2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题6.1数列的概念与简单表示法(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题6.1数列的概念与简单表示法(学生版+解析)，共8页。

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\l "_Tc29852" 【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】 PAGEREF _Tc29852 \h 4
\l "_Tc17554" 【题型2 累加法求通项公式】 PAGEREF _Tc17554 \h 4
\l "_Tc13837" 【题型3 累乘法求通项公式】 PAGEREF _Tc13837 \h 5
\l "_Tc14328" 【题型4 构造法求通项公式】 PAGEREF _Tc14328 \h 5
\l "_Tc32722" 【题型5 数列的周期性】 PAGEREF _Tc32722 \h 6
\l "_Tc3427" 【题型6 数列的单调性】 PAGEREF _Tc3427 \h 6
\l "_Tc2945" 【题型7 数列的最大（小）项】 PAGEREF _Tc2945 \h 7
\l "_Tc23077" 【题型8 数列中的规律问题】 PAGEREF _Tc23077 \h 7
\l "_Tc6894" 【题型9 递推数列问题】 PAGEREF _Tc6894 \h 9
1、数列的概念与简单表示法
知识点1 数列的概念与基本知识
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示⋯⋯第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.
2．数列的分类
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{an}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
6．数列的前n项和
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
=.
知识点2 数列的通项公式的求解策略
1．由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
2．由数列的递推关系求通项公式：
(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
(3)构造法：
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
②形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
知识点3 数列的性质有关问题的解题策略
1．数列周期性问题的解题策略：
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
2．求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法.
(2)利用确定最大项，利用确定最小项.
【方法技巧与总结】
1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则.
2．在数列{an}中，若an最大，则；若an最小，则.
【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】
【例1】（2025·北京丰台·二模）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=0,an+1+2Sn=n，则a5=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式1-1】（2025·浙江宁波·三模）已知数列an中，a2=1，记Sn为an的前n项和，2Sn=nan，则a2025的值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【变式1-2】（2025·贵州遵义·二模）已知数列an的前n项和Sn=n2+n−1，则a1+a9=（ ）
A．16B．17C．18D．19
【变式1-3】（2024·福建漳州·一模）已知各项均不为0的数列an的前n项和为Sn，若3Sn=an+1，则a8a7=（ ）
A．−12B．−13C．12D．13
【题型2 累加法求通项公式】
【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=3，an+1=an+1n−1n+1，则an=（ ）
A．4+1nB．4−1nC．2+1nD．2−1n
【变式2-1】（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）已知数列an满足a1=3，an+1=an+1nn+1，则an=（ ）
A．4+1nB．4−1nC．2+1nD．2−1n
【变式2-2】（2025·天津和平·三模）定义新运算：abcd=ad−bc，已知数列ann∈N*满足a1=−14，an+112an2=10n，则a10=（ ）
A．239B．225C．211D．261
【变式2-3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法⋅商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，⋅⋅⋅，设各层球数构成一个数列an，则a21=（ ）

