专题07 数列求和(奇偶项讨论和插入数或项)题型归纳讲义2026年高考数学一轮复习（全国适用）原卷+解析版

这是一份专题07 数列求和(奇偶项讨论和插入数或项)题型归纳讲义2026年高考数学一轮复习（全国适用）原卷+解析版，共22页。试卷主要包含了等差，含奇偶项的数列求和问题，插入数或项构成新数列问题等内容，欢迎下载使用。
一、等差、等比数列奇偶项和的性质
1、等差数列中
①若项数为偶数，则；；．
②若项数为奇数，则；；．
等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．
二、含奇偶项的数列求和问题
1、项数问题
①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项；
②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项；
③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数；
2、常见类型
题型：通项公式分奇、偶项有不同分段型；
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
常见奇偶数列模型:(1)若，则，相减得.
当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列.
当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列.
(2)若，则，相除得.
当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列.
当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列.
(3)若，则直接按奇偶分开讨论.
3、其他类型
题型：通项含有(－1)n的类型
①数列中连续两项和或积的问题：或
②含有类型
三、插入数或项构成新数列问题
1、插入数构成等差数列
在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解
个数构成等差数列，公差记为，所以：
题型：
2、插入数构成等比数列
在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解
个数构成等比数列，公差记为，所以：
题型：
3、插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。
题型：在和之间插入个，组成新数列
求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和.
题型一 数列中分段函数型
例1．（2025·福建龙岩·一模）(多选)已知数列的前n项和为，，则下列选项正确的是（ ）
A．数列的奇数项构成的数列是等差数列
B．数列的偶数项构成的数列是等比数列
C．D．
答案 BC
思路分析:根据，，进行递推得到数列的规律逐项判断
解 因为，，所以,，
，,
，,
，，
，，
，，
可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列，
奇数项不是等差数列，
，
，
，
，，故选：BC.
2.（23-24高三上·山东·模拟）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，.
(1)求的通项公式：
(2)设数列满足，
①求前项中所有奇数项和，②若的前n项和为，证明：.
答案 (1) (2)①；
思路分析:（1）构造等比数列，由数列的递推公式求通项公式；
（2）①用裂项求和法求数列的奇数项的和；②用分组求和法求数列的前项的和，再得出不等式的结论.
解 （1）因为，所以，且，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，
所以的通项公式为；
（2）①设的公差为，因为，，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以
②所以，
所以，
所以，
又因为，所以.
【感悟提升】
变式训练：1.（20253·广东深圳·模拟预测）已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，若对满足的任意正整数，，均有成立．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和
答案 (1) (2)
思路分析:（1）由题意分别令，或，，根据数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是即可求出首项，写出通项公式即可
（2）利用错位相减法即可求出数列的前项和．
解 （1）对满足的任意正整数，，
均有成立，令，则即，令，，得，
，，解得，，
由题意数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，
，即，
（2）由1知，
则，
，
，．
题型二 数列通项中含(－1)n的类型
例2．（2025高三·全国·专题练习）(多选)数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案 AD
思路分析:当时，可求出，由可得，两式相减可得，从而得到的奇数项和偶数项均为等差数列，由等差数列的通项公式可判断A；分别对的奇数项和偶数项求和可判断B（或相邻两项求和也可）；由古典概型的概率计算公式可判断C（或直接计算也可）；由数列放缩可判断D
解 解法一：
对于A，当时，，又，
又，，，
的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，偶数项所成的数列是首项为4，公差为2的等差数列，
，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，当时，，
又，故D正确．
故选：AD.
解法二：
对于B，当为奇数时，，
，故B错误．
对于C，易知，则，故C错误．
故选：AD.
3.（25-26高三上·湖南·期末）记数列的前n项和为，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
答案 (1) (2)
思路分析:（1）由化简条件可得数列是公差为3的等差数列，利用等差数列通项公式求解即可.
（2）利用分组求和裂项相消求和即可.
解 （1）由已知，，即，即，所以数列是公差为3的等差数列；因为，则
因为，所以的通项公式是.
（2）因为，则
因为，则
所以.
【感悟提升】
变式训练：2.（24-25高二下·江苏南京·期中）(多选)数列满足，且，数列的前项和为．从的前项中任取两项，它们之和是奇数的概率为，数列的前项积为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案 ACD
思路分析:根据数列的递推关系，通过构造，求出数列通项公式，即可判断A，B；根据组合数以及概率的计算公式，即可判断C；理解数列的前项积的概念，并通过运算即可判断D．
解 ，，，
又，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列.，
即，，对于选项A：，故A对；
对于选项B：，故B错；
对于选项C：显然为奇数时，为奇数，为偶数时，为偶数，
因此要满足两项之和为奇数，则取奇偶各一个，
所以，故C对；
对于选项D：当时，满足；当时，，
所以，故D对.故答案为：ACD.
3.（24-25高三下·云南·模拟预测）已知为等差数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前100项和.
