2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第1讲：集合(6个题型)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第1讲：集合(6个题型)(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了知识点清单，知识点的认识，解题方法点拨，相似题1，相似题2，相似题3，题型3：集合的运算，题型5：韦恩图的应用等内容，欢迎下载使用。

【知识点清单】
1．描述法表示集合
【知识点的认识】
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．
【解题方法点拨】
明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述条件：描述条件要准确、简洁，通常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊或歧义的描述．
2．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．
2、集合中元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．
3．判断元素与集合的属于关系
【知识点的认识】
元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．
【解题方法点拨】
明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合．
4．判断两个集合的包含关系
【知识点的认识】
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
5．集合的包含关系的应用
【知识点的认识】
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
6．求集合的交集
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
7．集合的交并补混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
题型分类
知识讲解与常考题型
【题型1：元素与集合之间的关系】
例题精选
【例题1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（ ）
A．－3或－1B．-3C．1D．3
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可.
【详解】因为集合，且，
则或，所以或；
当时，不合题意舍；
当时，符合题意；
故选：B.
【例题2】（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果.
【详解】由题可知且
解得.
故选：C.
【例题3】（2024·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得.
【详解】因为且，所以，解得.
故选：A．
相似练习
【相似题1】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论.
【详解】因为，所以，因为，所以
所以，故A错误，B正确；
所以，故C错误；
所以，故D错误；
故选：B．
【相似题2】（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0}B．{1}C．{－1，1}D．{0,-1，1}
【答案】D
【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合.
【详解】因为集合的元素之和为1，
所以一元二次方程有等根时，可得，即，
当方程有两不相等实根时，，即，
综上，实数a 所有取值的集合为.
故选：D
【相似题3】（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案.
【详解】因为且，所以且，解得.
故选：B.
【题型2：集合间的基本关系】
例题精选
【例题1】（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果.
【详解】因为集合，
，故，
故选：B
【例题2】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】A
【分析】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案.
【详解】解：由题意可得，共3个.
故选：A
【例题3】已知集合，，，则、、的关系满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将集合中的元素进行通分，即可根据分子的形式进行比较，集合子集定义即可求解.
【详解】,故,
由于，故，
由于为任意整数，故，因此,
,故，
故，
所以，
故选：B．
相似练习
【相似题1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知集合，若，则a的值可以是（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】D
【分析】先求出集合，再利用求得的范围，判断即得.
【详解】由可得，由可得，
依题意，，故得.
故选：D.
【相似题2】（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知：，则是的真子集，对比选项分析即可.
【详解】由题意可知：，
显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12，
所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误.
故选：B.
【相似题3】多选题（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（ ）
A．，B．集合可以为
C．集合的个数为7D．集合的个数为8
【答案】AC
【分析】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由题意得，，又.
所以，，故A正确；
当时，不满足，B错误，
集合的个数等价于集合的非空子集的个数，
所以集合的个数为，故C正确，D错误，
故选：AC.
【题型3：集合的运算】
例题精选
【例题1】（2025·四川广安·模拟预测）已知集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】交集的概念及运算
【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解.
【详解】解方程得或，
所以集合，集合，
因此.
故选：C.
【例题2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】并集的概念及运算
【分析】根据并集的含义进行运算即可得答案.
【详解】∵，
由并集的含义得.
故选：B.
【例题3】（2025高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【知识点】交并补混合运算
【分析】先求出集合的补集，再利用并集运算求解即可.
【详解】由题可得或，则或．
故选：A.
相似练习
【相似题1】（2025·天津和平·三模）设全集，集合，，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】交并补混合运算
【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解.
【详解】由，可得，，故，
故选：B
【相似题2】（2025·重庆·模拟预测）已知集合，，则（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】交集的概念及运算
【分析】集合A，B可化为分母相同的元素，其中分子分别为除3余2整数，除2余1整数，据此可得出交集.
【详解】集合，,
所以，
故选：C
【相似题3】多选题（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（ ）
A．的取值有个B．
C．D．所有子集的个数为
【答案】BCD
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合的包含关系、交并补混合运算
【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，，且，
则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误；
对于B选项，，，所以，故B正确；
对于C选项，，，故C正确；
对于D选项，，
所以，，则，
其的子集的个数为，故D正确．
故选：BCD.
【题型4：集合中的参数问题】
例题精选
【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可.
【详解】因为，所以当，即时，，满足，即；
当，即时，，满足，即；
当，即时，由，得，，即；
综上，．
故选：C．
【例题2】（2024·全国·二模）已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集的结果，代入不等式，即可求解.
【详解】由条件可知，解得：.