A．58B．225C．210D．231
【题型3 累乘法求通项公式】
【例3】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在数列an中，a1=1，an=n−1nan−1，n≥2,n∈N，则数列an的通项公式为（ ）
A．12n−1B．2nn+1C．1nD．2n+1
【变式3-1】（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列an的项满足an+1=nn+2an，而a1=1，则an=（ ）
A．2n+12B．2nn+1C．12n−1D．12n−1
【变式3-2】（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知a1=2，an=nan+1−an，则数列an的通项公式是an=（ ）
A．nB．n+1C．2nD．n+1nn
【变式3-3】（24-25高二上·河南鹤壁·阶段练习）设数列an的前n项和为Sn，且a1=1,Sn+nan为常数列，则an=（ ）
A．13n−1B．2n(n+1)C．2(n+1)(n+2)D．5−2n3
【题型4 构造法求通项公式】
【例4】（2024·广东茂名·一模）已知Tn为正项数列an的前n项的乘积，且a1=2,Tn2=ann+1，则a5=（ ）
A．16B．32C．64D．128
【变式4-1】（2025高二·全国·专题练习）已知数列an满足an+1=23an+4，且a1=1，则an的通项公式为（ ）
A．an=12−23n−1B．an=23n+2
C．an=12−11×23n−1D．an=8+23n−1
【变式4-2】（24-25高二上·陕西西安·期中）已知数列an满足a1=1，an+1=an4an+1，(n∈N∗)，则an=（ ）
A．an=1nB．an=12n−1C．an=2n−14n−3D．an=14n−3
【变式4-3】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列an的首项a1=1，且满足an+1=2an+1，则数列an的通项公式为（ ）
A．an=2n−1B．an=2n−1−1
C．an=2n+1−1D．an=2n−2
【题型5 数列的周期性】
【例5】（2025·河南·模拟预测）已知数列a满足a1=−1，a2=−8，且对任意n∈N∗，anan+1+2an+1=an+m，则a2025=（ ）
A．−8B．−1C．32D．52
【变式5-1】（2025·天津南开·二模）若数列an满足a1=2,a2=1，且an+2=an+1−an,an+1≥an,an−an+1,an+1a1”是“an为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式6-1】（2024·贵州·模拟预测）已知数列an满足an=n+k−1n(k∈R)，则“数列an是递增数列”的充要条件是（ ）
A．k1
【变式6-2】（2025·湖南永州·模拟预测）已知数列an满足an+1=an2+1an，则下列说法正确的是（ ）
A．若an>0，则an所有项恒大于等于2B．若a1=1，则an是单调递增数列
C．若an是常数列，则a1=±2D．若a1=2，则an+1+an2是单调递增数列
【变式6-3】（2024·天津南开·二模）设数列an的通项公式为an=n2+bn，若数列an是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）
A．−3,+∞B．−2,+∞C．−2,+∞D．−3,+∞
【题型7 数列的最大（小）项】
【例7】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列an的通项公式为an=72n−7,n≤517n2−17a−1n,n≥6，若a7是an中唯一的最小项，则实数a的取值范围是（ ）
A．14,16B．15,16C．15,16D．14,16
【变式7-1】（2025·上海·三模）已知数列an的通项公式为an=34n−134n−1−1，n∈N*，则关于数列an的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项D．没有最大项也没有最小项
【变式7-2】（2025·四川绵阳·二模）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=3n−23n，则下列说法正确的是（ ）
A．anSn+1C．2an+Sn=1D．012
C．1013a2025N时，an+1>an
C．当a1∈2,3时，对于任意的正整数n,an≤3
D．当a1∈3,4时，存在正整数N，当n>N时，anan
②当r=2时，存在a1和正整数P，当n>P时，an+1−anP时，an+1=an
④当r=−3时，不存在a1，使得对任意正整数n，且n≥3，都有an>0
其中正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
一、单选题
1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列an的前n项和Sn=3n−n，则a5=（ ）
A．153B．161C．163D．238
2．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列an满足a1=−1，an+1=an−7an+2，则a30=（ ）
A．−8B．−1C．32D．52
3．（2025·湖北黄冈·三模）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1＝2，那么a10＝（ ）
A．2B．10C．11D．56
4．（2025·四川乐山·三模）已知数列an的通项公式为an=3n+−1n，则下列不是数列an的项的是（ ）
A．2B．13C．39D．49
5．（2025·贵州黔南·三模）数列cn满足cn=an−1,n>2,3−an+2,n≤2n∈N*，若数列cn单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．2,3B．1,3C．1,2D．2,3
6．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知数列an中，a1=1,an+3≤an+3,an+2≥an+2，则（ ）
A．a2025>2025B．a2025=2025C．a20251且m∈Z)，则称数列an为“对数m底数列”.已知正项数列an是“对数2底数列”且a5=1，则当n⩾2且n∈N∗时，4a2+a3+⋯+ana22·…·an−12=（ ）
A．212B．216C．232D．264
二、多选题
9．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知Sn为数列an的前n项和，且满足Sn=−1nan−2−n，则下列结论正确的有（ ）
A．a1=14B．当n为偶数时，an=12n
C．当n为奇数时，an=−12n+1D．S5+S6=−132
10．（2025·陕西宝鸡·二模）近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（ ）

A．站在第20拐角的学生是111号B．站在第23拐角的学生是137号
C．第133号同学站在拐角位置D．站在拐角位置的同学共有79名
11．（2025·辽宁·三模）已知数列an满足a1=m(0