答案 (1) (2)
思路分析:（1）由已知条件求出等差数列的首项和公差，进而求得的通项公式；
（2）将的通项公式代入，得数列的通项公式，根据等比数列的求和公式求前10项的和，用并项求和的方法求第11项到第100项的和，即可求出数列的前100项和.
解 （1）设数列的公差为，由，得，即，
由，得，解得，，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，
，
则
所以.
题型三 数列中连续两项和(或积)的问题
(an＋an＋1＝f(n))或(an·an＋1＝f(n))
例3．（25-26高三上·重庆·模拟）已知数列{an}满足数列的前n项和，则（ ）
A．B．
C．D．
答案 A
思路分析:由已知得出是等比数列，可得其通项公式，由，可得，计算可得.
解 因为，
所以，又，则，
所以是以3为首项，2为公比的等比数列.
于是，因为，
所以，
又，所以，故选：A
4.（25-26高三上·广东江门·期末）设是等差数列，是等比数列，且.
(1)求与的通项公式；
(2)设的前项和为，求证：；
(3)设，求数列的前项和.
答案 (1)
(2)证明见解析
(3)
思路分析:（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
解 （1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）因为，所以要证，
即证，即证，即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
所以，
则，
作差得
，所以，
变式训练：3.（25-26高三上·浙江温州·期末）已知数列满足，则 ．
答案
思路分析:根据题意，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解.
解 由数列满足，
则
.故答案为：.
4.（25-26高三上·全国·模拟预测）已知数列满足，前项和为，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案D
思路分析:根据已知递推式得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再应用分组求和、等比数列前n项和公式求．
解 由，，得，所以，则有，
因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
故选：D
题型四 数列中插入(数或项)构成新数列问题型
例4．（2026·江苏扬州·模拟预测）(多选)定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列、进行“美好成长”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；；设第次“美好成长”后得到的数列为、、、、、，并记，则（ ）
A．B．
C．D．数列的前项和为
答案 ACD
思路分析:对A：由题意直接运算判断；对B：根据题意分析可得：，利用构造法结合等比数列分析运算；对C：根据第次“美好成长”与第次“美好成长”的关系分析运算；对D：由，利用构造法结合等比数列可得，利用裂项相消结合分组求和运算求解.
解 对于A选项，，A对；
对于B选项，设第次“美好成长”后共插入项，即，共有个间隔，且，
则第次“美好成长”后再插入项，则，
可得，且，
故数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，故，B错；
对于C选项，由题意可知：
，C对；
对于D选项，因为，且，
所以，，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，故，
所以，，
所以，数列的前项和为，D对.
故选：ACD.
5.（25-26高三上·山东临沂·模拟）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
(3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
答案 (1)， (2) (3)不存在，理由见解析
思路分析:（1）根据已知条件列方程求出数列的首项，公比或公差，进而求出通项公式；
（2）用错位相减法求数列前项和；
（3）利用反证法，先假设存在，再利用等比中项和等差中项的性质求解，进而证明不存在.
解 （1）由题意，当时，有；当时，
联立方程，解得或（舍）.
所以数列的通项公式.
由题意知，，则，
联立方程，解得，
所以数列的通项公式．
综上，，.
（2）因为，
所以...①，
①×3得，...②，
①-②得，，
，
化简得：.
（3）由（1）知.
所以，所以．
设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
则．故，即．
又因为m，k，p成等差数列，所以，故.
故，化简得，所以.
又因为，所以，故，即.
而，所以.
与假设矛盾．
所以在数列中不存在3项成等比数列．
【感悟提升】
变式训练：4.（25-26·广东广州·一模）(多选)在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（ ）
A．B．C．D．
答案 ABD
解 由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时
第2次得到数列1,4,3,5,2，此时
第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时
第次得到数列1，，2 此时
所以，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得：
用等比数列求和可得
则
又 所以 ，故B项正确；
由B项分析可知即，故C项错误.
，故D项正确.故选：ABD.
5.（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设，求；
(3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求.
答案 (1)，；(2)； (3)2170.
思路分析:（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再借助等差数列前项和公式求出公比，进而求出通项公式.
（2）由（1）的结论，分奇偶求出的通项，并结合裂项相消法及错位相减求出对应前项和，再利用分组求和法求解.
（3）根据给定条件，求出数列的前2025项中数列的项及1的个数，再分组求和即得.
解 （1）在等差数列中，，而，解得，
公差，则；
设等比数列的公比为，，由，得，
即，解得，，
所以数列和的通项公式分别为，.
（2）由（1）得，当为奇数时，，
则；
当为偶数时，，，
，
则，
两式相减得
，因此，
所以.
（3）依题意，数列：
项为前的总项数为，
数列是递增的，当时，，
当时，，
因此数列的前项中，有数列的前项，有个，
所以.
【感悟提升】
2026高考模拟热身训练
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有项，奇数项之积为，偶数项之积为，则为（ ）
A．B．C．D．
答案 B
解 题意得.故选：B.