故选：C
【例题3】（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围．
【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素，
结合，可知，即，且区间,中含有4个整数，
①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数；
②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；
③当时，,的区间长度大于3，
若,的区间长度，即．
若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，，
此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．
若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得；
若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；
当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数，
故，即，结合可得．
综上所述，或或，即实数的取值范围是,,．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解.
相似练习
【相似题1】（20-21高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】考虑和两种情况，得到，解得答案.
【详解】当时，即，时成立；
当时，满足，解得；
综上所述：.
故选：C.
【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误.
【相似题2】（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围．
【详解】由，且，
当时，，则，即，
当时，若，则，解得，
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．
【相似题3】（2024·全国·模拟预测）设集合.若且，则 .
【答案】6
【分析】根据集合间的关系可知，可得，再由求得，即可得解.
【详解】因为集合，
若，则且，可得，解得，
即有，又，所以，所以.
故答案为：6
【题型5：韦恩图的应用】
例题精选
【例题1】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据Venn图，集合间的关系及集合的运算逐项判断即可.
【详解】作出Venn图，如图，
对于A，，故A错误；
对于B，与集合交集是空集，
若，则不是的子集，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，与集合交集是空集，
若，则不是的子集，故D错误；
故选：C.
【例题2】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若集合、、满足：，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出韦恩图，结合韦恩图与集合运算逐项判断即可.
【详解】如下图所示：
由韦恩图可知，，，，，
故选：C.
【例题3】（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用韦恩图法即可判断.
【详解】如图，对于A：，所以A错误；
对于B：，所以B错误；
对于D：，所以D错误，
对于C：由图观察显然，故C正确．
故选：C
相似练习
【相似题1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合即可.
【详解】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于集合，但属于集合，所以阴影部分所表示的集合是.
故选：C.
【相似题2】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据，结合交并补的运算即可判断选项
【详解】如图，
因为，所以，故A错误；
因为，故B错误；
因为，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：D
【相似题3】多选题（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图和选项，逐一判断，即可得到答案.
【详解】因为集合 均为的子集，且，
画出韦恩图，如图所示：
结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误；
由 ，所以C错误；由，所以D正确.
故选：AD.
【题型6：集合中的新定义问题】
例题精选
【例题1】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解.
【详解】集合，集合，则，
由韦恩图得或.
故选：D
【例题2】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（ ）
A．10B．40C．45D．50
【答案】C
【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可.
【详解】由题知：
，，
，，
，，，
则
故选：C
【例题3】多选题（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可.
【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对；
对于B选项，根据题意可得，故，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D对.
故选：ABD.
相似练习
【相似题1】（2024·广东广州·模拟预测）已知集合，若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为 .
【答案】
【分析】设为的奇子集，中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，分析得的奇子集与偶子集个数相等；计算奇子集元素之和时，含元素的和是，即可求得奇子集的元素之和.
【详解】设为的奇子集，则若，令，
若，令为把中的去掉后剩下的元素形成的集合，
则中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，
显然每个奇子集，均恰有一个偶子集与之对应，
每个偶子集，均恰有一个奇子集与之对应，
故的奇子集与偶子集个数相等；
对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知，
在时，这个子集中有一半为奇子集，
在时，由于，将上边的3换成5，同样可得其中有一半为奇子集，
于是在计算奇子集元素之和时，含元素的和是，
奇子集容量之和是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
【相似题2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”.
(1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”；
(2)证明：是“好的”，是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
【答案】(1)，是“好的”
(2)证明见解析
(3)除、、外的正整数
【分析】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断；
（2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论；
（3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论.
【详解】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”.
（2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0.
所以，此时，合乎题意；
时，取，，
的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0.
所以，则，满足条件.
故是“好的”，是“好的”.
（3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*）
事实上，若正整数是“好的”，
设，，，此时集合、满足时条件.
时，考虑，，
则也满足条件，（*）得证.
②再证：为奇数是“好的”.（**）
事实上，取，，则满足条件，（**）得证.
由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”.
③再证：不是“好的”.
对集合，记为中元素个数，由条件，.
若，则，矛盾.
若或，则，则，矛盾.
于是不是“好的”.
同理易知，2不是“好的”.
所以，所求为除1，2，4外的正整数.
【相似题3】（2024·全国·模拟预测）已知集合，若对任意的，，有或，则称集合为完美集合．
(1)分别判断集合与是否为完美集合；
(2)当时，若，求完美集合；
(3)若集合为完美集合，记，求证：．
【答案】(1)集合为完美集合，不是完美集合；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据完美集的定义直接判断即可；
（2）根据完美集的定义及依次确定，即可得答案；
（3）根据完美集定义先确定，结合得到，又，把各项累加即可证结论.
