专题1.1 集合（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析4
【课程标准】4
【考情分析】4
【2026考向预测】5
三、知识点•逐点夯实5
知识点1、集合与元素5
知识点2、集合间的基本关系5
知识点3、集合的运算6
【常用结论】6
四、重点难点•分类突破6
考点1 元素与集合的关系6
考点2 集合中元素的三大特征8
考点3 集合间的基本关系（子集、真子集与相等）10
考点4 集合的基本运算（交集、并集、补基与全集）12
考点5 韦恩图的应用14
考点6 集合的创新定义运算17
五、必考题型•分层训练21
A、基础保分21
B、综合提升25
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一、5年高考•真题感悟
1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】并集的概念及运算
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，
则可能的取值为，即，
于是.
故选：C
3．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：B
4．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
课程标准•考情分析
【课程标准】
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；
3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。
【5年考情分析】
【2026考向预测】
高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. 重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合
重点关注：集合与集合之间的关系，子集与真子集的个数及关系。
三、知识点•逐点夯实
知识点1．集合与元素
(1)、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)、元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)、集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)、常见数集的记法
(5)、集合的分类
若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．
知识点2.集合间的基本关系
子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.
知识点3.集合的运算
如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；
【常用结论】
1．若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B
4．奇数集：.
5. 德▪摩根定律：
①并集的补集等于补集的交集，即；
②交集的补集等于补集的并集，即．
6. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.
四、重点难点•分类突破
考点1 元素与集合的关系
例1．（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】列举法表示集合
【分析】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可.
【详解】集合.
故选：B.
例2．（2025·河南·一模）下列表达式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系，逐项判断得解.
【详解】对于正确；对于中无任何元素，而有一个元素错误；
对于C，，C正确；对于D，数对满足，则D正确.
故选：B
【变式训练1】．（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】列举法求集合中元素的个数
【分析】根据题意，采用列举法表示集合即可求解.
【详解】由题，可得，
所以集合含有6个元素.
故选：C.
【变式训练2】．（2022·全国乙卷·高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
考点2 集合中元素的三大特征
例3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】根据并集结果求集合或参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.
【详解】因为中恰有三个元素，所以或或，
结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或.
故选：D．
例4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．30B．28C．26D．24
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】集合元素互异性的应用、利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】
根据题意得到，再结合求解即可.
【详解】，，
因为，
当时，为偶数，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，有重复数字，去掉，共有个元素.
综上中元素的个数为个.
故选：B
【变式训练3】．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可.
【详解】由题意知，，，
当，时，，
当，时，，
所以，
所以集合中的元素个数为4.
故选：C.
【变式训练4】．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则实数 .
【答案】或
【难度】0.94
【知识点】根据交集结果求集合或参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据集合元素互异性可得，由可得，然后分类讨论即可求得参数.
【详解】由题知，，
因为，所以，
则当时，，而；
当时，(舍)或，
所以或.
故答案为：或
考点3 集合间的基本关系（子集、真子集与相等）
例5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
例6．（2025·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先求出集合，然后利用列出方程即可得出答案.
【详解】，
又，所以，得.
故选：C.
例7．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 .
【答案】/0.5
【难度】0.94
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数
【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出.
【详解】在中，，则且，
而，，显然，因此，解得，
所以.
故答案为：
【变式训练5】．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．7C．8D．9
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、列举法求集合中元素的个数
【分析】根据题意先求出集合，利用集合的交集运算得到，再根据交集中元素的个数计算其子集的个数.
【详解】由题意得，
所以，所以的子集个数为.
故选：C.
【变式训练6】、（2025·广东广州·模拟预测）满足的集合A的个数为（ ）
A．3B．7C．8D．15
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算
【分析】由一元二次方程以及集合之间的包含关系，可得答案.
【详解】由，整理可得，解得或，
则，设，所以，可得.
故选：B.
【变式训练7】．（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可.
【详解】当，时，，或任意，（舍去）；
当，时，，，不成立，
所以，，.
故选：A.
考点4 集合的基本运算（交集、并集、全集与补集）
例8．（2025·云南·模拟预测）已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】根据给定条件，利用交并补的运算求解.
【详解】由，得，而，
所以.
故选：B
例9．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算、由幂函数的单调性解不等式
【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
例10．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】并集的概念及运算
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
【变式训练8】．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】求出集合,再求解判断选项.
【详解】解析：由题意可知，集合，或，
.
故选：A．
【变式训练9】．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，所以或，
又，所以.
故选：C
【变式训练10】．（2025·甘肃·二模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式
【分析】由对数函数单调性解不等式及求解不等式，再由交集运算即可求解.
【详解】，
由可得：，则，
所以，
故选：D
考点5 韦恩图的应用（容斥原理）
例11．（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算
【分析】先判断表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，
而阴影部分表示的集合是，
则图中阴影部分表示的集合是，故B正确.
故选：B
例12．（24-25高三上·湖北·阶段练习）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ）
A．赞成的不赞成的有9人
B．赞成的不赞成的有11人
C．对都赞成的有21人
D．对都不赞成的有8人
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】容斥原理的应用
【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可.
【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示，
设对事件A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为，
赞成B而不赞成的人数为.依题意，解得.
所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人.
故选：B
【变式训练11】．（24-25高三上·广东佛山·周测）已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】利用Venn图求集合、解不含参数的一元二次不等式、并集的概念及运算、交集的概念及运算
【分析】解不等式化简集合，再结合韦恩图及集合运算求出答案.