2．（25-26高三上·上海徐汇·期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．B．C．D．
答案 D
解 由题知，奇数项有项，偶数项有项，
奇数项之和为，
偶数项之和为，所以奇数项之和与偶数项之和的比为，故选：D
3．（25-26高三上·甘肃酒泉）(多选)数列共有60项，满足，其中且，数列的所有奇数项的和记作，所有偶数项的和记作，则下列选项正确的是（ ）
A．（且）B．
C．D．
答案 ABC
思路分析：根据可得，即可得和，进而根据并项求和以及分组求解即可得，结合选项即可逐一求解.
解 由可得：当且时，，
，故，故A正确，
由A可得，故，B正确，
当且时，，
又，故，因此
故，故，C正确，D错误，
故选：ABC
4．（24-25高三下·贵州贵阳·期末）(多选)数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．是等差数列D．为周期数列
答案 ACD
解 由题意，数列满足，，
当时，，，当时，，
当时，；若为奇数，则，为偶数，，为奇数，
则，，，；
若为偶数，则，为奇数，，为偶数，
则，，，，
所以数列是以4为周期的周期数列.，A正确；
，B错误；
，是公差为的等差数列，C正确；
由上述讨论可知，是周期为4的周期数列，因为与除以4所得余数相等，所以D正确.故选：ACD.
5．（24-25高三下·广东佛山·期中）(多选)已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．数列是等比数列
D．若恒成立，则的取值范围为
答案 ABD
解 对于A，由题可知，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，A正确；
对于B，，
，B正确；对于C，，
所以
，
则，故不是等比数列，C错误.
对于D，由题可知易知当为奇数时，单调递增且；当为偶数时，单调递减，且；若恒成立，则当为奇数时，，所以；当为偶数时，，所以.综上，的取值范围为，D正确.故选：ABD.
6．（24-25高三下·黑龙江哈尔滨·期末）(多选)已知数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A．
B．是公差为1的等差数列
C．数列的前2025项和为
D．数列的前项和
答案AB
分析思路：根据与的关系求解即可得出A项；化简可得出，根据等差数列的定义即可判断B项；求和可得出，然后利用分组求和法即可判断C项；代入化简可得出，用裂项求和法即可得出结果，即可判断D项.
解 对于A项，当时，；
当时，有.
检验当时，满足.综上所述，.故A正确；
对于B项，由已知可得，显然当时，都有.
所以，是公差为1的等差数列.故B正确；对于C项，由A知，.
则.
所以，数列的前2025项和为.故C错误；
对于D项，由已知可得，
所以，.
故D错误.故选：AB.
7．（24-25高三下·江西南昌·模拟）(多选)已知数列满足，，定义其“双阶变换”数列为.以下命题正确的是（ ）
A．的通项公式为
B．存在周期性
C．当为偶数时，
D．的奇数项之和为
答案AC
解 由题意，，当时，，
所以
当时，适合上式，所以.
故A正确.由题意，，
当为偶数时，，
此时，则有即，
所以
当为奇数时，则为偶数，则有，
所以
故B错误，C正确.对于D，为了方便计算，采用，
当为奇数时，其前项中，奇数项有项，
则
当为偶数时，其前项中，奇数项有项，
此时为奇数，根据上述结论，则有
则
故D错误.
故选：AC.
8．（2025·河北秦皇岛·一模）(多选)已知数列满足，，则（ ）
A．B．当是偶数时，
C．数列是常数列D．
答案ACD
解 对于A，，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，
所以数列是常数列，故C正确；
对于D，，，，
从而把数列写出来就是
观察发现，，且后面两项都是，
其中是数列的前项和，
从而，故D正确.故选：ACD.
9．（25-26高三上·山东·模拟）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，.
(1)求的通项公式：
(2)设数列满足，
①求前项中所有奇数项和，②若的前n项和为，证明：.
答案 (1) (2)①；②证明见解析
分析思路： 1）构造等比数列，由数列的递推公式求通项公式；
（2）①用裂项求和法求数列的奇数项的和；②用分组求和法求数列的前项的和，再得出不等式的结论.
解（1）因为，所以，且，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，
所以的通项公式为；
（2）①设的公差为，因为，，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以
②所以，
所以，
所以，
又因为，所以.
10．（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前项和；
答案(1)， (2)
分析思路： （1）由等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到，由等比数列通项公式可求得；利用可得到，利用累乘法可求得；
（2）由（1）可得，进而整理得到，将相邻两项看作一组，采用分组求和的方式，分别根据等差数列求和公式和错位相减法求得两个部分的和，由此可得.
解（1）设等比数列的公比为，
，，成等差数列，，即，，，解得：或（舍）；
，，即，解得：，；
当时，，整理可得：，
；
经检验，当时，满足，
综上所述：.
（2）由（1）得：，
，
令，则其前项和；
令，
则其前项和，
，
，，
.
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
①数列中连续两项和或积的问题：或
②含有类型
方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
（1）当出现时，构造等差数列；
（2）当出现时，构造等比数列；
（3）当出现时，用累加法求解；
（4）当出现时，用累乘法求解.
①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
③对于结构，利用分组求和法；
④对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.