2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题6.2等差数列及其前n项和(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题6.2等差数列及其前n项和(学生版+解析)，共8页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19690" 【题型1 等差数列的基本量计算】 PAGEREF _Tc19690 \h 3
\l "_Tc20082" 【题型2 等差数列的判定与证明】 PAGEREF _Tc20082 \h 5
\l "_Tc30800" 【题型3 等差数列的性质及应用】 PAGEREF _Tc30800 \h 7
\l "_Tc2240" 【题型4 等差数列的通项公式】 PAGEREF _Tc2240 \h 8
\l "_Tc8453" 【题型5 等差数列前n项和的性质】 PAGEREF _Tc8453 \h 11
\l "_Tc24682" 【题型6 等差数列的前n项和的最值】 PAGEREF _Tc24682 \h 12
\l "_Tc6867" 【题型7 等差数列的简单应用】 PAGEREF _Tc6867 \h 14
\l "_Tc3647" 【题型8 等差数列的奇偶项讨论问题】 PAGEREF _Tc3647 \h 16
\l "_Tc26293" 【题型9 含绝对值的等差数列问题】 PAGEREF _Tc26293 \h 20
\l "_Tc13587" 【题型10 等差数列中的恒成立问题】 PAGEREF _Tc13587 \h 22
\l "_Tc13037" 【题型11 与等差数列有关的新定义、新情景问题】 PAGEREF _Tc13037 \h 25
1、等差数列及其前n项和
知识点1 等差数列的概念
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.
2．等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.
3．等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差.
4．等差数列的单调性
由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.
①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；
②当d0， d0时，{an}是递增数列；当d0,a1=1,a22−a3=9，则d=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解题思路】根据等差数列的通项公式，将a2、a3用a1和d表示出来，再代入已知等式求解d.
【解答过程】由等差数列通项公式an=a1+(n−1)d可得：a2=a1+d，
已知a1=1，所以a2=1+d；a3=a1+2d=1+2d.
将a2=1+d，a3=1+2d代入a22−a3=9可得：(1+d)2−(1+2d)=9，
则1+2d+d2−1−2d=9，化简可得：d2=9，解得d=3或d=−3.
因为已知公差d>0，所以舍去d=−3，得到d=3.
故选：B.
【变式1-1】（2025·全国二卷·高考真题）记Sn为等差数列an的前n项和，若S3=6,S5=−5,则S6=（ ）
A．−20B．−15C．−10D．−5
【答案】B
【解题思路】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项a1和公差d的方程求出首项a1和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解.
【解答过程】设等差数列an的公差为d，则由题可得 3a1+3d=65a1+10d=−5⇒d=−3a1=5，
所以S6=6a1+15d=6×5+15×−3=−15.
故选：B.
【变式1-2】（2025·山东·一模）已知数列an是公差不为0的等差数列，若a1a2=a32，a5=2，则a1=（ ）
A．−1B．−12C．12D．1
【答案】A
【解题思路】设等差数列an是公差为d，根据给定条件列得方程组，进而求解即可.
【解答过程】设等差数列an是公差为d，
由a1a2=a32，得a1a1+d=a1+2d2，整理得d3a1+4d=0，
因为d≠0，所以得3a1+4d=0，
由a5=2，得a1+4d=2，
解得：a1=−1.
故选：A.
【变式1-3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S5=2S3,a1+a8=10，则公差d为（ ）
A．14B．12C．23D．1
【答案】C
【解题思路】由等差数列的性质及前n项和公式有5a3=6a2，进而有a1=4d，结合a1+a8=10求公差.
【解答过程】由S5=2S3，则5(a1+a5)2=2×3(a1+a3)2，即5a3=6a2，
所以5(a2+d)=6a2⇒5d=a2，则a1=4d，
由a1+a8=2a1+7d=15d=10，则d=23.
故选：C.
【题型2 等差数列的判定与证明】
【例2】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知数列an，则“an−2+an+2=2ann≥3,n∈N*”是“数列an是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据等差数列定义以及等差中项性质对充分性和必要性分别进行判断即可得结论.