【详解】依题意，或，而，
则，，
由韦恩图知，阴影部分是或.
故选：A
【变式训练12】．（2024·河北石家庄·三模）（多选题）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人D．只参加1500米比赛的有1人
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】根据交集结果求集合元素个数、容斥原理的应用
【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项.
【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}，
{是参加400米的同学}，
{是参加1500米的同学}，
则
且
则，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，
只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.
故选：ABD
考点6 集合的创新定义运算
例13．（24-25高三上·河南新乡·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ）
A．82B．74C．12D．70
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义
【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解.
【详解】，非空子集有个.
当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12；
当子集为双元素集，，，，，时，
“和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36；
当子集为三元素集，，，时，
“和睦数”分别为4，7，8，7，和为26；
当子集为四元素集时，“和睦数”为.
故“和睦数”的总和为.
故选：A
例14．（2025·浙江温州·模拟预测）（多选题）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A．是“广义等差集合”
B．是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】集合新定义
【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C.
【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确，
对于B，取故B正确，
对于C，当时，，如时，设，
由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确，
对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误，
故选：ABC
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
【变式训练13】、（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】集合新定义、判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算
【分析】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D.
【详解】对于A，若，则，A错误；
对于B，若，则，
而，B错误；
对于C，若，则，
，，，C错误；
对于D，任取元素，则且，则且，
于是且，即，
反之若任取元素，则且，
因此且，即且，
所以，即，D正确.
故选：D
【变式训练14】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）（多选题）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有（ ）
A．关于数的乘法构成群
B．自然数集关于数的加法构成群
C．实数集关于数的乘法构成群
D．关于数的加法构成群
【答案】ABC
【难度】0.15
【知识点】集合新定义
【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求.
【详解】A：由且，使，但，不存在，使，故A错误；
B：由且，都有，但，不存在，使，故B错误；
C：由且，使，但，不存在，使，故C错误；
D：对所有的，可设，
则，
①满足加法结合律，即，有；
②，使得，有；
③，设，使，正确.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：对于D，对所有的，，求出.
五、分层训练
一、单选题
1．（2025·浙江·二模）已知全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】确定全集和集合，再求出，最后根据补集的定义求出．
【详解】已知全集，表示自然数集，所以．
对于集合，解不等式，则其解为．
又因为，所以．
已知，，可得．
因为，，所以．
故选：C．
2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】交并补混合运算、由指数函数的单调性解不等式
【分析】先求解集合，再求出集合在中的补集，最后求出集合与的交集.
【详解】已知，因为，所以.
根据指数函数的单调性，对于指数函数，函数在上单调递增.
那么由可得，即，所以.
已知，，所以.
故选：D.
3．（2025·湖南长沙·一模）已知集合，那么集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式
【分析】分别求出集合，利用交集的定义求解即可.
【详解】因为,所以,
故选：A.
4．（2025·福建莆田·三模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据题意求集合B，进而可得交集.
【详解】因为，则，
所以．
故选：A．
5．（2025·重庆·模拟预测）已知集合，，则（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算
【分析】集合A，B可化为分母相同的元素，其中分子分别为除3余2整数，除2余1整数，据此可得出交集.
【详解】集合，,
所以，
故选：C
6．（21-22高三下·四川德阳·期末）已知集合，集合，则的子集个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、并集的概念及运算
【分析】根据并运算可得，即可根据子集个数公式求解.
【详解】,所以子集个数为，
故选：A
二、多选题
7．（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数
【分析】由，可得，再分和两种情况讨论即可.
【详解】，
因为，所以，
当时，，
当时，，
则或，所以或，
综上所述，或或.
故选：ABD.
8．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（ ）
A．
B．的元素个数为16
C．
D．的子集个数为64
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算、并集的概念及运算
【分析】解二次不等式化简集合，进而求得集合，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子集个数的求法逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于ABC，因为，
所以，即，
所以有个元素，故A错误，BC正确；
对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
9．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】交并补混合运算
【分析】由集合运算求出，然后得到.
【详解】，∴，
故答案为：
10．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知集合，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据集合交集运算律即可求解.
【详解】因为，
又，
所以.
故答案为：
11．（2023·湖北·模拟预测）从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】交并补混合运算、计算古典概型问题的概率、求集合的子集（真子集）、实际问题中的组合计数问题
【分析】按照要求分类讨论计算即可.
【详解】由题意可分以下四种情况讨论：
①若A中有一个元素，则B中至少有三个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；
②若A中有两个元素，则B中至少有两个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；
③若A中有三个元素，则B中至少有一个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；
④若A中有四个元素，则B中至少有一个元素，此时满足的情况
有种，而满足恰有个元素的有种；
故满足题意的概率为：，
故选：B
【点睛】本题考查集合与古典概型，较为新颖，属于较难题.关键在于分类讨论要不重复不遗漏，需要较高的逻辑思维.
12．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】根据交集结果求集合元素个数、根据并集结果求集合元素个数
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2025年新I卷，第2题,5分
集合的补集
简单
2025年新Ⅱ卷，第3题,5分
集合的交集
简单
2024年新I卷，第1题,5分
集合的交集
一般
2023年新I卷，第1题,5分
集合的交集
一般
2023年新Ⅱ卷，第2题,5分
元素的性质、集合的子集
简单
2022年新I卷，第1题,5分
集合的交集
简单
2022年新Ⅱ卷，第1题,5分
集合的交集
简单
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋(或N*)
Z
Q
R
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合相等
集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集
A＝B
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}