．
2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
注意点：
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
自主检测直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
\l "_Tc25045" 知识点4 直线的两点式方程
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 ．
注意点：
(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．
(2)两点式方程与这两个点的顺序无关．
(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．
自主检测已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ．
\l "_Tc25045" 知识点5 直线的截距式方程
我们把方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线 ，此时直线在y轴上的截距是 .
注意点：
(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．
自主检测直线在轴的截距为（ ）
A．B．C．D．3
\l "_Tc25045" 知识点6 直线的一般式方程
我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
注意点：
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
自主检测直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
题型1 直线的倾斜角与斜率
例1-1已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（ ）
A． B．C．D．
例1-2直线与的夹角大小为 ．
方法技巧
1．定义：一条直线的倾斜角α的 正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
2．过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ eq \f(y2－y1,x2－x1).
【变式训练1-1】在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ）
A．0B．1C．90D．不存在
【变式训练1-2】已知点，，则直线的斜率为
A．B．C．D．
题型2 直线的点斜式方程
例2-1直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
例2-2已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
方法技巧
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
【变式训练2-1】若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-2·变考法】若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-3·变载体】过点且倾斜角为的直线方程是 ．
题型3 直线的斜截式方程
例3-1直线在轴上的截距为（ ）
A．B．0C．1D．2
例3-2倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为 ．
方法技巧
求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
【变式训练3-1】直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为，在y轴上的截距是.
题型4 直线的两点式方程
例4-1已知，，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
例4-2经过点的直线的两点式方程为（ ）
A．B．
C．D．
方法技巧 利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件；
若满足即可考虑用两点式求方程．
(2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
【变式训练4-1】若直线过，则此直线的斜率是（ ）
A．B．1C．D．不存在
【变式训练4-2·变载体】已知的三个顶点分别为、、．
(1)求边和所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的两点式方程．
题型5 直线的截距式方程
例5-1直线的纵截距为（ ）
A．B．C．2D．3
例5-2（多选）下列说法一定正确的是（ ）
A．过点的直线方程为
B．直线的倾斜角为
C．若，，则直线不经过第三象限
D．过、两点的直线方程为
方法技巧 截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式方程的逆向应用．
直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝eq \f(1,2)|a|·|b|
【变式训练5-1】经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【变式训练5-2】已知函数，曲线在点处的切线在x，y轴上的截距分别为a，b，则（ ）
A．0B．1C．D．
【变式训练5-3】过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 .
题型6 直线的一般方程
例6-1经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
例6-2已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
方法技巧
求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
【变式训练6-1】（多选）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点（0，1）
B．直线l与圆恒相交
C．直线l被圆截得的最短线段长为
D．圆C与圆M：有2条公共切线
【变式训练6-2】已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值．
题型7 动直线过定点问题
例7-1（多选）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．若直线在轴上的截距为，则
C．若直线与直线垂直，则
D．若，则直线的倾斜角的取值范围为
例7-2已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ．
【变式训练7-1】已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．10
【变式训练7-2】已知直线：.
(1)若直线垂直于直线：，求的值；
(2)求证：直线经过定点；
(3)当时，求点关于直线的对称点的坐标.
题型8 直线方程的综合应用
例8-1已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例8-2已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为 ．
【变式训练8-1】若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是 ．
【变式训练8-2·变考法】我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是
【变式训练8-3】如图所示，直线与是两条相交直线．直线与轴交于点，过作平行轴的直线交直线于点，再过点作平行轴的直线交直线于点，过点作平行轴的直线交直线于点，这样一直作下去，可得到一系列点，设点的横坐标为，则点的坐标为，将点的横坐标构成数列．
(1)求，，的值，用表示点的坐标，并求与的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前项和．
1．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
3．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值D．既没有最大值，也没有最小值
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
5．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
7．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
1.如果，，那么直线不通过（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2.已知的顶点坐标为，，.
(1)求边上的高的长.
(2)求的面积.
3.已知直线（其中A，B不全为0）．
(1)写出直线l的一个法向量的坐标．
(2)若直线l经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？
(3)若直线l与x轴平行或重合，则A，B，C满足的条件是什么？
(4)若直线l与x轴和y轴都相交且不经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？
4.写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：

6.已知的三个顶点为，，，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程．
7.已知直线l经过原点，且经过如下两条直线，的交点，求直线l的方程．
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围.
（2）要求按题给的条件利用点斜式、斜截式方程的要求求解直线的方程，并能解决与之有关的直线方程的问题.
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第7题，5分
天津卷，第12题，5分
甲卷理科，12题，5分
北京卷，3题，4分
新课标II卷，15题，5分
考情分析：
近几年以直线与圆知识点交叉命题，涉及到点到直线距离，与圆相交弦长等问题，分值5分；属于易得分题型。
复习目标：
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题。
3.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围；
4.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；
5.会用中点坐标公式求线段的中点坐标，掌握直线的一般式方程；
6.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线；7.会进行直线方程的五种形式之间的转化。
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°