【解答过程】判断充分性：
因为an−2+an+2=2an，所以an+2−an=an−an−2，
令n=2kk∈N*，则a2k+2−a2k=a2k−a2k−2=⋯=a4−a2，所以数列an的偶数项成等差数列，
令n=2k−1k∈N*，则a2k+1−a2k−1=a2k−1−a2k−3=⋯=a3−a1，所以数列an的奇数项成等差数列，
但数列an不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3；
所以“an−2+an+2=2ann≥3,n∈N*”不是“数列an为等差数列”的充分条件；
再判断必要性：
若数列an是等差数列，则2an=an−1+an+1=an−2+an2+an+an+22=an+an−22+an+22，
所以2an=an−2+an+2，所以“an−2+an+2=2ann≥3,n∈N*”是“数列an为等差数列”的必要条件；
综上，“an−2+an+2=2ann≥3,n∈N*”是“数列an为等差数列”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式2-1】（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知数列an和数列bn满足an=bn+1−bn，an−1an=−2bn，则下列数列为等差数列的是（ ）
A．an+1anB．an−1anC．bnD．bn2
【答案】D
【解题思路】根据等差数列的定义逐一判断即可.
【解答过程】依题意，对an−1an=−2bn消去an，得bn+1−bn−1bn+1−bn=−2bn，等价于bn+1+bn=1bn+1−bn，所以bn+12−bn2=1，
所以bn2是等差数列，故D正确，C错误；若an−1an是等差数列，则−2bn是等差数列，则bn是等差数列，
与bn2是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为an+1an=bn+1−bn+1bn+1−bn=bn+1−bn+bn+1+bn=2bn+1，故A错误．
故选：D．
【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）已知数列an满足a1=12，an+1=an2an+1(n∈N*)．
(1)求证：1an是等差数列；
(2)若bn=anan+1(n∈N*)，求数列bn的前n项和Tn．
【答案】(1)证明见解析；
(2)Tn=n4(n+1).
【解题思路】（1）变形给定等式，利用等差数列定义推理得证.
（2）由（1）求出an,bn，再利用裂项相消法求和.
【解答过程】（1）数列an中，a1=12，an+1=an2an+1，则an≠0，1an+1=1an+2，
所以数列1an是以1a1=2为首项，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知，1an=2+(n−1)⋅2=2n，则an=12n，bn=12n⋅12(n+1)=14(1n−1n+1)，
所以数列bn的前n项和Tn=14[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)]=n4(n+1).
【变式2-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，an+1+3Sn⋅Sn+1=0，a1=13．
(1)证明：数列1Sn为等差数列；
(2)求an的通项；
(3)求1an的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)an=13,n=1−13nn−1,n≥2；
(3)3.
【解题思路】（1）利用an,Sn的关系，将an+1转化Sn+1−Sn，整理即可得证；
（2）根据（1）中结论，求出1Sn的通项，结合已知可得所求；
（3）根据通项公式即可得解.
【解答过程】（1）因为an+1=Sn+1−Sn，所以Sn−Sn+1=3Sn+1Sn，故1Sn+1−1Sn=3，
又1S1=1a1=3，所以1Sn是以3为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）知1Sn=3+n−1⋅3=3n⇒Sn=13n，
当n≥2时，an=−3⋅13n⋅13n−3=−13nn−1，
而n=1时，a1=13不满足上式，
所以an=13,n=1−13nn−1,n≥2.
（3）由（2）知，当n≥2时，1an=−3nn−10，所以1an的最大值为1a1=3.
【题型3 等差数列的性质及应用】
【例3】（2025·辽宁·二模）已知等差数列an满足a2+a4+a6=3，a3+a5+a7=9，则a1+a8=（ ）
A．1B．32C．4D．8
【答案】C
【解题思路】根据等差数列的性质有a2+a6=2a4,a3+a7=2a5,a1+a8=a4+a5即可求解.
