2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题6.1数列的概念与表示(四类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题6.1数列的概念与表示(四类重难点题型精练)(学生版+解析)，共30页。试卷主要包含了记为数列的前项和，.，已知等比数列的前项和为，且.，设为数列的前n项和，已知，已知数列的前项和为，，，已知数列的前项和满足.，记数列的前项和为，已知，已知首项为1的正项数列满足，已知数列的前项和为.等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 由an和Sn的关系求通项公式
1．（2025·湖南常德·模拟预测）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
4．（2025·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：．
5．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围.
6．（2025·海南·模拟预测）记数列的前项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
重难点题型2 由递推关系求数列的通项公式(累加法与累乘法)
1．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（ ）
A．239B．225C．211D．261
2．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A．B．C．D．
4．在数列中，若，则（ ）
A．1012B．1013C．2023D．2024
5．（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ．
6．（2024·广东江门·模拟预测）若数列满足，数列的前项和为，则 .
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)令（），求数列的前项和．
8．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的前n项和.
9．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
10．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值．
重难点题型3 数列的周期性及其应用
1．已知数列满足，，则（ ）
A．B．1C．2D．4
2．（2025·陕西榆林·二模）已知数列满足，，则此数列前项的和为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南·模拟预测）在数列中，，且，则（ ）
A．3B．-2C．D．
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列 满足 ，且 ，则 .
5．（24-25高三上·安徽六安·月考）已知数列中，，，则数列前2024项的和为 .
重难点题型4 用函数研究数列的单调性与最值
1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，（），若是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·湖南娄底·模拟预测）（多选题）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．为等差数列B．可能为常数列
C．若为递增数列，则D．若为递增数列，则
6．（2025·福建泉州·一模）（多选题）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，则B．若不是递增数列，则
C．若，则D．若的最小值为3，则
7．（2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 .
8．（2024·重庆·二模）记正项数列的前项和为，若，则的最小值为 .
9．（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为 .
序号
题型
重难点题型1
由an和Sn的关系求通项公式
重难点题型2
由递推关系求数列的通项公式（累加法与累乘法）
重难点题型3
数列的周期性及其应用
重难点题型4
用函数研究数列的单调性与最值
专题6.1 数列的概念与表示
目录●重难点题型分布
重难点题型1 由an和Sn的关系求通项公式
1．（2025·湖南常德·模拟预测）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和.
【答案】(1)；
(2).
【难度】0.65
【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用的关系求得、，结合等比数列的定义写出通项公式；
（2）根据已知有，易知，即可求和.
【详解】（1）为数列的前项和，，
时，，则，
时，由，得，
两式相减可得，即，
数列是首项为，公比为的等比数列，则；
（2）由题设，可得，
记的前项和为，因为，为正整数，
则.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
4．（2025·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项
【分析】（1）首先可得是首项为，公比为的等比数列，即可求出，再由作差计算可得；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由，可得，
则，所以，
又，
所以是首项为，公比为的等比数列.
所以，则，
当时，，
当时，，时也适合，
所以.
（2）因为，
所以①，
则②，
所以①②得，
则，
所以.
因为，所以.
5．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【难度】0.65
【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）利用数列前项和与第项的关系求出通项公式.
（2）由（1）得，再分离参数并构造新数列，并求出数列的最小项即可.
【详解】（1）在数列中，，当时，，
而，不满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，不等式，
依题意，，不等式恒成立，令，
，由，得；由，得；
由，得，
因此，则当或时，，，
所以实数的取值范围是.
6．（2025·海南·模拟预测）记数列的前项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）当可求出的值，当时，由可得，两式作差可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【详解】（1）因为，当时，，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，即，
所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，故.
（2）由（1）可得，
所以，
则，
上述两个等式作差得
，
因此，.
重难点题型2 由递推关系求数列的通项公式(累加法与累乘法)
1．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（ ）
A．239B．225C．211D．261
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】累加法求数列通项
【分析】根据题可得，即可利用累加法求解通项得解.
【详解】由可得，
故
累加可得，
故，
故选：C
2．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和
【分析】根据，且，利用累加法求得，从而得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】因为，且，
所以当时，.