【详解】（1）集合，当时，，
又，，
所以集合为完美集合．
集合，因为，
所以不是完美集合．
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，故，即，
所以．
（3）因为，故，
所以，则．
因为，
所以，
所以，
所以．
因为，
所以，
又因为，
全部相加得，即，
所以，又，所以．
【点睛】关键点点睛：第三问，根据完美集定义确定，并得到，为关键.
课后针对训练
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·浙江温州·期中）设集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·福建泉州·模拟预测）若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·山东青岛·三模）已知全集，集合A，B满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·福建漳州·模拟预测）已知是全集，集合，满足，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·福建龙岩·二模）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
11．（2023·福建·模拟预测）已知集合，，全集，则以下集合（ ）是空集
A．B．C．D．
12．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
14．（2025·福建泉州·一模）（ ）
A．B．C．D．
15．（2021·湖北武汉·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
16．（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）下列四个命题：其中正确的命题为（ ）
A．已知集合，集合，则
B．集合中有两个元素
C．已知集合，且，则的取值构成的集合为
D．记，，则
17．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则可以取3
三、填空题
18．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则的最小值为 ．
参考答案
1．A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
2．A
【分析】由可得方程有一个根是1，且2一定不是它的根，从而代入，解得，再解得，满足，从而可计算出结果.
【详解】因为，，
所以方程有一个根是1，且2一定不是它的根，
则，解得，
当时，方程的根是1和，
所以，满足，
即.
故选：A.
3．A
【分析】根据韦恩图，先求，再由集合去掉中的元素即可.
【详解】∵全集是实数集，集合，
∴，
∴故图中阴影部分所表示的集合为集合去掉中的元素,即.
故选：A.
4．D
【分析】先计算出集合，逐一验证即可.
【详解】由，
所以，故A错误，，故B错误； ，故C错误，D正确.
故选：D.
5．C
【分析】由交集运算即可求解.
【详解】
因为集合，
则．
故选：C．
6．D
【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案.
【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意；
对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意；
对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根，
所以集合存在两个元素，故C不符合题意；
对于D，由，则，即该方程不存在实数根，
所以集合无元素，故D符合题意.
故选：D.
7．D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
8．C
【分析】根据已知条件，求得，再进行选择即可.
【详解】因为集合A，B满足，故可得，
对A：当为的真子集时，不成立；
对B：当为的真子集时，也不成立；
对C：，恒成立；
对D：当为的真子集时，不成立；
故选：C.
9．C
【分析】根据集合包含的关系，结合子集的定义即可求解.
【详解】由可得,进而，故C正确，ABD错误，
故选：C
10．D
【分析】利用集合的描述法计算两个集合A、B，根据韦恩图计算即可.
【详解】由题意可知，即，
又，故阴影部分为.
故选：D
11．D
【分析】求出A和B，再根据集合的交并补计算即可判断.
【详解】由得，由得，
故，，，，
仅D选项符合题意．
故选：D
12．A
【分析】根据两集合的元素特征和中只有2个元素的要求，可得到关于的不等式组，解之即得.
【详解】因为，，
又，中有2个元素，
所以中的2个元素只能是，则，解得.
故选：A.
13．C
【分析】化简可得，，，由求出，，即可求．
【详解】，，
若，
则，，
故．
故选：C.
14．A
【分析】根据交集的定义，即可求解.
【详解】满足的正整数只有，所以.
故选：A
15．D
【分析】根据，为的两个不相等的非空子集，且，知，再判断选项中的命题是否正确．
【详解】解：，，
，，，，
故选：．
16．BD
【分析】A选项，分别求出两个集合的范围即可判断；B选项，该集合中是5的正因数，求出集合即可判断；C选项，由集合与元素的关系解出参数值，注意互异性；D选项，弄清集合内元素的特征即可做出判断.
【详解】对于A，，，则，所以A选项错误；
对于B，因为集合，所以它的元素有两个，所以B选项正确；
对于C，因为集合，且，所以或．
当时，解得：或．而，不符合元素的互异性，
故或，所以C选项错误．
对于D，集合是由奇数组成的集合，集合是由被4除余1的整数组成的集合，则，故D选项正确．
故选：BD.
17．AC
【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误；
对于CD，由，得，解得，C正确，D错误.
故选：AC.
18．
【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得.
【详解】由，故，
由，得，
故有，即，即，
即的最小值为.
故答案为：.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
D
C
D
D
C
C
D
题号
11
12
13
14
15
16
17



答案
D
A
C
A
D
BD
AC