【解答过程】因为数列an为等差数列，且a2+a4+a6=3，a3+a5+a7=9，
所以3a4=3，3a5=9，解得a4=1，a5=3，所以a1+a8=a4+a5=4．
故选：C．
【变式3-1】（2025·重庆·二模）已知等差数列an的前4项为a，3b，2，5b，则a9=（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【解题思路】根据等差中项可得b=12，即可求解公差，进而利用等差数列的性质求解.
【解答过程】由题意可知3b，2，5b成等差，故3b+5b=4，解得b=12，
故公差d=2−3b=12，
故a9=2+6d=5，
故选：A.
【变式3-2】（2025·广东·模拟预测）在等差数列an中，若a5+a7+a9=27，则2a8−a9的值为（ ）
A．18B．15C．12D．9
【答案】D
【解题思路】由等差数列的下标和性质求出a7=9，再化简2a8−a9=2a7+d−a7+2d，即可得出答案.
【解答过程】在等差数列an中，a5+a7+a9=3a7=27,a7=9，
则2a8−a9=2a7+d−a7+2d=a7=9.
故选：D.
【变式3-3】（2025·山东日照·一模）已知等差数列an中，a2+a4=6，则a1+a3+a5=（ ）
A．15B．9C．36D．56
【答案】B
【解题思路】根据等差数列的性质，利用已知条件求出a3的值，进而求出所要求的式子的值.
【解答过程】在等差数列{an}中，已知a2+a4=6，所以a2+a4=2a3，即2a3=6，那么a3=3.
同样根据等差数列性质，所以a1+a5=2a3.
则a1+a3+a5=(a1+a5)+a3=2a3+a3=3a3.
把a3=3代入可得3a3=3×3=9.
故选：B.
【题型4 等差数列的通项公式】
【例4】（2025·北京通州·一模）已知等差数列an满足：a5−2a3=1，且a2=0，则a2025=（ ）
A．2026B．2025C．2024D．2023
【答案】D
【解题思路】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解.
【解答过程】设公差为d，
由a5−2a3=1，a2=0，
得a1+4d−2a1+2d=1a1+d=0，解得a1=−1d=1，
所以an=n−2，
所以a2025=2023.
故选：D.
【变式4-1】（2025·辽宁·二模）已知数列an满足a1=3，an+1=an+4an+1+4，则an=（ ）
A．an=2n+1B．an=2nC．an=4n2−1D．an=4n+1
【答案】C
【解题思路】由已知等式变形得出an+1+1=an+1+22，推导出数列an+1为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列an的通项公式.
【解答过程】因为a1=3，an+1=an+4an+1+4，可得出a2>4，a3>4，⋯，
以此类推可知，对任意的n∈N∗，an>4，
且an+1+1=an+1+4an+1+4=an+1+22，
所以，an+1+1=an+1+2或an+1+1=−an+1−2（舍），
所以，an+1+1−an+1=2，且a1+1=2，
所以，数列an+1是以2为首项，以2为公差的等差数列，
故an+1=2+2n−1=2n，故an=4n2−1.
故选：C.
【变式4-2】（24-25高二下·四川广安·期中）等差数列an中，a7=4，a19=2a9，n∈N∗．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=1n+3an，求数列bn的前n项和Sn．
【答案】(1)an=1+n2，n∈N∗
(2)Sn=5n2+13n6n+2n+3
【解题思路】（1）由已知结合等差数列的性质列出方程组求解即可；
（2）根据裂项相消法求和即可．
【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d，
∵a7=4，a19=2a9，∴a1+6d=4a1+18d=2a1+8d，
解得，a1=1，d=12，
∴an=1+12n−1=1+n2，n∈N∗．
（2）∵bn=1n+3an=2n+3n+1=1n+1−1n+3，
∴Sn=12−14+13−15+…+1n+1−1n+3
=12+13−1n+2−1n+3=5n2+13n6n+2n+3．
【变式4-3】（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知数列an是等差数列，且a2=4，a4=10．
(1)求an的通项公式；
(2)设数列1anan+1的前n项和为Tn，证明：Tn