因为也满足，所以.
因为，
所以.所以.
故选：B.
3．（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项
【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】由，
当时，
，
显然，对于时也成立，
所以，
则的前6项和为.
故选：C.
4．在数列中，若，则（ ）
A．1012B．1013C．2023D．2024
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断或写出数列中的项、累乘法求数列通项
【分析】由题意先求出，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得，即可求得.
【详解】在中，取，可得，代入解得，
又由可得，
于是，
故.
故选：B.
5．（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项
【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和.
【详解】因为，所以.
所以，，，…，（）.
各式相乘，可得：，
显然满足上式，则，
所以数列的前项和为，
所以.
故答案为：.
6．（2024·广东江门·模拟预测）若数列满足，数列的前项和为，则 .
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、裂项相消法求和
【分析】根据递推公式求出数列的通项公式，再计算出数列的通项公式，即可计算出.
【详解】由，则,
当时，上式相加得，又，
所以，又符合上式，
可知，所以，
所以.
故答案为：.
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)令（），求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和
【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可；
（2）由裂项相消法求和即可．
【详解】（1）令，，又由有，
则有
，
所以．
又因为数列的各项均为正数，所以．
（2）由
，
知
．
8．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和
【分析】（1）由先求，根据等差数列的定义验证是否为不变的常数即可验证；
（2）由（1）有，利用累加法即可求解；
（3）由有，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由有，
所以，又，，解得，
又因为，即，
所以数列是以公差为3，首项为的等差数列，
所以，
（2）由（1）有，
所以，
上式相加有，
所以，
所以；
（3）由（2）有，
所以，
所以
，
所以.
9．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）由与的关系式，可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案；
（2）整理数列通项，利用错位相减，可得答案.
【详解】（1）当时，，显然成立；
当时，，，相减可得，
化简可得，由累乘法可得，
显然满足上式，故数列的通项.
（2）由，
则，
，
两式相减可得
，
所以.
10．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，再利用累积法，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果得到，利用裂项相消法得到，即可求出结果.
【详解】（1）因为①，所以当时，②，
由①②得到，整理得到，
又，所以，得到，
所以当时，，
当，满足，所以.
（2）由（1）知，
所以，
因为，且，所以是关于的递增数列，由恒成立，得到，
所以实数的最小值为.
重难点题型3 数列的周期性及其应用
1．已知数列满足，，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用
【分析】根据已知得到数列的周期为4，应用周期性求项.
【详解】由题设，，，，，
所以数列的周期为4，且，
所以.
故选：C
2．（2025·陕西榆林·二模）已知数列满足，，则此数列前项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】数列周期性的应用
【分析】推导出数列是以为周期的周期数列，计算出、的值，结合数列的周期性可求得数列的前项的和.
【详解】由，得，
所以，，
故数列是以为周期的周期数列，
又，，且，
则此数列前项的和．
故选：D.
3．（2025·湖南·模拟预测）在数列中，，且，则（ ）
A．3B．-2C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用
【分析】由递推关系求前几项的值，判断出数列是以4为周期的数列，利用周期性求出.
【详解】数列中，，且，
则，，，，，，
所以，即数列是以4为周期的数列，
所以，
故选：A．
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列 满足 ，且 ，则 .
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用
【分析】先计算数列的项进而得出数列是周期数列，最后根据周期性求值即可.
【详解】数列 满足 ，且 ，
则 ，
所以数列 是周期为4的周期数列，所以.
故答案为：.
5．（24-25高三上·安徽六安·月考）已知数列中，，，则数列前2024项的和为 .
【答案】2024
【难度】0.85
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用
【分析】利用数列的周期性可得答案.
【详解】因为，，
所以，，，
，，，
所以数列是周期为4的周期数列，
且，
所以.
故答案为：2024.
重难点题型4 用函数研究数列的单调性与最值
1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】确定数列中的最大（小）项、根据数列的单调性求参数
【分析】当时，解，得出单调性，判断出在时，取最小值：；当，利用二次函数的对称性和最值，建立关于的不等式组求解．
【详解】当时，，令，得：，
解得：或，因此可知：；
又当时，，当时，，所以在时，取最小值：．
当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线，
因为是中唯一的最小项，所以，且，
解得，且，
即．
故选：B
2．（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】根据规律填写数列中的某项、确定数列中的最大（小）项、根据数列递推公式写出数列的项
【分析】首先需要根据雪花曲线的构造规律求出其周长的通项公式，再据此得出数列的通项公式，最后通过分析该数列的单调性来确定最大项.
【详解】对于初始的正三角形，边长，周长,
由构造规则可知，从到，每一条边都变为原来的倍.
因为有3条边，的边数是条，且每条边长度为，所以.
从到，同样每一条边变为原来的倍，的边数是条，每条边长度为，所以.
以此类推，可得,代入可得：
,
令,则,
则,
令，解得,
令，解得.
所以，.
故选：B
3．（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项
【分析】先利用分离常数法分析数列的单调性，再根据单调性求数列的最大项.
【详解】因为
所以当，即时，，所以.
当，即时，，所以.
且时，数列为递减数列，
所以该数列的前50项中最大项是.
故选：C
4．（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，（），若是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据数列的单调性求参数
【分析】由题可得，然后讨论与4的大小可得答案.
【详解】因为，所以.
若，则，不符合题意.
若，则为等比数列，所以.
当时，为单调递减数列，不符合题意；
当时，为单调递增数列，符合题意.
综上，.
5．（2025·湖南娄底·模拟预测）（多选题）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．为等差数列B．可能为常数列
C．若为递增数列，则D．若为递增数列，则
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数
【分析】对于A，利用与的关系求出数列通项，再根据等差数列的定义判断即得；对于B，根据A项结论，取即可推得；对于C，通过作差判断易得；对于D，利用和条件，判断，由对的分析即可求得即可.
【详解】对于A，因为，所以当时，；
当时，．
显然当时，上式也成立，所以．
当时，因为，
所以是以为公差的等差数列，故A正确；
对于B，当时，为常数列，故B正确；
对于C，若为递增数列，则，即，故C正确；
对于D，若为递增数列，由可得，
由，需使，
即，因，故可得，解得，故，即D错误．
故选：ABC.
6．（2025·福建泉州·一模）（多选题）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，则B．若不是递增数列，则
C．若，则D．若的最小值为3，则
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数
【分析】A选项，根据等差数列前项和公式判断；B选项，利用得到，然后根据增减性列不等式即可；C选项，列不等式，然后解不等式即可；D选项，将的最小值为3转化为恒成立，然后分和两种情况分析即可.
【详解】若为等差数列，则，
所以，解得，，故A正确；
，则，，
当时，，
所以，
因为不是递增数列，所以或，则，故B正确；
若，则，
整理得，又，所以，故C错；
因为的最小值为3，所以恒成立，
即，当时，成立，
当时，，则，故D正确.
故选：ABD.
7．（2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】确定数列中的最大（小）项
【分析】直接根据反比例函数的单调性即可得解.
【详解】令，得，
令，得，
所以当时，，当时，，
而函数在上单调递减，
所以当时，取得最小值，
即数列的最小项的值为.
故答案为：.
8．（2024·重庆·二模）记正项数列的前项和为，若，则的最小值为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、确定数列中的最大（小）项、利用an与sn关系求通项或项
【分析】由，利用数列通项和前n项和的关系求得，再令，利用导数法求解.
【详解】当时，，则或（舍去），
当时，由，得，
两式相减得，得，
因为，所以，
所以数列是等差数列，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由随的增大而增大，，，
则，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是构造函数判断得其单调性，从而考虑，的情况，从而得解.
9．（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由递推关系式求通项公式、等比数列的定义、根据数列的单调性求参数
【分析】根据可得，再结合单调递增以及等比数列定义可求出，则由即可得解.
【详解】因为，所以，
又因为单调递增，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以即，
则的取值范围为，
故答案为：.
序号
题型
重难点题型1
由an和Sn的关系求通项公式
重难点题型2
由递推关系求数列的通项公式（累加法与累乘法）
重难点题型3
数列的周期性及其应用
重难点题型4
用函数研究数列的单调性与最值